高中数学知识点大全

高中数学常用公式及结论大全（新课标）

必修1

1、集合的含义与表示

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：

确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。

描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如{x|x<5,且XWN}

2、常用数集及其表示方法

（1）自然数集N（又称非负整数集）：0、1、2、3、……

（2）正整数集N*或N+：1、2、3、……

（3）整数集Z：-2、-1、0、1、……

（4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等

（5）实数集R：全体实数的集合

（6）空集中：不含任何元素的集合

3、元素与集合的关系：属于g不属于电

例如：a是集合A的元素，就说a属于A,记作awA

4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等

（1）子集的概念

如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集（如图1）,记

作AGB或BmA.厂7"、厂一■、

若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q,（B（A））或J

记作P<zQ

（2）真子集的概念

若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的

真子集（如图2）.A丸或B三A-

（图2）

（3）集合相等：若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.

AGB,BGAuA=B

5、重要结论（1）传递性：若AGB,BGC,则AGC

（2）空①集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集

6、含有n个元素的集合，它的子集个数共有2n个；真子集有2。-1个；非空子集有2o-1个（即

不计空集）；非空的真子集有2n-2个.______

7、集合的运算：交集、并集、补集

（1）一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集

记作AAB（读作"A交B”），即AcB={x|xcA,且xeB}.

（2）一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合，叫做A,B的并

集.记作AUB(读作"A并B")，即AUB={x|xdA,或xdB}.

(3)若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，

叫做A在U中的补集，记作CuACuA=tx|xeU.HxeA)

注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了A=①的情况。

8、映射观点下的函数概念

如果A,B都是非空的数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作y=f(x)

其中xwA,ycB.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C(C£B)叫做函数y=f(x)

的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).

2x+1x>0

9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如y=<2

Lx-3x<0

10、求函数的定义域的原则：(解决任何函数问题，必须要考虑其定义域)

①分式的分母不为零；如：y=」一,则X-1

x-1

②偶次方根的被开方数大于或等于零；如：y=、5方,则5-x20

③对数的底数大于o且不等于1；如：y=loga(x-2),则a>0且a+1

④对数的真数大于0；如：y=loga(x-2),则x-2>0

⑤指数为o的底不能为零；如：y=(m-l),,则m-1

11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑)

(1)奇函数满足f(—X)=_f(x),奇函数的图象关于原点对称；

(2)偶函数满足f(_x)=f(x),偶函数的图象关于y轴对称；

注：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；②若奇函数在原点有定义，则f(0)=0

③根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑)

当时，都有则在该区间上是增函数，图象从左到右上升；

X<X2f(xj<f(x2),f(x)

当时，都有则在该区间上是减函数，图象从左到右下降。

Xi<X2f(xj>f(x2),f(x)

函数f(x)在某区间上是增函数或减函数，那么说f(x)在该区间具有单调性，该区间叫做

单调(增/减)区间

13、一元二次方程ax+bx+c=O(awO)

(1)求根公式：*2二二13二三人二4ac(2)判别式：A=b?—4ac

,2a

(3)△>0时方程有两个不等实根；△=()时方程有一个实根；4<0时方程无实根。

bc

(4)根与系数的关系——韦达定理：X[+X2=-t，为/2=士

aa

14、二次函数：一般式y=ax2+bx+c(a*0)；两根式

y=a(x-x1)(x-x2)(a*0)

顶点坐标为(一旦,).对称轴方程为:b

(1)4acb?(2)x=——；

2a4a2a

h4AT_h

(3)当a>0时，图象是开口向上的抛物线，在x=__±处取得最小值或一口

2a4a

h_h

当a<0时，图象是开口向下的抛物线，在x=_-±处取得最大值权―”

2a4a

(4)二次函数图象与X轴的交点个数和判别式△的关系：

△>0时，有两个交点；A=0时，有一个交点(即顶点)；△<()时，无交点。

15、函数的零点

使的实数叫做函数的零点。例如是函数的一个零点。

f(X)=0XoXo=-1f(X)=X?_1

注：函数y=f(x声零点U函数y=f(xyj图象与X轴有交点u方程f(x)=O有实根

16、函数零点的判定：

如果函数y=f(x产区间b,b]±的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)・f(b)<0。那

么，函数y=f(x回区间(a,b处有零点，即存在cw(a,b)使得f(C)=0。

17、分数指数嘉(a>0,m,neN*,且n>1)

m____3m.3

(1)an=vam.如=x2；⑵a-=-5-=-i='如=x2；(3)(i/a)n=a；

5比々

(4)当n为奇数时，V/=a；当n为偶数时.，底=值|=「''°

、一a,a<0

18、有理指数界的运算性质(a>O,r,seQ)

<1)a-as=ar49；(2)(ar)s=ars；(3)(ab)r=arbr

19、指数函数yR

、若贝叫做以为底的对数。记作：

20a'=N,ijbQN|OgaN=b(a>0,a*1,N>0)

其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。

注：指数式与对数式的互化公式：b

logaN=b^=：a=N(a>0,a^1,N>0)

21、对数的性质

(1)零和负数没有对数，即logaN中N>0；

的对数等于即底数的对数等于即

(2)10,loga1=01,logaa=1

、常用对数：以为底的对数叫做常用对数，记为：

22lgN10log10N=lgN

自然对数：以为底的对数叫做自然对数，记为：

InNe(e=2.71828…)logeN=lnN

23、对数恒等式：a'°9aN=N

24、对数的运算性质(a>0,aW1,M>0,N>0)

M

(1)log(MN)=logM+logN；(2)log—=logM-logN；

aaaaNaa

n(注意公式的逆用)

(3)logaM=nlogaM(neR)

、对数的换底公式且且

25logaN=—(a>0,aw1,m>0,m01,N>0).

'logma

推论①bga门'l°g"-1或logab=—-—；②logamb"=2logab.

Iogbam

26、对数函数y=logax(a>0,且a)：其中，x是自变量，a叫做底数，定义域是(0,收)

a>10<a<1

i

图像J

7

0

0八：

定义域：(0,°°)

值域：R

性质

过定点(1,0)

增函数减函数

0<x<1时，y<00<x<1H寸，y>0

取值范围

x>1时，y>0x>1时，y<0

27、指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数；它们图象关于直线y=x对称.

28、基函数y=xa(a€R),其中x是自变量。要求掌握a1,2,3这五种情况(如下图)

2

29、累函数y=X。的性质及图象变化规律：

（I）所有基函数在（0,+8）都有定义，并且图象都过点（1,1）；

（II）当ct>0时，毫函数的图象都通过原点，并且在区间［0,+8）上是增函数.

32

30、边长为a的等边三角形面积Sji--A=-a

4

31、柱体体积：V柱=5底八，锥体体积：\/徘=—5底八

3

球表面积公式：S球=4TTR2,球体积公式：V=3TTR3（上述四个公式不要求记忆）

3

32、四个公理：

①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

②过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。

③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。

④平行于同一直线的两条直线平行（平行的传递性）。

33、等角定理：//

空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补（如图）——"臣—/

屋面吉绯「平行：（在同一平面内，没有公共点）

34、两条直线的位置关系：巧且/［相交：（在同一平面内，有一个公共点）

［异面直线：（不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点）

直线与平面的位置关系：

（1）直线在平面上；（2）直线在平面外（包括直线与平面平行，直线与平面相交）

两个平面的位置关系：（1）两个平面平行；（2）两个平面相交

35、直线与平面平行：

定义一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。

判定平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。

性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

36、平面与平面平行：

定义两个平面没有公共点，则这两平面平行。

判定若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

性质①如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。

②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。

37、直线与平面垂直：

定义如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。

判定一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。

性质①垂直于同一平面的两条直线平行。

②两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。

38、平面与平面垂直：

定义两个平行相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。

判定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

39、三角形的五“心”

（1）0为4ABC的外心（各边垂直平分线的交点）.外心到三个顶点的距离相等

（2）。为AABC的重心（各边中线的交点）.重心将中线分成2：1的两段

（3）0为AABC的垂心（各边高的交点）.

（4）。为AABC的内心（各内角平分线的交点）.内心到三边的距离相等

（5）0为4ABC的NA的旁心（各外角平分线的交点）.

40、直线的斜率：

⑴过A（%,yi）8区，丫2）两点的直线，斜率k="一"，（hx?）

X2-X1

（2）已知倾斜角为a的直线，斜率k=tana（a090°）

（3）曲线y=f（x）在点（x0,yo）处的切线，其斜率k=f7Xo）

41、直线位置关系：已知两直线L:y=Kx+bi,l2：y=kzx+b2，则

11//12u=kz目.*b211.L12uk?=—1

特殊情况：当都不存在时，〃%；当不存在而时;

（1）k»k2h（2）Kkz=0hll2

42、直线的五种方程：

①点斜式（直线过点斜率为

y-Yl=k（x-x0I（xhyj,k）.

②斜截式y=kx+b（直线I在y轴上的截距为b,斜率为k）.

③两点式上二*_=土*_（直线过两点（x「yj与（X2,y2））.

y2-yiX2-x

④截距式-+^-=1（a,b分别是直线在x轴和y轴上的截距，均不为0）

ab

Ap

⑤一般式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）；可化为斜截式：y=--x-—

BB

io9"

43、（1）平面上两点A%,y1），B（X2,丫2）间的距离公式：|AB|=V（xi-x2）+（Yi-Ya）

222

(2)空间两点A(x1,y”z)B(X2,y2，Z2)距离公式|AB|=-x2)+(^_y2)+(Z1-z2)

1Ax+By

(3)点到直线的距离d=°,9°(点P(Xo,y0),直线I：Ax+By+C=0).

VA2+B2

1^-C|

44、两条平行直线Ax+By+Ci=0与Ax+By+C2=0间的距离公式：d=1_____2=L

A2+B2

注：求直线Ax+By+C=0的平行线，可设平行线为Ax+By+m=0,求出m即得。

45、求两相交直线A1X+B1y+Ci=0与A2X+B?y+C2=0的交点：解方程组盟

/A2XTD2y十=U

46、圆的方程：

①圆的标准方程（x-a）?+（y-b）2=d.其中圆心为（a,b）,半径为r

oO

②圆的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0.

DE\；D+E-4F22

其中圆心为,半径为r=，其中D+E—4F>0

222

47、直线Ax+By+C=0与圆的（x-a）2+（y-b）2=/位置关系

（1）d>ru相离u△<0;1A-e

（2）d=ru相切u△=0;其中d是圆心到直线的距离，且d」―I

（3）d<y相交u△>0.4A+B

48、直线与圆相交于A（Xi，yJ,B（X2，y2）两点，求弦ABK度的公式：（1）|AB|=2vi2-d?

（2）|AB|=Ji+k2J（X[+X21-4X|X2（结合韦达定理使用），其中k是直线的斜率

49、两个圆的位置关系：设两圆的圆心分别为Q,Q,半径分别为r,,r2）0^2=d

1）d>n+七u外离u4条公切线；2）d=0+Lu外切u3条公切线；

3）G-r2<d<r,+r2相交u2条公切线；4）d=|G-r2«内切u1条公切线；

5）0<d<G-r2|内含u无公切线

必修③公式表

50、算法：是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和

有效的，而且能够在有限步之内完成.

51、程序框图及结构

程序框名称功能

厂】

表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不

起止框

可少的。

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法

输入、输出框

中任何需要输入、输出的位置。

赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公

处理框式等分别写在不同的用以处理数据的处理框

内。

<>

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明

判断框

“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N

52、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

53、三种抽样方法的区别与联系

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单随机抽

从总体中逐个抽取总体中个体数较少

样

各层抽样可采用

分层抽取过程将总体分成儿层总体有差异明显的儿部

简单随机抽样或

抽样中每个个体进行抽取分组成

系统抽样

被抽取的概

将总体平均分成

率相等在起始部分抽样

儿部分，按事先确

系统抽样时采用简单随机总体中的个体较多

定的规则分别在各

抽样

部分抽取

54、(1)频率分布直方图(注意其纵坐标是“频率/组距)

组数=产差1，频率=.频数，小矩形面积=组距x处=频率。

忸距」样本容量组距

(2)数字特征众数：一组数据中，出现次数最多的数。

中位数：一组数从小到大排列，最中间的那个数(若最中间有两个数，则取其平均数)。

22222

平均数：X=-(X1+x2+•"+xn)方差：s=-[(x1-x)+(x2-x)+(x3-x)+|||+(xn-x)-

nn

；-Xj+&2-xf+(x-X5l注：通过标准差或方差可以判断一组数

标准差：s=、n

据的分散程度；其值越小，数据越集中；其值越大，数据越分散。

zXiYi-nxy

回归直线方程：，=bx+a,其中b=[，a=y-bx

22

ZXi-nx

i=i

55、事件的分类：

(1)必然事件：必然事件是每次试验都一定出现的事件。P(必然事件)=1

(2)不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P(不可能事件)=0

(3)随机事件：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件

基本事件：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。

56、在n次重复实验中，事件A发生的次数为m,则事件A发生的频率为m/n,当n很大时，m

总是在某个常数值附近摆动，就把这个常数叫做事件A的概率。（概率范围：OWP（AA1）

57、互斥事件概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件（如图1）。

如果事件A、B是互斥事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）

58、对立事件（如图2）：指两个事件不可能同时发生，但必有一个发生。

对立事件性质：P（A）+P（A）=1,其中A表示事件A的对立事件。

59、古典概型是最简单的随机试验模型，古典概型有两个特征：

（1）基本事件个数是有限的；

图（2）

（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同.

60、设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概

率P（A）公式为

A包含的基本事件的个数_工

（尸—基本事件的总数二n

运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求它

们的概率，然后计算。在计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。

构成事件A的区域长度（面积或体积）

61、几何概型的概率公式:P(A)=

试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）

必修④公式表

62、终边相同角构成的集合：SlB=a+2kmkez}

、弧度计算公式：

63|al=-

112

64、扇形面积公式：S=-lr=—ar（a为弧度）

22

65、三角函数的定义：已知P（x,y墀a的终边上除原点外的任一点

yXV222

则sina=—,cosa=-，tana=—，其中r=x+y

rrx

66、三角函数值的符号

sinacosatana

67、特殊角的三角函数值:

717T冗冗2兀3冗5a.

a0

64323462

11

sina0典1瓜0-1

222V2

11

cosa1品07273-10

222~2

同不存不存

tana0173-石-10

3在3在

sina

68、同角三角函数的关系：sin2a+cos2a=1,tana=-------

cosa

69、和角与差角公式：二倍角公式：

sin(a±P)=sinacosB±cosasinP;sin2a=2sinacosa

222

cos(a±P)=cosacosPfsinasinP;cos2a=cosa-sina=1-2sina

2

°tana±tanP2tana=2cosa-1

tan(a±P)=--------------r-.tan2ct=----------

1+tanatanP1-tana

70、诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看?象限；其中，奇偶是指》的个数，符号参考第66条

2

sin(a+2kn)=sinasin(a+n)=-sinetsin(-a)=-sinasin(n-a)=sina

cos(a+2k兀)=cosacos(a+冗)=-cosaCOS(-a)=cosaCOS(兀-a)=-COSa

tan(a+2k兀)=tanatan(a)=tancttan(-a)=-tanatan(jr-a)=-tana

7TK五71

sin(------a)=cosacos(--a)=sinasin(—+a)=cosacos(—+a)=-sina

2222

71、辅助角公式：asina+bcosa+tsin(a+3)(辅助角<P所在象限与点(a,b)的象限

l-

相同，且tanW=-).主要在求周期、单调性、.最值时运用。如y=v'3sinx+cosx=2sin(x+')

a6

21C0Sa2a1+cosa

72、半角公式(降基公式)：sin-=~cos—=----------

2222

73、三角函数y=Asin((ox+Q)的性质(A>0,0>0)

27rI

(1)最小正周期T=J；振幅为A；频率f='；相位：cox+华；初相：＜P；值域：［-A,A］；

coT

对称轴：由cox+q=3+kn解得x；对称中心：由sx+Q=kn解得x组成的点(x,0)

2

(2)图象平移：x左加右减、y上加下减。

例如：向左平移1个单位，解析式变为y=Asin[co(x+1)+9]

向下平移3个单位，解析式变为y=Asin(ox+9)-3

(3)函数y=tan(sx+阳的最小正周期T=—.

CO

74、正弦定理：在一个三角形中，各边与对应角正弦的比相等。

abc

=2R（R是三角形外接圆半径

sinA-sinB-sinC

75、余弦定理：

.222

』b+c-a

coA=-----------------

2.22c」A2bc

a=b+c-2bccosA

.222c--c+a-b

b=c+a-2cacosB,推论C0B=-----------------

22,2^.八2ca

c=a+b-2abcosC.2.22

ca+b-c

C0e=----------------

2ab

76、三角形的面积公式：SMBC=absinC=acsinB=bcsinA.

222

77、三角函数的图象与性质和性质

y=cosxy=tanx

三角函数y=sinx

：：［

1

7

图象.殳N/2冗

1111

IT,n.

定义域(_oC,+oC):-oC,+oC)(k冗---,kn+—)

22

值域[-1.1][-1.1](—QC,+oC)

7T

最大值

X=二十20，ymax=1x=2—,ymax=1

2

最小值

x=—1+2k",y=-1x=万+2k7r，ymin=-1

2min

周期2%27171

奇偶性奇函数偶函数奇函数

,Tt7T,nn

在[--+2k%-+2kk]在［一n+2kK,2k7t］在（一一+内，一+2口）

2222

单调性上是增函数上是增函数上都是增函数

kez,H371cl

在[一+2kn,——+2k兀]在［2kn,jr+2kit］

22

上是减函数上是减函数

78、向量的三角形法则:、向量的平行四边形法则:

a

a

80、平面向量的坐标运算：设向量a=(x1，y3向量b=(x2,y2)

(1)加法a+b=(x1+x2,yi+y2).(2)减法a-b=(为-X2,0一丫2).

(3)数乘Xa=Mx,力)=(阳，祝)

(4)数量积a•b=|a||b|cos9=x1x2+y,y2,OT6是这两।个向量的夹角

(5)已知两点A(x,,yj,B(X2,y2),则向量AB=OB-OA=(x2-x,,y2-yj.

।,_______2

2;22

81、向量a=(x,y)的模：|a|=v'(a)=<a«a=vx+y，即I3『=&

82、两向量的夹角公式COS6=融=,/X2/y,1^——r