第3章导数应用文答案版

3.2导数的运用(文1、★（2013海淀一模文）已知曲线f(x)lnx在点(x0,f(x0处的切线经过点(01) A.e

【答案】【答案】3、★★(2011x[02]ysinxxcosx【答案 （开闭均可4、★★(2013f(xe|x||x|xf(x)k有两个不同k的取值范围是 【答案】5、★★(2014海淀期中，文)若函数f(x)sinxkxk A.

B.

D.(,【答案】 【答案】7、★★(2014石景一模)若存在实常数和,使得函数和对其定义域内的任意实数分别满足：8、★★★（2013房山二模文）f(xax3bx2cxd(a0,给出定义f'(xyf(x的导数,f''(xf'(x的导数,f''(x0x0,称点(x0,f(x0yf(x的“拐点”.某同学经过探究发现:若f(x)1x31x21x1,则该函数的对称中心 计算f(1)f(2)f(3) f(2012)

( 29、★★（2013延庆一模文）f(x)2a2lnx1x2ax(aR2(Ⅰ)a1时,yf(x在点(1,f(1的切线方程(Ⅱ)f(x的单调性【答案】:f(x的定义域为(0,,

(x)

2ax

xa1时,f(13,f(1)21102yf(x在点(1,f(1y2

(x)

x2axx

(x2a)(xa)xa0时,f(x)x0,f(x在定义域为(0,上单调递增a0时,f(x0,x12a(舍去x2ax变化时,f(x,f(x的变化情况如下此时,f(x在区间(0a单调递减,在区间(a,)上单调递增a0时,f(x0,x12ax2a(舍去x变化时,f(x,f(x的变化情况如下此时,f(x)在区间(0,2a)单调递减,在区间(2a,10、★★（2013东城一模文）f(x)mlnxmm2时,yf(x在点(1,f(1处的切线方程f(x的单调性f(xM,M0,求m的取值范围【答案】(Ⅰ)当m2时,f(x)2lnxxf(x)21x2 f(13

(mR).yf(x在点(1,f(1y13(x1即3xy20(Ⅱ)f(x的定义域为(0f(x)mm1(m1)xm m≤0时,x0f(x)mm10恒成立xf(x在区间(0上单调递减m≥1时,x0f(x)mm10恒成立xf(x在区间(0上单调递增当0m1时,f(x)0,x

1

,f(x)0,x

1mf(x在区间

m内单调递增,在区间(

)内单调递减1 1(III)由(Ⅱ)f(x的定义域为(0m≤0m≥1时,f(x在区间(0上单调,f(x无最大值当0m1时,f(x在区间(0,m内单调递增,在区间(

)内单调递减1所以当0m1f(x有最大值

1Mf(mm

m1M0,m

1 m0 m 1 1所以m的取值范围是(

111、★★（2013丰台一模文）f(x)

x

,g(x)bx23xh(x)f(xg(x,且h(1h(10a,b的值 g( 当a=2且b=4时,求函数 的单调区间,并求该函数在区间(-f2m1)上的最大值4h(x)f(xg(x)

(x

2bx3bb3aa4解得 2b3b或 因为h(1

1 (1(Ⅱ)记

g(x),则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a)fa=2,b=4,所以(x)(x2)(4x23x(x≠-(x)12x222x62(2x3)(3x1)令(x)0,x3,x1 x3,x1时,(x0,当3x1时,(x0 函数(x)的单调递增区间为(2),(23),(1) 单调递减区间为(31 ①当-2<m<3时(x)在(-2,m)上单调递增2其最大值为(m)=4m311m26m②当3≤m≤1时(x)在(-2,3)上单调递增,在31)上单调递减,在1,m) 调递增,而319 (x)412、★★★（2013门头沟一模文）f(x)

x2b

,其中bRf(xx1x轴平行,求b的值f(x的单调区间 b【答案】解:(Ⅰ)

(x)(x2依题意,f(1)0,得b经检验b

(Ⅱ)①当b0时,f(x)1xf(x的单调减区间为(0(0;②当b0时,

(x)

b.(x2bb令f(x)0,得x1 ,x2bbf(xf(x的情况如下x(, (x(, ( (b,f 00f↘↗↘f(x)的单调减区间为(

b),

b;单调增区间为(

b)b0时,f(xDxR|x b

(x) 0D上恒成立(x2f(x的单调减区间为(b(

b),

b,);13、★★★（2013西城一模文）f(xexax,g(x)axlnx,其中a0(Ⅰ)f(x的极值(Ⅱ)M,f(xg(xM上具有相同的单调性,求a的取值范围(Ⅰ)解:f(x的定义域为R,

f(x)ex①当a0时,f(xex,f(x在R上单调递增.从而f(x)没有极大值,也没有极小值②当a0时,f(x)0,xln(af(xf(x的情况如下x(x(, f 0f↘↗f(x的单调减区间为(ln(a;单调增区间为(ln(a),f(xf(ln(a))aaln(a);(Ⅱ)解:g(x的定义域为(0,

g(x)a1ax ③当a0时,f(x在R上单调递增,g(x在(0,上单调递减,不合题意④当a0时,g(x)0,g(x)在(0,上单调递减1a0时,ln(a)0此时f(x)(ln(a),)上单调递增由于g(x)(0,上单调递减,a1时ln(a)0,此时f(x)在(ln(a上单调递减,由于f(x)在(0,上单调递减,符合题意综上a的取值范围是(14、★★（2013东城期末文）f(x）1x3mx23m2x1mR3m1y

f(x在点(2,f(2f(x在区间(23m的取值范围（Ⅰ）m1f(x1x3x23x13f'(xx22x3f'(2)5f(2)53

y55(x2)，即15x3y2503所以曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为15x3y25 6（Ⅱ）f'(x）x22mx3m2 8当m0时，f'(x）x20恒成立，不符合题 9m0时，f(x的单调递减区间是(3mm，若f(x)在区间(233m则m

解得m 11m0时，f(x的单调递减区间是(m3m，若f(x在区间(23m则3m3.m2综上所述，实数m的取值范围是m3或m 1315、★★（2013大兴一模文）f(x)=(ax1)ex.(I)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)a>0时,f(x在区间[-20上的最小值【答案】解:f'(x)(ax1)'ex(ax1)(ex)'ex(axa(Ⅰ)①当a0时,fx)ex0,fx的单调增区间为②当a0时,fx0得

xa1,fx0得a

xa1afx的单调增区间为(a1,,fx的单调减区间为(,aa③当a0时,fx)0得

xa1,fx0得a

xa1afx的单调增区间为(,a1,fx的单调减区间为(aaa(a

时 即当a1时

fx)在

aa

上是减函数, (a

f(

f

a

)

a1上是增函数,a

a②当a1

时 即当0a1时

fx在[2,0上是增函数 fx在区间[-2,0]f(2)1综上:当a1时

fx在区间[-2,0]上最小值为

a1当0a1时

fx在区间[-2,0]上最小值为116★★★（2013丰台期末文f(xax2bxc)ex(a0yf的两个零点为-3f(xf(x的极小值为-1f(x的极大值（Ⅰ）f(x2axb)exax2bxc)exax22ab)xbc]ex分g(x)ax22ab)xbc∵ex0yf'(x)g(x)ax22ab)xbcf(xgx符号a0x3,或x0gx>0,f(x)0当3x0时，g(x)<0,即f(x)0 63（0，+∞3，0．……7（Ⅱ）由（Ⅰ）x=0f(xcbc9a3(2ab)bc解得a1,b1,c 11f(xx2x1)ex3）,（0，+∞f(xf(3)931)e317、★★（2014西城期末文

14xx(,a a(a1,f0f↘↗f(x)xa)ex，其中eaRf(xx[04]时，求函数f(x)的最小值（Ⅰ）f(x)xa)exxRf(xxa1)ex2分f(x)0xa3分xf(xf(x 分故f(x)的单调减区间为(,a1)；单调增区间为(a1,) 分（Ⅰ所以当a1≤0a≥1时，f(x)在[04上单调递增，故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)minf(0)a 8当0a14，即5a1f(x在(0,a1上单调递减，f(x在(a14)故f(x)在[0,4]上的最小值为f f(a1)ea1 分当a1≥4a≤5f(x在[04故f(x)在[0,4]上的最小值为f f(4)(a 分所以函数f(x)在[04上的最小值为f分

e(a4)e4

5a

★★★（2013海淀期末文）f(x1x21g(xalnx在点(1,0 F(x)f(xmg(x)(m0求aFx在区间[1,e上的最小值（I）f(1g(10所以(1,0f(xg(x的图象上f'(x)xg'(x)af'(1)1g'(1)ax所以a（Ⅱ）F(x)1x21mlnx，其定义域为{x|x x2

3Fxx 5 x2当m0时，F'(x)x 0 Fx在(0Fx在[1,eF(1

7 x2mm当m0时，令F'(x)x mmx

0，得到x1

x2 0(舍m当m

1时，即0m1F'(x0对(1,eFx在[1,e上单调递增,F(1

9m当m

e时，即me2时

F'(x0对(1,eFx在[1,eF(e)1e21

11m当1 e,即1me2时m

F'(x)0对

m成立

F'(x)0对

m,e)Fx在(1,m单调递减,在F(m1m1

m,e)m1m1mlnm………13m综上，当m1

Fx在[1,eF(1当1me2Fx在[1,e

1m1mln 当me2时

Fx在[1,eF(e)1e21m 19、★★★（2013通州期末文）fxx3ax2bxa2a,bfxx110b若对于任意的a4fxx02b（Ⅰ） 分f132abf11aba2a解 b

ab

3a当b

时，fx3x28x1164132

，所以函数有极值点 4b当a3时，fx3x120，所以函数无极值点b所以b11． 6Fa2xa3x2b0a4,x02都成立．8因为x0所以Fa在a4,上为单调递增函数或为常数函数 ………9所以Fa F48x3x2b0对任意x0,2都成立 即b3x2 11 又3x28x3x

433

1616 3所 当x4时，3x23

16 123所以b163所以b3

13法二：fx3x22axb0对任意a4,，x0,2都成立 分即b3x22axa4,x02 即b3x2 8 Fx3x22ax3x

a 33

9 F00，于是b0 10 a 当4a0FxmaxF3

b

．……11a2 又3

，所以b3

123 b的最小值为3

1320、★★★（2013石景山期末文）f(x)=lnxax+1aRy=f(xP(1,f(1处的切线ly=f(x)(x1的图象在直线ly=f(x有零点，求实数a（Ⅰ）f(x)=1xf(1a+1kl=f(1)=1al

2yf(1)=kl(x1)，即y=(1a)x 4（Ⅱ）Fx)=f(x1-a)x=lnxx+1，x>0F(x)=11=1(1x)，解F(x)=0得x=1. x(0,1(1,F(0F↗↘F(1)<0，所以x>0x1Fx)<0fx)<(1a)x即函数y=f(x)(x1)的图像在直线l的下方 9y=fxf(x)=lnxax+10alnx+1xg(xlnx+1g(xlnx+1)1lnx+1lnx 解g(x)=0得 11g(x在(0,1)上单调递增，在(1,+上单调递减，x=1g(x)g(1)=1，所以a 1321、★★（2013昌平期末文）f(x)1x3a2x1a(aR) a1f(x)在[02x(0,+f(x)0恒成立，求a的取值范围（I）a1f(x1x3x1f'(xx2 令f'(x)0，得x11,x2 2

1x012f-0+3fx12↘6↗76∴当x[0,2]时，fx最大值为f2 76（Ⅱ）f'(xx2a2xa)(xaf'(x0,得xa

fxxafa1a3a3aa2a21 a

02a210所以faa2a210 9若 10fxxafa1a3a3aa2a21 f

a(2a21)0,由a0,得2a210,0a 3 3所以当0a

3时对任意x0,f(x0都成立2综上，a的取值范围是[0，3 13222、★★（2013海淀二模文f(x)lnxg(x)a(a0x（I）a1时，若曲线yf(x)在点Mx0fx0处的切线与曲线yg(x)在点Px0gx0))x0（II）若x(0,e]f(x)g(x)3，求实数a的取值范围2（I）a1,f'(x1g(x

分f(xMx0,fx0gxPx0gx0 11x f(xM(1,0yxgxP(11)yxx0（II）若x(0,e]，都有f(x)g(x)2F(x)f(xg(x3lnxa3

4 Fx在(0,e]F'(x)1

xa

6F'(xF(x)xx(0,a(a,F'(0F( 8当aeFx在(0,eF(e)F(e)1a30，得a 所以a

10当aeFx在(0a上单调递减，在(a,e)上单调递增，eF(aF(a)lnaa30，得ae ee

a

12e综上 e

1323、★★（2014海淀期末文fx)xa)ex，其中a为常数fx是区间[3上的增函数，求实数afx)e2x[02时恒成立，求实数a的取值范围 ：

f'(x)(xa

x 2f(x是区间[3所以f'(x)0，即xa10在[3,)上恒成 3yxa1所以满足题意只需3a10，即a2 5（Ⅱ）f'(x)0xa

6f(x),f'(xx(,aaf0f↘↗10①当a10，即a1f(x在[0,2]f(0)，f(0e2，解得ae2，所以此时，ae2 11②当0a12，即3a1f(x在[0,2]f(a1)，f(a1e2，求解可得此不等式无解，所以a不存在 12③当a12，即a3f(x在[0,2]f(2)f(2)e2，解得a 13综上讨论，所求实数a的取值范围为[e224（2014石景山期末文f(xex2x（e为自然对数的底数f(x在点(0，f(0f(x．x1，2f(xmx成立，求实数m的取值范围 （Ⅰ）f 分f(x)ex2得f(0)1 2所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为yx1 3（Ⅱ）f(x)ex2令f(x)0，即ex2=0，解得xln 5x(ln2)时，f(x)0，x(ln2)时，f(x)0，此时f(x)的单调递减区间为(ln2)，单调递增区间为(ln2) 7分（）x2

2]

f(xmxx2

ex2] x立 8m

ex2x

min

9

(x令g(x) 2，g(x) 1]122则g(x)ming(1)e2 12所以m(e2 1325、★★★（2013房山二模f(xax2)exx1处取得极值求af(x在mm1x1x2[02]，都有|f(x1f(x2|e（Ⅰ）f'(xaexax2)exaxa

1f'(10即(2a2)ex

2a

3a1x1f(xx2)exa（Ⅱ）f(x)x2ex f'(x)ex+x2exx1exx1f-0+f减增所以函数f(x)在,1递减，在1,递 4当m1时，f(x)在m,m1单调递增， (x)f(m)(m2)em当0m1m1m

5f(x在m,1单调递减，在1m1fmin(xf(1em0

6f(x)在m,m1单调递减， (x)f(m1)(m 7(m2)em m综 f(x)在m,m1上的最小值

0m(m1)em1 m由（Ⅰ）知f(x)x2ex

8f'(x)ex+x2exx1exf'(x0x因为f(0

fmax(x

fmin(x)

11x1x2[02]，都有|f(x1f(x2|fmax(xfmin(x) 1326、★★★（2014东城二模文f(xlnxa(a0)x(Ⅰ)f(x(Ⅱ)P(x0y0yf

x(03

P(x0y0k1恒成立，求实数a的最小值2

f(x)lnxa，定义域为(0,) 1x则f|(x)1ax 3 a0,f(x)0x(a,f(x)0x(0a所以f(x)的单调递增区间为(a,),单调递减区间为(0, 7(Ⅱ)P(x0y0为切点的切线的斜率kkf(x)x0a (3

0 9x2 x20a1x2x对3

0恒成 112 又当x0时,31x2x1 13 2 所以a2

……1427、★★★（2013朝阳二模文f(x)

x21

a，g(x)alnxx（a0f(xa0x1x20eg(x1f(x2成立（Ⅰ） a(1

a(1x)(1f(x)(x21)2

(x2a0xf(xf(xx(,1f00f↘↗↘a0xf(xf(xx(,1f00f↗↘↗a0f(x的单调递增区间为(1,1，单调递减区间为(1(1；a0时，f(x)的单调递增区间为(1(1)，单调递减区间为(1,1. 5（Ⅱ）由（Ⅰ）a0f

(0,1)

f(x)f(0)

f

(1e]f(e)

e21

aax0e]f(x)ag(xalnxxg(xa1xg(x)0xa①当0aeg(x0，得0xag(x0xagx在(0a上单调递增，在(ae上单调递减g(x)maxg(aalnaaaalnaaa(2lnaa(2lne)a0，x1x20eg(x1f(x2.aeg(x)0在(0egx在(0eg(x)maxg(eaeax1x20eg(x1f(x2综上所述，对于任意x1,x20,e，总有g(x1)f(x2 1328、★★★（2014东城二模文已知aRf(x1x31(a2)x2bg(x)2alnx yf(xyg(x)在它们的交点(1ca（）F(x)f'(xg(x)，若对任意的x1x2(0)，且x1x2，都有F(x2F(x1)a，求ax2（Ⅰ）2g'(x)2a，g'(1)2axf'(1)g'(1可得2a(a3)1a1a

（Ⅱ）F(x)1x2(a2)x2alnx2x1x2F(x2F(x1)aF(xF(x

x)x

F(x2ax2F(x1ax1．设G(x)F(x)ax，xx(0

xF(x2F(x1)a

x 等价于G(x)F(xax在(0G(x)1x22alnx2x2 x22x可得G'(x)x 2 x0x22x2a0由2ax22x(x1)21，可得a1 13229、★★★（2014东城零模文nf(xxnbxn

(nN,b,c（Ⅰ）n2b

c1

(x在区间1,1 （Ⅱ）n2x1x2[1,1，有|f2(x1f2(x2|4，求b（Ⅰ） fn2)fn(1)2n21fn(x)在（2内存在零点x

(2,1)时，fn(x)

10f

11）内存在唯一零点在（，

在（， 2（Ⅱ）当n22

f(x)

6bxcM4,b2b2

1b2时2M

(b)(b1)24恒成立 2M

(b)2

(-2

24恒成立综上可知，-2b2 ．1430、★★★（2014朝阳期末文f(x)lnxg(x)ax1aRF(x)

f(x)g(x)yf(xxeF(xa0F(x没有零点，求a的取值范围【答案】解：(I)f(x)1f(xxek1 f(e1f(xxey11(xe),y1

4F(x)lnxax1

F(x)1a1ax

x0①当a≤0F(x)0F(x在区间(0②当a0F(x0x1F(x)0，解得0x1 综上所述，当a≤0F(x的增区间是(0当a0时，函数F(x)的增区间是(0,1)，减区间是(1, 9 F(xF(x)lnxax10无解由（Ⅱ）知，当a0F(x在区间(01上为增函数,区间1 F(1a10F1ln1a11lna20 ae2所以实数a的取值范围为(1, 1331、★★★（2014大兴一模文）f(xx3x2xaa2yf(x)在点(0,f(0yf(xa的范围【答案】解:(Ⅰ)f(xx3x2xa得xR,f(x)3x22x 2当a2时，f(0)2，kf(0) 3切线方程:yx 4

f(x)3x22x1(3x1)(x1 f(x)0得x1x

……2 x,1 3 31 1f+0-0+f↗↘↗3f(xf(1)3

5

…………6yf(x有且仅有一个零点，须

a0，或a1 8a

或a1时，函数有且仅有一个零点 932、★★★（2014石景山一模文f(xx22a2lnx(a0f(xx1af(x[1e（Ⅰ）f 分f(x)2x

x

2x2x

2(xa)(xx

2f(x)x1处取得极值， 3所以a的值为 4（Ⅱ）令f(x)0，解得xa或xa（舍 5x(0a)af0f↘↗由上表知f(x)的单调递增区间为(a，)，单调递减区间为(0a) 8[e][e]f(110，只须在区间[1e]f(x)min0.[1ef f(e)e22a20解得0a

2ea2

10[1a)(aeef(x) f(a)a2(12lna)0，解得0a ee所以1a 12ee当0a1时，f(x)在区间[1e]上单调递增，f(x)minf(1)0，满足题意.综上，a的取值范围为0a 13分e33、★★★（2014延庆一模f(x)x33ax2a(aR(Ⅰ)f(xyf(xx轴有且只有一个公共点，求a的取值范围【答案】(Ⅰ)f(x)3x23a 1(1)当a0f(x)0f(x在(,)上是增函数，…2a（2）当a0时，令f(x)0，得x aaa令f(x)0，得x 或xaaaa令f(x)0，得 xaaf(x在

a和

a,)在[a

上是减函数 ………5当a0f(x在区间(,)单调递增，所以题设成立………6aa当a0时，f(x)在x 处达到极大值，在x 处达到极小值aaf(a0f(a0

a)3

a2a0或

3

2a

aa

a2a0a

aa

a2aa

………110a

………12（1（2） 1334、★★★（2014海淀二模文f(x)1x3ax24xba,bR且a03f(x)在点(0,f(0f(x)f(x在区间(1,1上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围 】：

f'(x)x22ax

1f'(04 2f(0f(x)在x