应力应变概念

关于应力应变概念第1页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三2.剪切应力和剪切应变负荷作用在面积为S的ABCD面上，剪切应力：=P/S;剪切应变：=U/L=tg.正应力引起材料的伸长或缩短，剪应力引起材料的畸变，并使材料发生转动。PABCDEABULF第2页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三xyzzxxyyyxxzzyzzyyxxz应力分量S围绕材料内部一点P，取一体积单元2.1.2任意的力在任意方向上作用于物体1.应力第3页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三说明：下脚标的意义：每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标：第一个字母表示应力作用面的法线方向；第二个字母表示应力的作用方向。方向的规定正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力为负。剪应力的正负号规定：正剪应力负剪应力第4页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三应力间存在以下关系：根据平衡条件，体积元上相对的两个平行平面上的法向应力大小相等，方向相反；剪应力作用在物体上的总力矩等于零。应力张量T1T2T3T4T5T6xxyyzzyzzxxy结论：一点的应力状态有六个分量决定体积元上任意面上的法向应力与坐标轴的正方向相同，则该面上的剪应力指向坐标轴的正方向者为正；如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪应力指向坐标轴的正方向者为负。第5页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三2.应变dxdyBCACBA(v/y)dy(v/x)dx(u/x)dx(u/y)dyxy0XY面上的剪应变xyyx第6页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三已知：O点沿x,y,z方向的位移分量分别为u,v,w应变为：u/x，用偏微分表示：u/x在O点处沿x方向的正应变是：xx=u/x同理：yy=v/yzz=w/z.uxOAxA´O´u（1）正应变第7页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三A点在x方向的位移是：u+(u/x)dx，OA的长度增加(u/x)dx.O点在y方向的应变：v/x,A点在y方向的位移v+(v/x)dx,A点在y方向相对O点的位移为：(v/x)dx,同理：B点在x方向相对O点的位移为：(u/y)dy（2）剪切应变第8页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三线段OA及OB之间的夹角变化OA与OA间的夹角=(v/x)dx/dx=v/xOB与OB间的夹角=(u/y)dy/dy=u/y线段OA及OB之间的夹角减少了v/x+u/y，xz平面的剪应变为:xy=v/x+u/y（xy与yx)第9页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三同理可以得出其他两个剪切应变：yz=v/z+w/yzx=w/x+u/z结论：一点的应变状态可以用六个应变分量来决定，即三个剪应变分量及三个正应变分量。第10页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三（1）各向同性体的虎克定律xLLbccbxzxy长方体在轴向的相对伸长为：x=x/E应力与应变之间为线性关系，E------弹性模量，对各向同性体，弹性模量为一常数。2.1.3弹性形变1.广义虎克定律（应力与应变的关系）第11页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三当长方体伸长时，横向收缩：y=－c/c

z=－

b/b横向变形系数（泊松比）：=|y/x|=|z/x|则y=－x=－x/Ez=－x/E如果长方体在xyz的正应力作用下，虎克定律表示为：x=x/E－y/E－z/E=[x－（y＋z

）]

/Ey=y/E－x/E－y/E=[y－（x＋z

）]

/Ez=z/E－x/E－y/E=[z－（x＋y

）]

/E第12页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三对于剪切应变，则有如下虎克定律：xy=xy/Gyz=yz/Gzx=zx/GG------剪切模量或刚性模量。G,E,参数的关系：G=E/2(1+)如果x=y=z

，材料的体积模量K------各向同等的压力与其引起的体积变化率之比。

K=－p/(V/V)=E/[3(1－2)]第13页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三作用力对不同方向正应变的影响各种弹性常数随方向而不同，即：ExEyEz,xy

yzzx在单向受力x时，在y,z方向的应变为：yy=－yxx=－yxx/Ex=（－yx/Ex

）x=S21

xzz=－zxx=－zxx/Ex=S31

xS21,S31为弹性柔顺系数。1,2,3分别表示x,y,z(2)各向异性第14页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三同时受三个方向的正应力，在x,y,z方向的应变为：xx=xx/Ex+S12

yy+S13

zzyy=yy/Ey+S21

yy+S23

zz

zz=zz/Ez+S31

yy+S32

zz第15页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三正应力对剪应变有影响，剪应力对正应变也有影响，通式为：xx=S11xx+S12

yy+S13

zz+S14yz+S15zx+S16xyyy=S22yy+S21

xx+S23

zzS24yz+S25zx+S26xyzz=S33zz+S31

yy+S32

zzS34yz+S35zx+S36xyyz=S41xx+S42

yy+S43

zz+S44yz+S45zx+S46xyzx=S51xx+S52

yy+S53

zz+S54yz+S55zx+S56xyxy=S61xx+S62

yy+S63

zz+S64yz+S65zx+S66xy

总共有36个系数。第16页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三根据倒顺关系有（由弹性应变能导出）：

Sij=Sji,－21/E1－12/E2，系数减少至21个考虑晶体的对称性，例如：斜方晶系，剪应力只影响与其平行的平面的应变，不影响正应变，S数为9个(S11,S22,S33,S44,S55,S66,S12=S21,S23,S13)。六方晶系只有5个S(S11=S22,S33,S44,S66,S13)立方晶系为3个S(S11,S44,S12)MgO的柔顺系数在25oC时，S11=4.03×10-12Pa-1;

S12

=－0.94×10-12Pa-1;S44=6.47×10-12Pa-1.由此可知，各向异性晶体的弹性常数不是均匀的。第17页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三2.弹性变形机理虎克定律表明，对于足够小的形变，应力与应变成线性关系，系数为弹性模量E。作用力和位移成线性关系，系数为弹性常数K。第18页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三rrror12＋－＋－FUm在r=ro时，原子1和2处于平衡状态，其合力F=0.当原子受到拉伸时，原子2向右位移，起初作用力与位移呈线性变化，后逐渐偏离，达到r时，合力最大，此后又减小。合力有一最大值，该值相当于材料断裂时的作用力。断裂时的相对位移：r－ro=把合力与相对位移的关系看作线性关系，则弹性常数：

KF/=tg(1)原子间相互作用力和弹性常数的关系第19页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三

U(ro+）=U(ro)+(dU/dr)ro+1/2(d2U/dr2)ro2=U(ro)+1/2(d2U/dr2)ro2F=du(r)/dr=(d2U/dr2)ro

K=(d2U/dr2)ro就是势能曲线在最小值u(ro)处的曲率。结论：K是在作用力曲线r=ro时的斜率，因此K的大小反映了原子间的作用力曲线在r=ro处斜率的大小.(2)原子间的势能与弹性常数的关系结论：弹性常数的大小实质上反映了原子间势能曲线极小值尖峭度的大小。第20页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三使原子间的作用力平行于x轴，作用于原子上的作用力：

F=－u/r,应力：xx－(u/r)/ro2dxx－(2u/r2)dr/ro2,相应的应变：dxx=dr/rodxx=C11dxxC11－(d2U/dr2)ro/ro=K/ro=E1C------弹性刚度系数（与弹性柔顺系数S成反比）结论：弹性刚度系数的大小实质上也反映了原子间势能曲线极小值尖峭度的大小。大部分无机材料具有离子键和共价键，共价键势能曲线的谷比金属键和离子键的深，即：弹性刚度系数大。(3)弹性刚度系数第21页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三晶体C11C12C44TiC5011.3017.50MgO28.928.8015.46LiF11.14.206.30NaCl4.871.231.26NaBr3.870.970.97KCl3.980.620.62KBr3.460.580.51NaCl型晶体的弹性刚度系数（1011达因/厘米2，200C）第22页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三（4）用原子间振动模型求弹性常数原子振动时有以下关系：m1r1=m2r2,r=r1+r2=r1(1+m1/m2)外力使其产生振动时，则：F=m1d2r1/dt2=m2d2r2/dt2=－K(r－ro)得:md2(r－ro)/dt2=－K(r－ro)或md2/dt2=－K

其中：m=m1·m2/(m1+m2)（折合质量）解此方程可以得共振频率：=(K/m)1/2/

2

(与晶格振动中的长光学纵波相似，也叫极化波，能引起静电极化)，则：K=m(2)2=m(2c/)2可以利用晶体的红外吸收波长测出弹性常数。rm1m2r1r2第23页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三3.影响弹性模量的因素架状结构石英和石英玻璃的架状结构是三维空间网络，不同方向上的键结合几乎相同------几乎各向同性。单链结构Si2O6

双链结构Si4O11

环状结构（岛状结构）Si6O18

方向不同弹性模量不一样（1）晶体结构第24页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三架状结构－石英SiO2C11=C22=0.9,C33=1.0石英玻璃SiO2C11=C22=C33=0.8单链状硅酸盐霓辉石NaFeSi2O6C11=1.9C22=1.8C33=2.3普通辉石(CaMgFe)SiO3C11=1.8C22=1.5C33=2.2透辉石CaMgSi2O6C11=2.0C22=1.8C33=2.4双链状硅酸盐角闪石普通角闪石(CaNaK)2-3(HgFeAl)5(SiAl)8O22(OH)2C11=1.2C22=1.8C33=2.8环状硅酸盐绿柱石Be3Al2Si6O8C11=C22=3.1C33=0.6电气石(NaCa)(LiMgAl)3(AlFeMn)6(OH)4(BO3)3Si6O18C11=C22=2.7C33=1.6层状硅酸盐黑云母K(Mg,Fe)3(AlSi3O10)(OH)2C11=C22=1.9C33=0.5白云母KAl2(AlSi3O10)(OH)2C11=C22=1.8C33=0.6金云母KMg3(AlSi3O10)(OH)2C11=C22=1.8C33=0.5×1012达因/厘米2第25页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三

大部分固体，受热后渐渐开始变软，弹性常数随温度升高而降低。弹性模量与温度的定量关系：E=Eo－bTexp(-To/T)

或(E－Eo)/T=－bexp(-To/T)Eo,b,To是经验常数，对MgO,Al2O3，ThO2等氧化物，b=2.7～5.6,To=180～320温度对弹性刚度系数的影响，通常用弹性刚度系数的温度系数表示：Tc=(dC/dT)/C对在电子仪器中的所谓延迟线和标准频率器件十分重要，因为它们寻求零温度系数材料。(2)温度第26页，讲稿共30页，2023年5月2日，星期三温度补偿材料：一种异常的弹性性质材料（Tc是正的），补偿一般材料的负Tc值.且压电偶合因子大。MgOTc11=－2.3Tc44=