二次函数压轴题(难)

二次函数压轴题(难)

(2)设抛物线上存在一点P，使得△PAB与△PBC的面积之比为2:3，求点P的坐标；(3)若抛物线上存在一点Q，使得线段AQ与线段BC的中点重合，求点Q的坐标。1.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上。已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。(1)求此抛物线的函数表达式；(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH。则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为72？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。2.如图抛物线y=x^2-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(-1,0)，且对称于x=l。(1)求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3。若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标。3.已知抛物线C：y=ax^2+bx+c(a<0)过原点，与x轴的另一个交点为B(4,0)，A为抛物线C的顶点。(1)如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；(2)如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C'，求抛物线C、C'的解析式；(3)在(2)的条件下，设A'为抛物线C'的顶点，求抛物线C或C'上使得PB=PA'的点P的坐标。4.如图，已知抛物线与x轴交于A(1,0)，B(-3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，抛物线的顶点为P，连接AC。(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由。5.已知顶点为A(1,5)的抛物线y=ax^2+bx+c经过点B(5,1)。(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线上存在一点P，使得△PAB与△PBC的面积之比为2:3，求点P的坐标；(3)若抛物线上存在一点Q，使得线段AQ与线段BC的中点重合，求点Q的坐标。1.大时，求出此时直线l的关系式；求解：缺少题干，无法进行改写。2.抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与（2）中△AOB的最大面积相等．若存在，求出点C的横坐标；若不存在说明理由．改写：在抛物线上是否存在点C，使得△AOC的面积等于△AOB的最大面积。如果存在，请求出点C的横坐标；如果不存在，请说明理由。3.如图，在直角坐标系中，已知点A（，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．改写：在直角坐标系中，已知点A（，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B。现在有以下问题：（1）求解抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值。4.已知如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为梯形，BC∥AO，四个顶点坐标分别为A(4，0)，B(1，4)，C(0，4)，O(0，0)。一动点P从O出发以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动；同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿ABC的方向向C运动。两个动点若其中一个到达终点，另一个也随之停止。求函数关系式，求t为何值时，S有最大值？改写：已知如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为梯形，BC∥AO，四个顶点坐标分别为A(4，0)，B(1，4)，C(0，4)，O(0，0)。一动点P从O出发以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动；同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿ABC的方向向C运动。两个动点若其中一个到达终点，另一个也随之停止。现在有以下问题：（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）当t为何值时，PB与AQ互相平分；（3）连接PQ，设△PAQ的面积为S，探索S与t最大值是多少？5.如图，已知抛物线经过原点O，与x轴交于另一点A，它的对称轴x2与x轴交于点C，直线y2x1经过抛物线上一点B(m，3)，且与y轴、直线x2分别交于点D，E．（1）求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成ya(xh)2k的形式；（2）求证：CD⊥BE；（3）在对称轴x2上是否存在点P，使△PBE是直角三角形，如果存在，请求出点P的坐标，并求出△PAB的面积；如果不存在，请说明理由。改写：如图，已知抛物线经过原点O，与x轴交于另一点A，它的对称轴x2与x轴交于点C，直线y2x1经过抛物线上一点B(m，3)，且与y轴、直线x2分别交于点D，E。现在有以下问题：（1）求解抛物线的函数解析式，并用配方法将其化为ya(xh)2k的形式；（2）证明：CD⊥BE；（3）在对称轴x2上是否存在点P，使△PBE是直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标，并求出△PAB的面积；如果不存在，请说明理由。6.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（1，，B（1，，D（3，）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线yaxbxc经过点D、M、N．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．改写：如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（1，，B（1，，D（3，）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON。现在有以下问题：（1）求解抛物线的函数解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。13.抛物线y=ax^2+2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A(－4，0)和B。求该抛物线的解析式，以及点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值。解析：(1)由已知得，抛物线的顶点坐标为(-2,4)。因此，解析式为y=a(x+2)^2+4。(2)设点Q的坐标为(x,ax^2+2ax+c)，则点E的坐标为(8-x,0)。根据距离公式可得|QE-QC|=|(8-x)^2+(ax^2+2ax+c)^2-16|^(1/2)-4。为了求|QE-QC|的最大值，可以求其平方的最大值。根据导数的定义，可得到|QE-QC|的平方最大值出现在x=1-a/2，此时|QE-QC|的最大值为2*[(4+a^2)/4]^(1/2)。14.抛物线y=ax^2+2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0，m)，与x轴交于点A(－4，0)和B。求该抛物线的解析式，并解决以下问题：(1)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；(2)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(－2，0)。问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。解析：(1)由已知得，抛物线的顶点坐标为(-2,m)。因此，解析式为y=a(x+2)^2+m。设点Q的坐标为(x,ax^2+2ax+c)，则点E的坐标为(x+4,0)。根据向量的知识，可得向量CE和向量QE的叉积的模长等于△CEQ的面积的两倍。因此，|CE×QE|=2*|△CEQ|=2*|CE|*|QE|*sin∠CEQ。又因为CE的方向向量为(4,-m)，QE的方向向量为(x+2,ax^2+2ax+c-m)，因此它们的叉积为(4,-m)×(x+2,ax^2+2ax+c-m)=(-4m-(ax^2+2ax+c-m)(x+2),4(x+2)-(ax^2+2ax+c-m))。根据向量的模长公式，可得|CE×QE|=|(-4m-(ax^2+2ax+c-m)(x+2),4(x+2)-(ax^2+2ax+c-m))|=|4(x+2)-(ax^2+2ax+c-m)|*(4m+(ax^2+2ax+c-m)(x+2))^(1/2)。为了求|CE×QE|的最大值，可以求其平方的最大值。根据导数的定义，可得到|CE×QE|的平方最大值出现在x=-a/2，此时|CE×QE|的最大值为(16m)/(4+a^2)^(1/2)。(2)设直线l的解析式为y=k，其中k为实数。由已知得，点P的坐标为((-2-c)/a,k)，点F的坐标为(-c/a,k)。因此，△ODF是等腰三角形的充分必要条件是OF=DF，即-c^2/a^2+(k-m)^2=(k-m)^2。解得c=0，因此直线l的解析式为y=0。此时，点F的坐标为(-c/a,0)=(0,m)。15.抛物线y=ax^2-4ax+m与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴交于点C。(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(2)过点C作CP⊥对称轴于点P，连结BC交对称轴于点D，连结AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，设抛物线的顶点为G，连结BG、CG，求△BCG的面积。解析：(1)由已知得，点A的坐标为(1,0)，因此抛物线的顶点坐标为(1/2,m)。因此，抛物线的对称轴为x=1/2，点B的坐标为(0,m)。(2)设抛物线的解析式为y=a(x-1/2)^2+m，对称轴为x=1/2。则点C的坐标为(0,m)，点P的坐标为(1/2,0)。因此，点D的坐标为(0,-m/4)。过点D作DE垂直于对称轴，交抛物线于点E。设点E的坐标为(x,ax^2-4ax+m)，则有DE∥BP，因此BP的斜率等于DE的斜率。解得x=2a+1。因此，抛物线的解析式为y=a(x-1/2)^2+m=a(x-2a-1)^2+m。(3)设点G的坐标为(x0,ax0^2-4ax0+m)，则有BG∥AC，因此BG的斜率等于AC的斜率。解得x0=1/2-a/2，因此点G的坐标为(1/2-a/2,a/4+m)。因此，△BCG的面积为(3a/4+m/2)^(1/2)*(a/4)。2.经过点A（p，f(p)）的直线与函数的图像相交于点M、N，过M、N作x轴的垂线，垂足分别为M1、N1。设三角形MAM1、AM1N1、ANN1的面积分别为S1、S2、S3。问是否存在一个常数m，使得对于任意实数p（p≠0），都有S22=mS1S3成立。如果存在，求出m的值；如果不存在，请说