微积分第十一章差分方程初步

关于微积分第十一章差分方程初步第1页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三

在第十章中我们讨论了微分方程，在那里，自变量x是在给定区间内连续取值的，所求函数是自变量x的连续函数．然而，在经济与管理的实际问题中，经济数据绝大多数是以等间隔时间周期地统计的．基于这一原因，在研究分析实际经济与管理问题时，各有关的经济变量的取值是离散(非连续)化的，描述各经济变量之间的变化规律的数学模型也是离散(非连续)型的．而最常见的一类离散型经济数学模型就是差分方程模型．第2页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三第一节差分方程的基本概念一、差分的概念定义1

设函数yt=f(t)在t=…,-2,-1,0,1,2,…处有定义,对应的函数值为…,y-2,y-1,y0,y1,y2,…,则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为

Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)．依此定义类推,有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),………………

给定函数

,其自变量t(通常表示时间)的取值为离散等间隔的整数值：t=…,-2,-1,0,1,2,…．因t是离散地取等间隔值，那么函数只能在相应的点有定义．第3页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三(1)若yt=C(C为常数),则Dyt=0;(2)对于任意常数k,D(kyt)=kDyt;(3)D(yt+zt)=Dyt+Dzt．由定义1，我们很容易验证一阶差分具有如下性质：

因为函数的一阶差分通常还是t的函数，故可以考虑求的差分，进而还可继续考虑的差分的差分，如此等等，这样的差分统称为高阶差分．第4页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三定义2

函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分,即

D2yt=D(Dyt)=Dyt+1-Dyt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推,有D2yt+1=Dyt+2-Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1,D2yt+2=Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,………………类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分D3yt=D2yt+1-D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,D3yt+1=D2yt+2-D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1,………………

第5页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三一般地,k阶差分(k为正整数)定义为

这里

第6页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三二、差分方程定义3

含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分yt,2yt,…的函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶.n阶差分方程的一般形式为F(t,yt,yt,…,nyt)=0,其中F是t,yt,yt,…,nyt的已知函数,且nyt一定要在方程中出现．

第7页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三定义3′

含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶．

n阶差分方程的一般形式为F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,（*）其中F为t,yt,yt+1,…，yt+n的已知函数,且yt和yt+n一定要在差分方程中出现.

由于在经济模型中，通常遇到的是后一种定义下的差分方程．因此，今后我们将只讨论形如（*）式的差分方程．第8页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三三、差分方程的解定义4

如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,使其对t=…,-2,-1,0,1,2,…成为恒等式,则称yt=j(t)为方程的解.含有n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解yt=(t,C1,C2,…,Cn)称为n阶差分方程的通解.在通解中给任意常数C1,C2,…,Cn以确定的值所得的解,称为n阶差分方程的特解.第9页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三

例如,函数yt=at+C(a为已知常数,C为任意常数)是差分方程yt+1-yt=a的通解.而函数yt=at,yt=at-1,…均是这个差分方程的特解.

由差分方程的通解来确定它的特解,需要给出确定特解的定解条件.n阶差分方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0常见的定解条件为初始条件.y0=a0,y1=a1，…,yn-1=an-1，这里a0,a1,a2,…，an-1均为已知常数．第10页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三

只要保持差分方程中的时间滞后结构不变,无论对t提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程是等价的,即二者有相同的解.例如,方程

ayt+1-byt=0

与方程

ayt+2-byt+1=0都是相互等价的．

特别值得注意的是：

基于差分方程的这一特征，在研究差分方程中，为了方便和需要，我们经常随意地移动差分方程中的时间下标，只要保证方程中所有时间下标均移动一个相同的整数值即可

由此可见，在差分以及差分方程的解的定义中，对t=0,1,2,…恒成立时，对t=-1,-2,…也是成立的．为此，今后也就只需讨论t=0,1,2,…的情形．第11页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三四、线性差分方程及其基本定理

形如

yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)的差分方程,称为n阶非齐次线性差分方程.其中a1(t),a2(t),…,an-1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函数,且an(t)≠0,f(t)≠0

而形如

yt+n+a1(t)yt+n-1+…＋an-1(t)yt+1+an(t)yt=0的差分方程,称为n阶齐次线性差分方程.其中ai(t)(i=1,2,…，n)为t的已知函数,且an(t)≠0.第12页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三

如果ai(t)=ai(i=1,2,…,n)均为常数(an≠0),则有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t)，yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0．分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程.

第13页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理)

若y1(t),y2(t),…,ym(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解(m≥2),则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t)也是方程的解,其中A1，A2，…，Am为任意常数．定理2

n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解．第14页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三定理3(齐次线性差分方程通解结构定理)

如果y1(t),y2(t),…,yn(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解,则方程的通解为：yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数．

第15页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理)

如果(t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)的一个特解,yA(t)是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的通解,那么,非齐次线性差分方程的通解为：y(t)=yA(t)+

(t)即y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+

(t)，这里A1，A2,…,An为n个任意(独立)常数．第16页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三第二节一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程的一般形式为yt+1+ayt=f(t)和yt+1+ayt=0,其中f(t)为t的已知函数,a≠0为常数.分别称为一阶常系数非齐次线性差分方程和其对应的齐次差分方程.

第17页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三一、一阶常系数线性齐次差分方程的通解与特解将方程yt+1+ayt=0改写为:yt+1=-ayt,t=0,1,2,…．假定在初始时刻(即t=0)时,函数yt取值A,那么由上式逐次迭代,得y1=-ay0=-aA,y2=-ay1=(-a)2A,………………方程的通解为yt=A(-a)t,t=0,1,2,…．A为任意常数.如果给定初始条件t=0时yt=y0,则A=y0,此时特解为：yt=y0(-a)t．

第18页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三二、一阶常系数线性非齐次差分方程的通解与特解1.迭代法求通解将方程改写为yt+1=(-a)yt+f(t),t=0,1,2,…．逐步迭代,则有y1=(-a)y0+f(0),y=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),………………

23第19页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三由数学归纳法,可得

yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)

=(-a)ty0+,(t=0,1,2,…)，

yA(t)=(-a)ty0为

对应的齐次方程

的通解.

于是方程的通解为第20页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三解例第21页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三方程的通解第22页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三2.待定系数法求特解情形Ⅰf(t)为常数．方程变为yt+1+ayt=b,a,b均为非零常数．当a≠-1时,可求得特解当a=-1时,改设特解(为待定系数),将其代入方程得(t+1)+a

t=(1+a)

t+

=b

求得特解试以(为待定常数)形式的特解代入方程得

+a

=(1+a)

=b．第23页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三方程的通解为解例求差分方程注意我们也可用迭代法求解.第24页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三情形Ⅱf(t)为t的多项式．设f(t)=b0+b1t(t的一次多项式),即yt+1+ayt=b0+b1t,t=1,2,…，其中a,b0,b1均为常数,且a≠0,b1≠0．试以特解=a+bt,(a,b为待定系数)代入方程得a+b(t+1)+a(a+bt)=b0+b1t，上式对一切t值均成立,其充分必要条件是：第25页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三当1+a≠0时,即a≠-1时，方程的特解为当a=-1时,改设特解=(a+bt)t=at+bt2

将其代入方程可求得特解第26页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三方程的通解为解例第27页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三情形Ⅲf(t)为指数函数设f(t)=b·dt,b,d均为非零常数,方程变为

yt+1+ayt=b·dt,t=0,1,2,…．

求得特解当a+d≠0时,设方程有特解=mdt,m为待定系数.将其代入方程得mdt+1+amdt=b·dt,当a+d=0时,改设方程的特解=tdt,为待定系数,将其代入方程可求得特解=btdt

当a+d≠0时,设方程有特解=mdt,m为待定系数.将其代入方程得mdt+1+amdt=b·dt,

第28页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三方程的通解为解例第29页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三情形Ⅳf(t)为正弦、余弦型三角函数

设f(t)=b1cost+b2sint,其中b1,b2,均为常数,且

≠0,b1与b2不同时为零.于是非齐次方程变为yt+1+ayt=b1cost+b2sint,a≠0,t=0,1,2,…．

设方程有特解=acost+bsint,a,b均为待定系数.

将其代入方程得acos(t+1)+bsin(t+1)+aacost+absint=b1cos

t+b2sint,(acos+bsin+aa)cost+(-asin

+bcos

+ab)sinwt=b1cost+b2sint

第30页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三(acos+bsin

+aa)cost+(-asin

+bcos

+ab)sinwt=b1cost+b2sint

上式对t=0,1,2,…恒成立的充分必要条件是其系数行列式第31页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三当D≠0时,则可求得其解当D=(a+cosw)2＋sin2w=0时,则有改设特解第32页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三代入方程并整理可得方程的通解为第33页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三例求差分方程yt+1-2yt=cost的通解．解对应齐次方程的通解为yA(t)=A·2t．设非齐次方程的特解为=acost+bsint,其中a,b为待定系数．

将其代入原方程,并利用三角函数的和角公式,得第34页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三所给方程的通解为第35页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三第三节差分方程在经济学中的应用一、存款模型

设St为t期存款总额,i为存款利率,则St与i有如下关系式：St+1=St+iSt=(1+i)S

,t=0,1,2,…，其中S0为初始存款总额．t这是一阶线性齐次差分方程，通解为第36页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三二、动态供需均衡模型(蛛网定理)

设Dt表示t期的需求量,St表示t期的供给量,Pt表示商品t期价格,则传统的动态供需均衡模型为：

其中a,b,a1,b1均为已知常数.

(1)式表示t期(现期)需求依赖于同期价格；(2)式表示t期(现期)供给依赖于(t-1)期(前期)价格．(3)式为供需均衡条件．第37页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三若在供需平衡的条件下,而且价格保持不变,即Pt=Pt-1=Pe，静态均衡价格需求曲线与供给曲线的交点(Pe,Qe)即为该种商品的静态均衡点．动态供需均衡模型的等价差分方程方程的一个特解方程的通解为将动态供需均衡模型的(1)(2)两式代入(3)式，便得到第38页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三若初始价格P0已知时,将其代入通解,可求得任意常数A=P0-Pe,此时,通解改写为

如果初始价格P0=Pe,那么Pt=Pe,这表明没有外部干扰发生,价格将固定在常数值Pe上,即静态均衡．如果初始价格P0≠Pe,那么价格Pt将随t的变化而变化.

动态价格Pt随着t的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格Pe.第39页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三普通商品的价格与供需关系图上图的形状类似于蜘蛛网，故称此模型为蛛网模型(或蛛网定理)．第40页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三一.一阶常系数线性齐次差分方程的通解为二.一阶常系数线性非齐次差分方程的通解小结第41页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三第42页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三1．设Yt为t期国民收入，Ct为t期消费，I为投资(各期相同)．卡恩(Kahn)曾提出如下宏观经济模型：其中α，β均为常数，试求Yt和Ct．①②解：①②中消去，得：上式为一阶线性非齐次方程，且其解为：第43页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三将上式代入第一式得第44页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三第三节二阶常系数线性差分方程

二阶常系数线性差分方程的一般形式为yt+2+a1yt+1+a2yt=f(t)，t=0,1,2,…，其中f(t)为t的已知函数,a1,a2为已知常数,且a2≠0,称为二阶常系数非齐次线性差分方程．特别地,当f(t)0时,方程变为yt+2+a1yt+1+a2yt=0．称为对应的齐次差分方程．第45页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三一、齐次差分方程的通解

称2＋a1+a2=0为二阶常系数非齐次线性差分方程或其对应的齐次差分方程的特征方程．它的解(或根)称为方程的特征根(值)．

特征方程的两个根为(1)特征根为相异的两实根当＞0时,1,

2为两相异的实根.y1(t)=1t与y2(t)=2t是齐次差分方程的两个线性无关的特解.

第46页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三齐次差分方程的通解1,2由特征方程确定,A1,A2为两任意(独立)常数．

例求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=0的通解．解特征方程为2-7+12=(

-3)(

-4)=0,有两相异实特征根

1=3,

2=4．

原方程的通解为第47页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三(2)特征根为两相等的实根当=0时,=1=2=为两相等的实根.

方程的一个特解：yt(t)=t．

方程的另一个特解为y(t)=tt，且与t线性无关.

方程的通解为第48页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三例求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=0的通解.解特征方程为2-4+4=(-2)2=0，方程有重特征根

=1=2=2原方程的通解为yA(t)=(A1+A2t)·2t,A1,A2为任意常数．第49页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三(3)特征根为一对共轭复根当＜0时,1,

2为一对共轭复根.1,2=±i=r(cos±isin)

第50页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三y1(t)=rtcost,y2(t)=rtsint是方程的两个线性无关特解.

方程的通解为yA(t)=rt(A1cos

t+A2sin

t)其中

A1，A2为任意常数.第51页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三例求差分方程yt+2-2yt+1+2yt=0的通解．解特征方程2-2+2=(-1)2＋1=0

特征根为一对共轭复根1,2=1±i．

方程的通解为第52页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三二、非齐次方程的特解与通解例求差分方程yt+2-7yt+1+12yt=6的通解．解对应的齐次方程的通解为yA(t)=A1·3t+A2·4t，原方程的通解为yt=yA(t)+=A1·3t+A2·4t+1，这里A1,A2为任意常数．

由于1+a1+a2=1-7+12≠0,设特解

=B,B为待定常数,将其代入原方程,求得B=1.第53页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三例求差分方程yt+2-3yt+1+2yt=4的通解．解特征方程为2-3+2=(-1)(-2)=0,特征根1=1,2=2.

对应齐次方程的通解为yA(t)=A1+A2·2t．因1+a1+a2=1-3+2=0,故应设非齐次方程的特解为

=Bt,B为待定系数,将其代入原方程,求得B=-4．

原方程的通解为yt=yA(t)+

=A1+A2·2t-4t，这里A1,A2为任意常数．第54页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三例

求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=3+2t的通解.

解对应齐次方程的通解为yA(t)=(A1+A2t)·2t．此式对t=0,1,2,…恒成立的充要条件是B0-2B1=3,B1=2.由此解得：B0=7，B1=2．

设非齐次方程有特解

=B0+B1t,B0,B1为待定系数.将其代入原方程中,得(B0-2B1)+B1t=3+2t,第55页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三所求非齐次方程的特解为原方程的通解为A1,A2为任意常数．

第56页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三例求差分方程yt+2-4yt+1+4yt=5t的通解．解对应齐次方程的通解为yA(t)=(A1+A2t)·2t．设所给非齐次方程的特特为=B·5t,B为待定系数.

将其代入所给方程,可得

B·5t+2-4B·5t+1+4B·5t=5t．非齐次方程的特解为所给方程的通解为其中A1,A2为任意常数．第57页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三第四节差分方程在经济学中的应用一、存款模型

设St为t期存款总额,i为存款利率,则St与i有如下关系式：St+1=St+iSt=(1+i)Si,t=0,1,2,…，其中S0为初始存款总额．

第58页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三二、动态供需均衡模型(蛛网定理)

设Dt表示t期的需求量,St表示t期的供给量,Pt表示商品t期价格,则传统的动态供需均衡模型为：

其中a,b,a1,b1均为已知常数.

(1)式表示t期(现期)需求依赖于同期价格；(2)式表示t期(现期)供给依赖于(t-1)期(前期)价格．(3)式为供需均衡条件．第59页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三若在供需平衡的条件下,而且价格保持不变,即Pt=Pt-1=Pe，静态均衡价格需求曲线与供给曲线的交点(Pe,Qe)即为该种商品的静态均衡点．动态供需均衡模型的等价差分方程方程的一个特解方程的通解为第60页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三若初始价格P0已知时,将其代入通解,可求得任意常数A=P0-Pe,此时,通解改写为

如果初始价格P0=Pe,那么Pt=Pe,这表明没有外部干扰发生,价格将固定在常数值Pe上,即静态均衡．如果初始价格P0≠Pe,那么价格Pt将随t的变化而变化.

动态价格Pt随着t的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格Pe.第61页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三普通商品的价格与供需关系图第62页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三三、凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型

设Yt表示t期国民收入,Ct为t期消费,It为t期投资,I0为自发(固定)投资,I为周期固定投资增量.凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：(1)式为均衡条件,即国民收入等于同期消费与同期投资之和;(2)式为消费函数,即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期),a(≥0)为基本消费水平,b为边际消费倾向(0＜b＜1);(3)式为投资函数,这里仅考虑为固定投资．

第63页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三在(1)(2)(3)式中消去Ct和It,得到一阶常系数非齐次线性差分方程：Yt-bYt-1=a+I0+I

方程的一个特解方程的通解为其中A为任意常数.称系数为凯恩斯乘数.第64页，讲