中考数学知识点三角函数复习锐角三角和解直角三角形课件

第36课锐角三角函数和解直角三角形1．锐角三角函数的意义，Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：∠α的对边∠α的正弦

sin

α＝

斜边

.∠α的邻边∠α的余弦

cos

α＝

斜边

.∠α的对边∠α的正切

tan

α＝

∠α的邻边.要点梳理2．30°、45°、60°的三角函数值，如下表：正弦余弦正切30°1

2

3

2

3

3

45°2

2

2

2

160°3

2

1

2

33．同角三角函数之间的关系：sin2α＋cos2α＝

1

；sinαtanα＝ cosα

.互余两角的三角函数关系式：(α为锐角)sin

90°－α

＝

cosα

；

cos90°－α

＝

sinα

.函数的增减性：(0°<α<90°)(1)sinα，tanα的值都随α

增大而增大；(2)cosα都随α

增大而减小．4．解直角三角形的概念、方法及应用．解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c则：(1)边与边的关系：

；(2)角与角的关系：

∠A＋∠B＝90°；(3)边与角的关系：.△.5．三角形面积公式：S

＝

1

ah＝a2＋b2＝c2csinA＝cosB＝a

，cosA＝sinB＝b

；ctanA＝a

，tanB＝b

b

a21

absinC21．正确理解三角函数的概念书写三角函数时，若锐角用一个大写字母或者一个小写希腊字母表示的，表示它的正弦时，习惯省略角的符号，如sinA；若锐角是用三个大写字母或数字表示的，表示它的正弦时，不能省略角的符号，如sin∠ABC，余弦和正切的写法同理．由定义可以看出，锐角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的两边的比，因此都是正数；因为锐角A的取值范围是0<∠A<90°，则三角函数的取值范围是0<sinA<1,0<cosA<1，tanA>0；当∠A确定时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．[难点正本疑点清源]2．解直角三角形在实际问题中的应用解直角三角形在实际中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，常作为习题出现的有以下几个方面：度量

工作、工程建筑、测量距离等．解这类问题的一般步骤是：弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．△ABC是等腰直角三角形．基础自测1．(2011·烟台)如果△ABC中，sin

A＝cos

B＝

2

，则下列最2确切的结论是(C

)A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形解析：当sinA＝

2，cosB＝

2时，∠A＝∠B＝45°，

所以2

2B.

1C.D.A．2

552．(2011·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠

C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tan

A的值为(

B

)22

55AC解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝BC

＝1.2sin

A＝cos

Asin

A>cos

Asin

A>tan

Asin

A<cos

A解析：当45°<∠A<90°时，∠A>∠B，BC>AC，在Rt△ABC中，sinA＝

BC，cosA＝AC

，∴sinA>cosA.3．(2011·茂名)如图，已知45°<∠A<90°，则下列各式成立的是(

B

)AB

AB4．(20011·镇江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D.5233垂足为D.

若AC＝

5，BC＝2，则sin∠ACD的值为(

A

)A.

5

B.

2

5C.

52解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝

5

，BC＝2，则AB＝3.由CD⊥AB，得∠ACD＝∠B，AB所以sin∠ACD＝sinB＝

AC

＝

5

.35．(2011·苏州)如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan

C等于(

B

)A.

3B.

4D.

4解析：连接BD，因为E、F分别是AB、

AD的中点，所以EF是△ABD的中位线，

BD＝2EF＝2×2＝4.在△BCD中，BD＝4，BC＝5，CD＝3.由BD2＋CD2＝BC2，得∠BDC＝90°，C.

34535CD所以tanC＝

BD＝

4

.3题型一 特殊角三角函数参与实数运算【例1】计算tan45°·sin45°－4sin30°·cos45°＋探究提高利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记．题型分类深度剖析6

tan30°.22

2解：原式＝1×

2

4×1×

2

＋

6×—33＝

2－2

＋

2

＝

2.2

2知能迁移1

计算：解析：cos30°(1)

sin60°

－tan45°的值是

0

；sin60°cos30°

－tan45°＝

2

－1＝1－1＝0.

3

3

2(2)2sin60°＝；(3)2解析：2sin60°＝2×3＝

3

.31－

3(tan30°－1)2

＝

3

.解析：(tan30°－1)2＝|tan30°－1|＝1－tan30°＝1－

3.3题型二 仰角、俯角、方向角有关问题【例2】已知：如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行20m到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．(小明的身高不计，结果用含有

根号的式子表示)解：设BC＝x，在Rt△BCF中，tanF＝BC

，∴CF＝

x

＝

x.∵FE＝FC－EC，CFtan30°3在Rt△BCE中，tan∠BEC＝

BC，ECxtan60°∴EC＝

＝

3

x.3∴3

x－

3

x＝20.33∴2 3

x＝20，x＝10

3

.答：宣传条幅BC的长是10

3

m.探究提高此类问题常与仰角、俯角等知识相关，通常由视线、水平线、铅垂线构成直角三角形，再利用边与角之间存在的三角函数式，变形求得物体高度．知能迁移2 (2011·潜江)五月石榴红，枝头鸟儿歌．一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处．从A处看房屋顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距离为3

3m，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.解：作AE⊥CD于点E.由题意可知：∠CAE＝30°，∠EAD＝45°，AE＝3

3m.AE在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CE

，即tan

30°＝

CE

.3

3∴CE＝3

3

tan

30°＝3

3×

3

＝3m，3∴AC＝2CE＝2×3＝6(m).在Rt△AED中，∠ADE＝90°－∠EAD＝90°－45°＝45°，∴DE＝AE＝3

3

(m)．∴DC＝CE＋DE＝(3＋3

3

)m.答：AC＝6m，DC＝(3＋3

3

)m.题型三 解直角三角形的简单应用＝1－tan45°×tan60°【例

3】

(2010·赤峰)关于三角函数有如下的公式：sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ

①cos(α＋β)＝sinα·cosβ－sinα·sinβ

②tan(α＋β)＝(1－tanα·tanβ≠0)

③利用这些公式可以将一些不是特殊的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan(45°＋60°)＝

tan45°＋tan60°

＝ 1＋

3

1－1×

3(1＋

3)2(1－

3)(1＋

3)＝4＋2－23

＝－(2＋

3

)．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α为60°，底端C点的俯角β为75°，此时直升飞机与建筑物

CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．∴AB＝BC·tan75°，∵tan75°＝tan(45°＋30°)解：过点D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∠ADE＝∠a＝60°，AE＝ED·tan60°＝BC·tan60°＝42

3

.在Rt△ACB中，∠ACB＝∠β＝75°，1－tan45°·tan30°＝

tan45°＋tan30°

＝3＋

3＝2＋3－

33

，∴AB＝42×(2＋

3

)＝84＋42CD＝BE＝AB－AE＝84＋42答：建筑物CD的高为84m.3

，3－42

3

＝84.探究提高在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．知能迁移3 (2011·安顺)一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40m到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．(参考数值：tan

31°≈3

)5解：如图，过点C作CD⊥AB于D

，由题意∠DAC＝31°，∠DBC＝45°，设CD＝BD＝x，则AD＝AB＋BD＝40＋x，解得x＝60.答：这条河的宽是60m.在Rt△ACD中，tan∠DAC＝CD，则

x

＝3

，AD

40＋x

5题型四 解直角三角形在实际中的应用【例4】(2010·杭州)如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为

200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点320千米处．(1)说明本次台风会影响B市；

(2)求这次台风影响B市的时间．>>

解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，PB＝320，∠BPQ＝75°－45°＝30°，得BH＝320×sin30°＝160<200，∴本次台风会影响B市．

[4分](2)如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由(1)得BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，∴P1P2＝2[8分][10分]∴台风影响的时间t＝

240＝8(小时)．2002－1602＝240，30探究提高此类问题一般求出危险区域中心的距离，看其是否小于圆形危险区域的半径，其实质是判断圆和直线的位置关系．求影响情况，通常以此为圆心，以台风影响半径为半径画圆，交台风行进路线于两点，这两点之间的距离就是受影响其间台风所经过的路程，其中最靠近台风方向的一点表示台风开始影响，另一点表示台风结束影响．知能迁移4 (2010·乌鲁木齐)某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为i＝1∶

3

，(i＝1∶

3

是指铅直高度DE与水平宽度CE的比)，CD的长为10m，天桥另一斜面AB坡角∠ABG＝45°.(1)写出过街天桥斜面AB的坡度；

(2)求DE的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其

45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF.试计算此改建需占路面的宽度FB的长．(结果精确0.01)解：(1)在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，∴AG＝BG，∴AB的坡度＝

AG＝1.BG∴∠C＝30°.又∵CD＝10，∴DE＝1

CD＝5.2(3)由(1)知，AG＝BG＝5，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，，tan∠AFG＝AG

，即EC(2)在Rt△DEC中，∵tanC＝DE

＝

1

＝3

，3

3FG3＝35FB＋5解得FB＝5

3－5≈3.66.答：改建后需占路面宽度约为3.66

m.24．添加辅助线，把分散条件集中起来试题

如图，AD是BC边上的高，AD∶DC∶BD＝1∶2∶3，求∠BAC的度数．学生答案展示不能添加辅助线来考虑，从而无法下手．剖析如图，延长BA，过C画CE⊥AB，只要求∠BAC的外角即可．易错警示正解 过C作CE⊥BA，交BA的延长线于点E.设AD＝m，则DC＝2m，BD＝3m，∴AC＝

AD2＋DC2＝

m2＋(2m)2＝

5

m，1010AB＝

AD2＋BD2＝

m2＋(3m)2＝

10

m.∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠CEB＝90°，∴△BEC∽△BDA.∴

CE＝BC＝3m＋2m＝

5m

＝

10

m.AD

AB

2∴CE＝

10m.2EC在Rt△AEC中，sin∠EAC＝

AC

＝∴∠EAC＝45°，∴∠BAC＝