第21讲正弦定理（教师版）

第21讲正弦定理一．学问精讲学问点一：正弦定理1．正弦定理的内容在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即〔为三角形外接圆的半径〕．2．正弦定理的理解=1\*GB3①正弦定理适用于任意三角形；②正弦定理描述了三角形中边与角的一种数量关系；③正弦定理的关系式是分子为边长，分母为该边所对角的正弦的分式，实际上是三个边角的关系式．3．正弦定理的证明正弦定理的证明〔老师可任选一种讲〕证法一：定义法〔1〕当是直角三角形时，如图，在中，设，依据直角三角形中正弦函数的定义，有．那么．从而在中，．〔2〕当是锐角三角形时，如图，设，设边上的高是，依据任意角的三角函数的定义，有，那么；同理可得〔作边上的高〕，从而．〔3〕当是钝角三角形时，如图，角是钝角．设角的对边分别记为，设边上的高是，那么，， 所以，即，同理可得〔作边上的高〕，从而．证法二：用向量来证明〔1〕如图，为锐角三角形，过点作单位向量垂直于，那么与的夹角为，与的夹角为．由向量的加法法那么可得：，在上面对量等式的两边同取与向量的数量积运算，得到：，即：，．另外，过点作与垂直的单位向量，同理可得．〔2〕如图，为钝角三角形，不妨设，过点作单位向量垂直于，那么与的夹角为，与的夹角为．由向量的加法法那么可得：,在上面对量等式的两边同取与向量的数量积运算，得到：，即：，即,，．另外，过点作与垂直的单位向量，同理可得,．〔3〕当为直角三角形时易得此结论．综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立．证法三：利用外接圆证明〔几何法〕〔1〕当是锐角三角形时，如图，连接并延长交圆于，连接．那么，，在中，，，所以．同理可证：，所以〔2〕当是直角三角形时，如图，不妨设为直角，那么，恰为外接圆的直径，即，即．〔3〕当是钝角三角形时，如图，连接并延长交于，连接．那么在中，，所以,即．同理可证：，．4．正弦定理的变形正弦定理有几种常见变形，在解题中要敏捷运用，即：形式1：〔为外接圆的直径〕；形式2：〔角到边的转换〕；形式3：〔边到角的转换〕；形式4：；〔边角互换〕；形式5：．正弦定理是三角形中的边与角联系的纽带和桥梁，能够将三角形中边之间的关系转化为角之间的关系，也能将角之间的关系转化为边之间的关系，这是正弦定理的灵魂．学问点二：任意三角形的面积公式1．任意三角形的面积公式即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半．2．任意三角形面积公式的证明【证明】〔1〕当为锐角三角形时，作，垂足为,那么,又．．同理．=．〔2〕当为钝角三角形时，【证明】不妨设为钝角，如下图，过点作边上的高线，那么,．同理:．．〔3〕当为直角角三角形时，易得．二．经典例题题型一：利用正弦定理解三角形1．两角及一边解三角形【例1】〔1〕在中，，解三角形．〔2〕在中，，求的值及三角形外接圆的半径．【解析】〔1〕在中，．由正弦定理得．．所以中,．〔2〕由正弦定理得即．【变式】的内角的对边分别为，，，，那么．【解析】由于，由正弦定理得解得．2．两边及其中一边对角解三角形【例2】三角形中，，求和．【解析】由正弦定理．,或．当时,,由正弦定理得;当时,，由正弦定理得．所以中,或．【变式1】在三角形中，以下条件，解三角形．〔1〕；〔2〕；〔3〕．【解析】〔1〕又由于,故三角形无解．〔2〕由正弦定理得由于,所以三角形无解．〔3〕由正弦定理，得或．又,由正弦定理得．所以中,． 【变式2】在以下中，依据以下条件解三角形． 〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕．为锐角,．所以中,．〔2〕由正弦定理或．①当，,②当时,，故在中，或题型二：利用正弦定理推断三角形外形化边为角〔1〕推断三角形的外形是看该三角形是否为某些特别的三角形，如锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，等边三角形，等腰三角形，等腰直角三角形等．〔2〕三角形中的边角关系式，推断三角形的外形，可以考虑用正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系，或者化角为边，通过代数恒等变换找出三条边之间的关系，再给出推断．【例3】〔1〕在中，，试推断的外形．，推断的外形．【解析】(1)由正弦定理又即或,或,故是等腰三角形或直角三角形．(2)依据正弦定理故是等边三角形．【变式】依据以下条件，推断三角形的外形．〔1〕(是三角形的外接圆半径)；〔2〕．【斛析】〔1〕由正弦定理又是等腰直角三角形〔2〕由正弦定理由知,是等边三角形．2．化角为边【例4】在中，假设，且，试推断的外形．【解析】是直角三角形为等腰三角形．为等腰直角三角形．【变式】在中，，那么是〔〕直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】A【解析】由正弦定理可得，，设，,得．为直角三角形．题型三：利用正弦定理推断三角形个数在中，和，解三角形．〔〕当为锐角时，如以下图所示：无解一解两解一解〔〕当为直角或钝角时，如以下图所示：无解一解无解一解【例5】以下关于三角形的说法正确的选项是〔〕A．假设，，，那么有两解B．假设，，，那么只有一解C．假设，，，那么有两解D．假设，，，那么无解【答案】．【解析】中，由正弦定理，所以，只有一解，故错误．中，由正弦定理得,又是钝角，所以只有一解．故正确．中，由正弦定理得,所以不存在，即无解，错误．中，由正弦定理得，由于有两解，故错误．【变式】不解三角形，推断以下题解的个数．〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕由可知故从而三角形只有一解．〔2〕所以有两解．【拓展】在中，角所对边分别为．，，记．假设函数(是常数)只有一个零点，那么实数的取值范围是()．A． B．C． D．【解析】由，且，得，如图，由，，知边的最小值为，唯一的符合，即，那么，此时存在函数有唯一零点．假设时，那么，此时以点为圆心，边为半径的圆与边及延长线有两个交点，．如图，那么存在两个值，使得有两个零点．假设时，那么，那么以点为圆心，边为半径的圆与边及延长线(除点外)只有一个交点，使得故函数有唯一零点．综上，实数k的取值范围为或．应选D．题型四：最值与范围利用正弦定理处理边或角的最值问题的一般思索方法：〔1〕依据题意或者几何图形理清三角形中变量关系，并选择根本变量的变化范围;〔2〕将待求范围的变量，依三角形中的正弦定理转化或者化简为根本变量的三角函数关系式；〔3〕依三角函数的界值或者单调性与根本变量的取值范围求出待求量的最值或者范围．【例6】设锐角的内角的对边分别为，且．〔1〕求的大小；〔2〕求的取值范围．【解析】〔1〕由，依据正弦定理，得又为锐角三角形，．〔2〕由为锐角三角形，得，,．的取值范围为．【变式】在中，，，那么的最大值为．【解析】由正弦定理知，所以．又，所以，其中，是第一象限角，，因此的最大值为．题型五：正弦定理的综合应用正弦定理的作用是能够进行边角互化，应用这个可以依据条件推断三角形的外形或证明三角形中的相关等式，但是要留意三角形和三角函数的有关学问，挖掘三角形中的几个隐含条件．〔1〕在中，．〔2〕在中，,〔3〕假设为锐角三角形，那么〔4〕假设为锐角三角形，那么，，，;〔5〕三角形射影定理：在中，．【例7】在中，．〔1〕求证：；〔2〕假设求的值．【解析】〔1〕，即由正弦定理知，从而又〔2〕即，亦即由〔1〕得，解得或【变式】在中，内角的对边分别为，，．〔1〕求证：；〔2〕假设，求的面积．【解析】〔1〕由应用正弦定理，得整理得即由于，从而〔2〕由，的面积【拓展】设的内角所对的边分别为，且．〔1〕求角的大小；〔2〕假设，求的周长的取值范围．【解析】〔1〕由，得．

又

，

，

，又

．

〔2〕由正弦定理得：

,

,

,所以．

课后作业一．根底过关1．在中，，那么．【答案】1．【解析】由正弦定理得,解得,．三角形为等腰三角形,．2．在中，，，，那么这个三角形的解的个数〔〕A．有两组解B．有一组解C．无解D．不能确定【答案】．【解析】由正弦定理.有唯一解．3．在中，，那么是〔〕A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D．【解析】由正弦定理可得，,或者,所以三角形为等腰三角形或直角三角形，选D．4．在三角形中，，，，那么〔〕A．B．C．D．【答案