力学第一章作业答案

作业参考答案2013年9月设质点在势能场U(r)中运动，在笛卡尔坐标系中写出其拉格朗日方程。解：拉格朗日方程为：L为拉格朗日函数笛卡尔坐标中的坐标变量为 ，那么所以，带入拉格朗日方程得到这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程即牛顿第二定律已知柱坐标 与笛卡尔坐标的关系是如图．设质点在轴对称势能场中运动，写出其拉格朗日方程。解：由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知等式两边同时除以dt那么，系统的动能为那么，系统的拉格朗日函数为所以带入拉格朗日方程，则有：长度为l的细绳系一小球，悬挂点按照 方式运动，如图所示，小球被限制在平面内运动，时悬线竖直向下。（a）求悬线和竖直线偏离所对应的虚位移（b）已知在这一时刻的角速度为，求经过时间后的位移。问：当时，与有何差别？

（a）在任意时刻，约束所容许的位移为虚位移，途中的小球，受到细绳的和自身重力的约束，在这个时刻，解：x小球只能围绕O点作圆周运动，当偏离角为时，对应的虚位移为。（b）小球经过时间后的位移，可以看作由两部分组成：（1）小球绕O点作圆周运动所产生的位移（2）小球随O点一起作简谐运动所产生的位移所以，小球的位移为

和的区别如图所示：x虚位移和实际位移的主要区别在于虚位移只和约束有关,某一时刻约束所允许的位移。实际位移除了和约束有关以外，还和物体当前的运动状态有关；运动方程和约束允许，在时间间隔内所发生的位移。长度同为l的轻棒四根，相互连接成一个可以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD，AB和AD两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距2a的两根钉上，BD之间用一根轻质棒连接，在连接点（B和D处），各棒之间可以无摩擦的转动，C点上系有一重物W，C点和重物受到约束，只能上下运动，设A点两棒之间的夹角为,试用虚功原理求平衡时联结棒BD中的张力，讨论的方向与

的大小的关系。问：在什么情况下有，说明其意义。4.由虚蛾功原析理，迹在平汽衡状拖态下接可得解：为了损求棒慰中的味张力冠，可代将棒哥的约感束予苹以“撇释放另”，爹以张努力检作馅为主覆动力暂代替柜棒。竖此时秧系统宪的自们由度素为1，系乳统受3个外勤力作捎用：击作用牙于B的张适力叹，作权用于D的张捏力脾，作抛用于C点的W。坐标巾系：各两根叉钉连背线的重中点浆为坐梁标原哗点，抢连线所在废直线霸为x轴（轨向右租为正逗），氏垂直描连线符为y轴（向夹下为蛇正）配，并筋取念为广花义坐身标。B、D点的x坐标盟：C点的y坐标狠：最后醋可得兆：即有检：杠对B的作坛用力录向内杠对B的作会用力电向外杠对B无作今用力9．质荣量为M的斜亮面可虑以无疤摩擦滩地在摩水平抽桌面蒜上滑欢动。垦斜面邪上无蜻摩擦锅地放催一滑臂块m，如浴图所赛示。芬写出鼓拉格害朗日表方程喇，并辉求斜维面的丑加速雹度既和滑站块相秆对于则斜面歇的加标速度仪。解：季系统行的拉壤格朗转日函嘉数为即有市：解之拳得：带入聪拉氏祝方程永：滑块盖的能辨量斜面码的能斑量系统星的总财能量K系（息桌面纲坐标盆系）K’系（遵沿X方向毅以速虚度V相对列于桌金面运版动的敏坐标徒系）P3鸡7第5题系统岛的能吸量在k系和祖系之肝间的况变换福方程10．直报接用永拉格封朗日苍方程[奋1.妖1.书2确(2伏.2梦1)式]证明港，由滴相差追一广腥义坐涛标和丹时间巧的函役数的建时间则全导谅数的跃两个闷拉格奋朗日记函数L`和L[1耍.1被.3泥(慌3.夹13明)式]得到隶的运盟动方率程相早同。证明吃：L和L’相差登一个花广义俭坐标斩和时良间的侨全微屋分那么由L`和L得到复的运紧动方扎程相望同。将拉格朗日方程代入上两式那么12．已揪知一纺维运丧动自察由质杀点的株拉氏灾量是(a岂)证明乖：当愚按真石实运介动方然式运崇动时券，作萌用量畅是(b宅)设娱，求敞；并松任意鸟假定笔一种施非真舍实的降运动差方式瓦，计丑算相绑应的穿作用紫量惊，验疗证铜。解：敬按真席实情兼况运迅动时轨，自挂由质阔点作步匀速随直线凳运动半，速注度为雕常数猛。将粮带阅入得揉到将搏带辰