高考数学复习05概率统计（原卷版）-2021年高考数学专练(新高考)

重难点05概率与统计

【高考考试趋势】

新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以

排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。试题考查特点是以实际应用问题为载

体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分

布以及正态分布对应的数学期望以及方差。概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际

生活。取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点

趋势，应该引起关注。

【知识点分析及满分技巧】

1.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就

能适应高考的要求。

2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概

率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分

析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪

几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.

3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差

问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1.（2020•广西高三其他模拟（理））从4个男生、3个女生中随机抽取出3人，则抽取出的3人不全是

男生的概率是（）

543134

A.7B.5C.35D.35

2.（2020•陕西西安市•高新一中高三期末（理））某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的

“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲

说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名

次排列情况可能有（）

A.36种B.54种C.58种D.72种

0<Q<一匕

3.（2020•浙江高三其他模拟）设3,随机变量彳的分布列为

012

Pa1—3。2a

那么，当。在I内增大时，,0）的变化是（）

A.减小B.增大C.先减小后增大D.先增大后减小

4.（2020•全国高三专题练习（理））已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数

P（X=1）=—

为X,己知45,且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品数为（）

A.2件B.4件C.6件D.8件

5.（2020•四川省泸县第二中学高三开学考试（理））设随机变量4服从正态分布A函数

+4没有零点的概率是万，则〃等于（》

A.1B.2C.4D.不能确定

6.（2020•山东高三专题练习）某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人,

则不同的安排方案共有（）

A.150种B.120种C.240种D.540种

7.（2020.重庆市第七中学校高二月考）若=旬+。/+%X2+…+。2020工2°2°,则

Cl।+a?+。3i.•・+。2020—（）

A.0B.1C.-1D.2

8.（2020•长沙市•湖南师大附中高三月考）某公司引进先进管理经验，在保持原有员工人数的基础

上，注重产品研发及员工待遇，提高产品质量和员工积极性，效益显著提高.同时该公司的各项成本也随

着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该公司2018年和2019年的运营成本及利润占当年总收入的比

例，已知2019年和2018年的材料设备费用相同，则下列说法不正确的是（）

A.该公司2019年利润是2018年的3倍

B.该公司2019年的员工平均工资是2018年的2倍

C.该公司2019年的总收入是2018年的2倍

D.该公司2019年的研发费用等于2018年的研发和工资费用之和

二、多选题

9.（2020•全国）某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从

2011年到2019年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序

号x（2011年作为第1年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟

合，效果如下图，则下列说法错误的是（）

A.销售额y与年份序号x呈正相关关系

B.根据三次多项式函数可以预测2020年“双11”当天的销售额约为8454亿元

C.销售额y与年份序号x线性相关不显著

D.三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果

10.（2020•阳江市第一中学高三其他模拟）某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选

学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习.现有甲、乙、丙三

人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（）

A.甲的不同的选法种数为10

B.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件

]_

C.乙同学在选物理的条件下选化学的概率是《

D.乙、丙两名同学都选物理的概率是7

三、填空题

11.（2020•全国高三专题练习（理））某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数

学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、

地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有

_______.（用数字作答）

12.（2020•济南市•山东省实验中学高三一模）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区

服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，

他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为.（用数字作答）

XG

13.（2020•江西高三二模（理））若对任意都有

人2H

--------r=+qx+a?xH---Fcix+….

i-x—2xtJ,（及为正整数），则q+生的值等于.

14.（2020•内蒙古赤峰市•高三二模（理））验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图

片，图片里加上一些干扰象素（防止℃R）,由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验

证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期

间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0,1,2,…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然

后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532,12543）,已知某人收到了一个“钟型

验证码”,则该验证码的中间数字是7的概率为.

四、解答题

15.（2020•全国高三专题练习）某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价

值的无形资产和重要城市品牌.“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包含：中

国梦内涵、社会主义核心价值观、精神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六个好”、“五个礼让”

共5个问题，提问时将从中抽取2个问题进行提问.某日，创城检查人员来到N校，随机找了三名同学甲、

乙、丙进行提问，其中甲只背了5个问题中的2个，乙背了其中的3个，丙背了其中的4个.计一个问题答

对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到30分该学校为合格，达到50分时该学校

为优秀.

（1）求〃校优秀的概率（保留3位小数）；

（2）求出4校答对的问题总数X的分布列，并求出4校得分的数学期望；

（3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议.

16.（2020•黑龙江大庆市•大庆实验中学高三月考（理））某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问

题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝

的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云

端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研

究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图

（如图1）：

产品的性能指数在150/0）的适合托班幼儿使用（简称1类产品），在0°，9°）的适合小班和中班幼儿使

用（简称6类产品），在［9°，的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A,B,C,三类产品的销售利

润分别为每件1.5,3.5,5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能

指数位于该区间的概率.

（1）求每件产品的平均销售利润;

（2）该公司为了解年营销费用工（单位：万元）对年销售量丁（单位：万件）的影响，对近5年的年营销

费用为，和年销售量%（'=1'2,3,45）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.

5526,-22-力）次,-寸

;=1i=\1=1

16.3024.870.411.64

,,M=->U.（?=->V,

表中%=lnx,・，。,=M乂，5t

根据散点图判断，丁=”,一可以作为年销售量丁（万件）关于年营销费用》（万元）的回归方程.

（7）建立丁关于x的回归方程：

（27）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？

4159z-A

（收益=销售利润-营销费用，取e'=64）.

参考公式：对于一组数据（/阳），（“2，02）」••，（％%）,其回归直线"的斜率和截距的最小二乘

.£（%-加田

/3='

估计分别为

17.（2020•泰安市基础教育教学研究室高三其他模拟）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技

术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）

数据，整理如下：

改造前：19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21

改造后：32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36

（1）完成下面的列联表，并判断能否有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异?

超过30不超过30

改造前

改造后

（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护

费两种.对生产设备设定维护周期为T天（即从开工运行到第kT天，kGN*）进行维护.生产设备在一个生

产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只

产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费：若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，

还产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每

增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产设备一个生产周期（以120天计）内的维护方案：T=30,

k=l,2,3,4.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周

期内生产维护费的分布列及均值.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K22k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.（2020•山西晋中市•祁县中学高二月考（理））近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支

付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫

码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，》表示活动推出的天数，y

表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：

根据以上数据，绘制了散点图.

（1）根据散点图判断，在推广期内，》="+法与y=cV'（°，"均为大于零的常数），哪一个适宜作为

扫码支付的人次少关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）：

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y与x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支

付的人次；

（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表:

支付方式现金乘车卡扫码

比例10%6OH30%

西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知,

每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使

用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客

11

中有5的概率享受7折优惠，有8的概率享受8折优惠，有5的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每

个月有1万人次乘车，