复变2015年课件34原函数与不定积分

第四节原函数与不定积分一、主要定理和定义二、典型例题

三、小结与思考一、主要定理和定义1.

两个主要定理:定理一如果函数f

(z)在单连通域D

内处处解析,那末积分f

(z)dz

与区域D内连结起点及终点的路线C

无关.C由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)D0z1z0z1zC1C2C1C2如果起点为z0

,终点为z1

,f

(z)dz

=1

2f

(z)dzC

C=1z0f

(z)dzz0如果固定z0

,让z1

在B内变动,并令z1

=z,zzf

(z

)dz

.便可确定D

内的一个单值函数F

(z)=D析函数,并且F

¢(z)=f

(z).0z那末函数F

(z)=f

(z

)dz

必为B

内的一个解定理二如果函数f

(z)在单连通域B

内处处解析,z证利用导数的定义来证.B设z

为B内任一点,以z

为中心作一含于B内的小圆K

,zKBKz

z

+

Dz取Dz

充分小使z

+Dz

在K

内,由F

(z)的定义,F

(z

+

Dz)

-

F

(z)

=z+Dz

zz0f

(z

)dz

-z0f

(z

)dz0z由于积分与路线无关,z+Dzf

(z

)dz

的积分路线可先取z0

到z,然后从z

沿直线到z

+Dz,z0•z(注意:这一段与路线相同)f

(z

)dz

的z0z+

Dz)

-

F

(z)

=于是F

(zf

(z

)dz

,z+Dzzf

(

z)dz

=z+Dzz因为z+Dzzf

(z)dz=

f

(z)Dz,BKz

z

+

Dz0z•z所以F

(z

+Dz)-F

(z)-f

(z)Dz=

1Dz1zz+Dzf

(z

)dz

-

f

(z)[

f

(z

)

-

f

(z)]dzDz=z+DzzBKz

z

+

Dzz0•z因为f

(z)在B内解析,故"

e

>

0,

$d

>

0,所以f

(z)在B内连续,使得满足

z

-

z

<

d

的一切z

都在

K

内,即Dz

<d时,总有f

(z

)-f

(z)<e,由积分的估值性质,-

f

(z)DzF

(

z

+

Dz)

-

F

(z)DzF

(

z

+

Dz)

-

F

(z)

-

f

(z)

=[

f

(z

)

-

f

(z)]dz1Dzz+Dzz|

f

(1z+Dzz£z

)

-

f

(z)

|

dz

£Dz

Dze

Dz

=

e.1DzDzfi

0于是lim

F

(z

+Dz)-F

(z)-f

(z)=0,即

F

(

z)

=

f

(z). [证毕]此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.02.

原函数的定义:如果函数j

(z

)在区域B

内的导数为f

(z

),即j

¢(z

)=f

(z

),那末称j

(z

)为f

(z

)在区域B

内的原函数.zz显然F

(z)=f

(z

)dz

是f

(z)的一个原函数.原函数之间的关系:f(z

)的任何两个原函数相差一个常数.证设G(z)和H

(z)是f

(z)的任何两个原函数,那末[G(z)-H

(z)]=G¢(z)-H

¢(z)=

f

(z)

-

f

(z)

”

0于是G(z)-H

(z)=c.(c

为任意常数)根据以上讨论可知:如果f

(z)在区域B内有一个原函数F

(z),那末它就有无穷多个原函数,一般表达式为F

(z)+c

(c为任意常数).[证毕]3.

不定积分的定义:称

f

(

z

)

的原函数的一般表达式

F

(

z

)

+

c(c

为任意常数)为f

(z

)的不定积分,记作

f

(

z

)dz

=

F

(

z

)

+

c.定理三这里z0

,z1

为域B

内的两点.010如果函数f

(z)在单连通域B

内处处解析,G(z)为f

(z)的一个原函数,那末z1zf

(

z

)dz

=

G(

z

)

-

G(

z

)(类似于牛顿-莱布尼兹公式)证

因为f

(z)dz

也是f

(z)的原函数,0zzf

(

z)dz

=

G(

z)

+

c,0zz所以当z

=

z0

时,

根据柯西-古萨基本定理,得c

=-G(z0

),f

(

z)dz

=

G(

z)

-

G(z0

),0zz所以f

(

z)dz

=

G(

z1

)

-

G(z0

).10zz或[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.二、典型例题例1

求解

因为

z

是解析函数,zdz

的值.1z0z2它的原函数是1

z2

,由牛顿-莱布尼兹公式知,12z100z2zz1

zdz

=z1220-

z

).21(z=例202z

cos

z

dz

的值.求pi解pi02z

cos

z

dzpi=02

2cos

z

dz12pi=012sin

z2

=1

12

2sin(-p2

)

=

-

sin

p2

.(使用了微积分学中的“凑微分”法)例3z

cos

zdz

的值.0求i解

因为

z

cos

z

是解析函数,它的一个原函数是

zsinz

+

cosz,由牛顿-莱布尼兹公式知,iz

cos

zdz0i0=

[zsinz

+

cosz]=

i

sin

i

+

cos

i

-12i

2e-1

-

e

e-1

+

e=

i

+-1-1

=

e

-1.例3z

cos

zdz

的值.0求iiz

cos

zdz

=0izd(sin

z)0isin

zdz00=

[z

sin

z]i

-另解i0=

[z

sin

z

+

cos

z]=

e-1

-1.此方法使用了微积分中“分部积分法”例41求1+izze

dz

的值.解

利用分部积分法可得zez

的一个原函数为(z

-1)ez

,1+izze

dz11=

(z

-1)ez

1+i=

ie1+i=

ie(cos1

+

i

sin1).课堂练习z

sin

zdz

的值.10求答案10z

sin

zdz

=

sin1

+

cos1.例5

试沿区域

Im(

z)

‡

0,

Re(z)

‡

0内的圆弧

z

=

1,dz

的值.z

+

1ln(

z

+

1)1求i解函数ln(

z

+1)在所设区域内解析,z

+

1它的一个原函数为,2ln2

(z

+

1)z

+

1ln(z

+

1)idz1i122ln

(z

+

1)=212-

ln

2]2=

[ln

(1

+

i)4

p

2ln

2

+2

21

1=i.8pln

2332

8-

ln2

2

+p2i

-

ln2

2

=

-例6

求0

到

2π

a

的摆线:

x

=

a(q

-

sinq

),

y

=

a(1

-

cosq

).(2z2

+

8z

+

1)dz

的值.

其中C

是连接C解因为函数2z2

+8z

+1

在复平面内处处解析,所以积分与路线无关,

根据牛—莱公式:2

(2z

+

8z

+

1)dz

=C

02pa2(2z

+

8z

+

1)dz2pa0=

z3

+

4z2

+

z32316=

p3a3

+

16p2a2

+

2pa.三、小结与思考本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿—莱布尼兹公式.在学习中应注意与《高等数学》中相关内容相结合,更好的理解本课内容.f

(z

)dzF

(

z)

=0zz

f

(z)dz

=

F

(z)

+

c=

G(z1

)

-

G(z0