高中数学数列的性质蛛网图最值恒成立插项公共项规律奇偶问题（解析版）

微专题数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项

问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题

w»tun

1.数列的周期性,此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.

2.函数与数列的综合问题,解决该问题应该注意的事项：

(1)数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤立的点；

(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视

的问题；

(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数,注意数列中相关限制条件的

转化.

3.证明数列｛册｝单调性的方法:根据叫与0的关系判断出数列的单调性(当｛4｝恒为正或者负

时，可以考虑利用况与1的大小关系判断数列单调性).

4.当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021类似这样

的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项正

确.比如求S,，，可以令2021=九，将选项中的所有数字用n来表示，然后通过S|、发来验证哪个选项

正确.如果题目问的是S2M、S20”之类的偶数年份，最好是通过S?、Si这样的偶数项来验证.

IMM1

例1.(淅江省杭州市第二中学潴江校区2022—2023学年高三上学期期中数学试题)已知数列｛%｝满足

e“T+1(、£N*,e为自然对数的底数)，且对任意的M>0都存在nEN*,使得|an-21VM成

立,则数列｛%｝的首项须满足()

A..(1]1B.1&Q|&2C.Q|&2D.QI>2

【答案】C

【解析】

设/(⑼—ex-x—1,令/'(z)=eT-1=0,得到x=0.

当出6(—8,0)时，/'(%)VOJ(z)单调递减;

当z6(0,+8)时J(c)>0,f㈤单调递增.

故/(①)>/(0)=0,即炉>2+1(当且仅当时力=。取等号).

故Qn+i=$二+1—2+1+1(当且仅当时%=2取等号).

即an+i>an.要使对任意的M>0都存在nGN\使得\an-2\VAl成

立，

显然%=2时，％=2,一定能满足题意；

当%>2时，a“>2,如图此时不满足题意;

当的<2时，a“V2,如图此时满足题意；

综上，5V2.

故选:C

例2.（2023•新蔡县月考）数列｛a“｝满足册+-（—1）e％=2几,则数列｛明｝的前60项和等于（）

A.1830B.1820C.1810D.1800

n+1

【解析】解:由a„+1+（―l）a„=2n,

可得数列｛为｝的前60项和为（a1+a2）+（如+a」）+（a,+afi）H-----F（a5fl+a0（i）

=2+6+10+…+118

=yx30x（2+118）=1800.

故选：D.

例3.（2023・江苏模拟）若单调递增数列｛a“｝满足a„+a,,+1+a,l+2=3n—6,且电=5ai，则at的取值范围

是.

【解析】解：:单调递增数列｛Q〃｝满足“+Q〃+I+Q”,+2=3九-6,且。2=/小

1Q

Qi+2al+Q?=~3，解得。3=-3—,

13

~2at—3—ya,+a4=0,解得a।=a1+3,

由条件可以得出册+3-an=3,也就是隔3项成等差数列，公差为3.

只要保证at<a2<a:i<a,就可以保证整个数列单调递增.

单调递增数列｛a“｝中，a3>a2,a.t>a3,

（o3、1

.123

••\o，解仔—z-<aj<-z-.

[ci]+3>-3—2~ai。

・•・Qi的取值范围是（一号,-y）.

故答案为：（一监•，一

例4.（广东盾实段中学2023居方三考前热身调练数学试题）已知S”为数歹也即｝的前n项和，a尸a?=1,

平面内三个不共线的向量早，而，花,满足加=（%1+4+1）工？+（1—册）话，门）2,71€1<*,

若A,B,。在同一直线上，则S2021=.

【答案】0

【解析】设左=/1荏，所以态+加=4前+4)，所以正=(1-X)OA+AOB,

所以“T+A"：’1所以%一1+即+1+1-%=1,所以%_1+&+1=<111,

所以0n+a〃+2=Qn+l>所以QRT+Qn+1+a7H*2=Q"1，所以Q.I+Qn+2=0,

所以an+QN+3=0,所以an+3+Q〃+6=o,所以“+6=斯，所以｛a.,,｝是周期为6的周期数列,

因为Q]=Q2=1,所以。3=。2-=02=-1,。5=。4—。3=-1，。6=函一。1=0,

所以Q[+。2+。3+QI+。5+0-()—0,

所以$2021=SGX336+5=336XO+S5=1+1+0+(-1)+(-1)=0,

故答案为：0.

例5.（江苏省苏州市吴中区木建南级中学2022—2023学年方三上学期期中数学试题）数列｛Q〃｝中，“=

-5a.T—■!■⑺>2,nCN*）,且a=1,记数列｛a“｝的前71项和为Sn，若3九（S“+n）&4对任意的nE

N*恒成立，则实数1的最大值为.

【答案】等

【解析】

1Q1

由an――2~an-i—2~(n>2,nWN)为变形为+1=--+1),又Q1+1=2.

所以数列｛%+1｝是等比数列，首项为2,公比为一专，所以a„+l=2x1Xn-L

一■2)，可得an=2x

--1，

所以Sn=--------j-----n=~y[l—(—y)]一九，则34•(S?+九)&4,所以34,

1一("T)

|y[l—（―y）n]一九十九｝44,解得）《1

U)"'

11

当n为奇数时，/14了恒成立，等价于久&——恒成立，而=-Lj-,所

1+（十）

min1+万

9

以4&q,

0

111

当n为偶数时"&*恒成立，等价于44一爪；恒成立，而一片不>了%=1,所以

I1-（1）1-（1）1-0

/1&1,

99

综上得/I4母，所以实数4的最大值为告,

oo

故答案为：争

例6.（江西霍格川二中、桂川二中实跄学校2023届高三第二次模拟考试文科数学试题）已知数列｛a“｝的

+!2

前几项和为Sn=2an—2"，若对一切正整数■，不等式2n—n—3<(^—2()19)a“恒成立，则满足条件

的最小整数4为.

【答案】202()

【解析】解：当n=1时，6=2%—22,得£11=4,

n+1

当n>2时，%=S”-S1=(2a„-2)-(2an_1-2"),

整理得%=2%_-2",等式两边同除2"得请=*+l,

则数列傍｝是以号=2为首项，1为公差的等差数列,

=2+(71-1)=71+1,

则an=5+1)2”,

所以不等式2"一n-3V(/!-2019)(n+1)2"对一切正整数n恒成立,

2/一n-3伽+1)(2n-3)_2n-3

〈1一2019对一切正整数九恒成立,

(71+1)2”(n+l)2n—-2"

令/(切=琮&，当n=卜时,/(后最大,

[2fc-3^2(fc+l)-3

2ky2A'+l

"2—3»2依—1)—3，

""2^—2^~

解得备〈去《孑，因为kCZ,.•.A=3,

此时/⑶=22罗&=_|_,

A—2019>弁，即4>+2019o

OO

所以满足条件的最小整数吠为2020.

故答案为：2020

[HMM1

一、单选题

1.(2023.全国•高三专题练习)设数列｛%｝的通项公式为an=(-l)"(2n-1)•cos詈+l(nGN")，其前

72项和为Sn，则§20=()

A.-60B.-120C.180D.240

【答案】D

(解析】当ri=4k—3,k€N,时，cos-^=0,au._3=1;

当?2=4fc—2,kWN时，cos-=—1,。从一2=[2x(4A;-2)—1]x(—1)+1=—8k+6;

当九=4k—1,k€N*时，cos-^-=0,Q狄7=1;

当九=4k,%EN”时，cos-^-=1,a.[k=2x4fc—1+1=8k.

19f)

。妹_3+a狄一2+。狄一1+。以：=1+(—8fc+6)+1+8k=8,・\S[2()=--x8=240.

故选:D

2.(2023•山东多坊•南三统考期末)已知定义在R上的函数/(力)满足〃0)=1,对Vm“CR,有

2023

f5y+1)=f@)f(y)-/(y)一%+2,则£=()

A2023p2024「2023n2023

4050202540482024

【答案】A

【解析】令《=5=0,由已知可得*1)=/2(0)-/(0)+2=2.

令y=1,由已知可得/(4+1)=/(x)/(l)-/(I)-x+2=2/(I)-x,

设册=/('n)，九则an+1=2an—n,整理可得%+i—(n+2)=2[an-(n+1)].

又a1=2,所以%,+]—(n+2)=2[an—(n+1)]=0,所以。,F九+1.

则—1一=_1_=_____I______

/(i)/(i+1)%。叶1(i+l)(i+2)£+1%+2

v1_11,11,11,,11_2023

所*Ai)/(i+l)_1_]+3_彳+彳-]+…+旃—耐_湎.

故选：A.

3.(2023-全国•高三专题练习)设数列｛an｝的前几项和为S“m=1,且2Sn=an+1-l(neN*).若对任意

的正整数n,都有afb„+出，1+a：口=-2+…+%&=3相一71—1成立，则满足等式仇+b?+%H—+b”=

%的所有正整数71为()

A.]或3B.2或3C.1或4D.2或4

【答案】A

【解析】2s“=a“+i-l，SeN*),

??,>2时，2S/T=册-1,

相减可得：2%=an+[-an,即M+I=3an(n>2)

又ri=1时，2S]=电-1,解得的=3,满足a?=3a।,

｛

・,・数列QJ是首项为1，公比为3的等比数歹”,所以%=3>],(n€N*).

对任意正整数九，都有albH++a3bn-2H■…。1b=3"一九一1成立，

得bn+3bn-i+32aL2+…+3"一’仇=3"一"一1①，

又bn+i+3b,t+3%.八_】+…+3"仇=3'/—(ri+1)-1②，

②一①X3得：>+i=2九+1,(九eN*),

又Q/I=3—1—1=1,所以仇=1,得b〃=2几一1,(n€N"),

2

进而仇+…+&n=n,

2

2n-1n

由/)1+b2+fe.iH---=an,得n=3,即3时11,

记/（九）则/(1)=l./(2)=4)/(3)=1J(4)=媒,

3n-OAt

以下证明九>4时，/（九）VI,

(n+1)?n2_—2n2+2nd-12n(l—n)+1

因为/(7l+l)-/(7l)=<0,

3"一^r3"37i

即？2>4时J（7l）单调递减,/（九）<1,

综上可得，满足等式瓦+庆+戾+…+b”=Q〃的所有正整数九的取值为1或3.

故选：A.

4.（2023-河北衡水•河北衡水中学校考模拟预测）已知数列｛a"｝、｛”,｝,%,〃=［守卜bn+1=与

（nE7V+）其中［0为不大于a；的最大整数.若Qi=bi=m,Hi<100（）,m6AT,有且仅有4个不同的

£,使得QfW”,则—共有（）个不同的取值.

A.120B.126C.21()D.252

【答案】C

()123

【解析】设7九=cn2+cl2+c22+C32H--FQ)2:其中c(),c1,⑶G{0,1},且c(),c1,c。不全为0,7

1000,

l239

若Co=1,则m=1+Ci2+C22+C32H---Fc92,==

123u

a2=q1=1+c,,2+c:l2+C42+…+cg2，与=号，

1239

若c0=0,则m=C12+C22+c324--Fcy2,ax=bi=m,

m,m

。2=5，b?=工,

所以若c0=1则,Q2rb2,若c()=0,则a2=b2,

239

若5=0,Q=0,则m=c22+c324---(-cy2,ay=bi=my

7nlmTTIym

出=彳，o2=—,03=彳，卜3=:

2!>

若c()=0,5=1,则?n=2+C22+c32?4---FC92,a]=&1=m,

m(工mm-2,m

电=5，b2=—,a3=―—,仇=才，

239

若c0=1,a=0,则m=1+C22+C32H---Fcy2,a1=b1=m,

m—1,mm-11m—1

。2=-2,匕2~~2~，&—-bk一

239

若c0=1,5=1,则7n=1+2+C22+C324---Fc92,a】=b}=m,

m-1,mm-3»m—1

Q2=-2-,b2=—,a3=——,63=­j—,

所以q=0时，a3=b3,Ci=1时,a3^b3,

同理可以证明c*：=0时，ak+2=bk+2,Q=1,a*+2*b*+2,

因为有且仅有4个不同的t,使得火力瓦，即c(i,ci,c2,—,c()中有且仅有4个变量取值为1,其余变量取值

为0,又从55,6,…，5中任选4个变量有种取法，

故满足条件的m的个数为。器，即210个，

故选：C.

5.(2023-北京朝FB•商三统考期末)在数列｛4｝中，a产1,*=ka^+l(n6N*),若存在常数c,对任意

的九CN',都有a“Vc成立,则正数人的最大值为()

A1Bic.[JD1

【答案】B

【解析】因为Q,I+I=际*+l(n6N*),fc>0,

所以an+i-an=ka：—+1=fc(a;-/+病一击)+1="(%一表)一访+01-雅

所以an=5+Z(arn+1—am)>14-(n-1)(1--rr),n>2,

rr»=l48

由于a1=1满^1■式，故1+(n—1)(1—

当k>：时，有也趋近于+8时，⑺-1)(1---)趋近于4-00

此时“没有最大值，故不满足题意，舍去；

所以1，

当k=占时，可证对任意的九GN"都有an>l,

4

由题知，若存在常数。，对任意的rieN"都有“vc成立，则c>1,

以下进行证明：存在常数C=2,对任意的nGN、都有册<2成立.

当72=1时，a=1<2,结论成立

假设？7.=m,(7n>l)时结论成立，即1Wa,〃V2

2

则1&a,n+i=ka;n+1<1+^-X2=2,

则存在常数C=2,对任意的nCN*,都有a“V2成立

故正数k的最大值为!.

4

故选:B.

6.(2023-湖南长沙-统考一模)裴波那契数列｛冗｝，因数学家莱昂纳多・裴波那契以兔子繁殖为例子而

引入，故又称为“兔子数列”，该数列｛居｝满足口=凡=i，且E,+2=居+1+F„(neAT).卢卡斯数列

｛七｝是以数学家爱德华・卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即&=1,且"田=心+

兄+25€%*),则不侬=()

A.-y1^2(122+-g-/>2()_><B.-10<22+-^21)2IC.百〃心+1/也？|D.■乙2U22+〒/人人

【答案】C

【解析】因为Fn+2=Fn+i+Fn(rieAT*),

所以当时,E=Ei+凡-2,

所以3居=居T+居—2+2居=£-2+(&T+冗)+居=居-2+居+1+居=居-2+月,+2

故3&2：尸招021+玛)259

因为0+1=E7+居+2(九€N*),

所以2/2022=£。21+月023,乙2021=片023+^2025,

故Z/2022+32()24=(玛)21+6()23)+(a)23+&)23)=2玛侬+玛)21+&)25=5/)23,

所以7*2023=/七侬+亏心021.

故选：C.

7.(2023-全国•高三专题练习)已知S〃是数列｛%｝的前九，项和，且如=的=1,册=2an-+；3化—(〃)

3),则下列结论正确的是()

A.数列｛Q,「%+J为等比数列B.数列｛。向+2an)为等比数列

n

C.SV(3J)_3-】+(T严

~2

【答案】D

【解析】由题意得：a3=2a2+3ai=5,a4=2a3+3a2=104-3=13,

由于%—电=0,故数列｛Q“-M+i｝不是等比数列，力错误；

则。2+2。|=1+2=3,Q：3+2a2=5+2=7,Q.[+2a3=13+10=23,

由于#孕,故数列｛册+i+2an｝不为等比数列，B错误；

—>3时，册=2an_|+3an_2,即4+an_j=3(。,1+a„_2)>

又01+。2=1+1=2,

故｛Q”+i+a〃｝为等比数列，首项为2,公比为3,

n-1

故Qn+i+an=2x3,

故。2+Qi=2,Qj+a?=2x32,....,Q_K)+a39=2X3赛，

1_04()Q10_1

以上20个式子相加得：Sw=2x(1+3?+31+…+3：，=2x;[=-.，。错误；

1—U4

因为a„+1+a„=2x3"T,所以a„+2+4+i=2x3",两式相减得:

a—-%=2x3"-2x3"T=4x3"T,

2fe5

当九=2k时，%—a2*：-2=4x32b"3，a2k-2—012kt=4X3-,....,a4—a2=4x3,

oo2A:_1o2A:—I_Q

以上式子相加得：。2人-Q2=4x(3+3'H----F3"T)=4x'—=J--——,

i-yz

牙上一1_QQ2fc-1_1Q2fc-1_i

故a-ik=---2—+*=----2---，而a?=1也符和该式，故a2*=J~----，

令四=九得"=中=。^,

当九=2fc—1时，出人-一1一。2左一3=4x3，',a2k-3—出人：-5=4x3"",....,0-3—Q1=4X3。，

1一3'213212—1

以上式子相加得：。2人：-1-d)=4x(3"‘+3"-"+…+3°)=4x

1-92

_321-1

故+a产3"”，而的=1也符号该式，故a*-i=吟土1

3n-1+(-I)"-1

令2k—1=n得：a”=

2

综上：a„=正确.

2,D

故选:D

8.(2023-山西太原•商三统考期末)如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等

差数列，设/(小,%)表示该数阵中第小行、第n列的数，则下列说法正确的是()

234567,••

35791112

4710131619

5913172125

6111212631

71319253137

•・・.・・

A.7(3,18)<49B./(6,8)>49C./(7,7)=49D.”12,4)=49

【答案】D

【解析】对于4,/(3,18)表示第3行第18个数字，由数阵可知：第3行是以4为首项，以3为公差的等差

数列，则第18个数字为4+(18—1)x3=55>49,故选项A错误;

对于B,/(G,8)表示第6行第8个数字，由数阵可知：第G行是以7为首项，以6为公差的等差数列，则

第8个数字为7+(8-1)x6=49=49,故选项B错误；

对于。,/(7,7)表示第7行第7个数字，由数阵可知：第7行是以8为首项，以7为公差的等差数列，则

第7个数字为8+(7-1)x7=50>49,故选项。错误；

对于。,/(12,4)表示第12行第4个数字，由数阵可知：第12行是以13为首项，以12为公差的等差数

列，则第4个数字为13+(4-1)x12=49,故选项D正确，

故选：D.

9.（2023-黑龙江哈尔滨・高三哈卿大带中校考期末）已知等差数列｛QJ的前几项和为S”,向量后=

n,m,c,GN*)，且OP=』OE+〃O%则用n,7n,k表示/l,则A

Am—k□n-k「m,—n口n-m

U.--------r-

•n—km-K・k-n・k-m

【答案】B

n=Am+juk

m

S”=4smi岛,即■

(nmA/风=连+噜’

nmK

.Sn_Smn-fjk."Sk_nS(kSS\

••—=-----------1-r-=—9—m〃•mk

nmmKnr

SnSrn

n9•)

n-77K

/.n\F

F

・・・S〃为等差数列｛4｝的前几项和，设其公差为d,

,n(n—1).m(m—1).n—1m,—1

na\H---------------dma\H-----------------da\+dQ|+d

22

••n9nr>n9rrr2nm

2ma{—md—271al+nd(m—n)(2a{-d)

2mn2mn

.SkSw_(m—k)(2ai—d)

同理可得,19O

k~nr2mk

(m-n)(2aj—d)

2mm-n

(m—k)(2a>i—d)m—k"

2m

fc(m—n)

m-kn(m-fe)-fe(m-n)_-mkn-k

：,Amn

mm(m—k)m(m-k)m-k

故选：B.

二、多选题

10.（2023-湖北•校联考模拟演测）数列&｝各项均为正数，其前n项和&,且满足％•Sn=9dCN,）,下

列四个结论中正确的是（）

A.｛a；｝为等比数列B.｛%｝为递减数列

C.｛%｝中存在大于3的项D.｛册｝中存在小于焉的项

【答案】m

【解析】对于力:假设数列｛%｝为等比数列，设其公比为q,则雄=见的，即=最

所以，S：=S1S3,可得瑞（1+9产=瑞（1+q+q?）,解得q=0，不合乎题意,故数列｛4｝不是等比数列,

故4错；

对于B:当？2时，a“=S”-S,一1.因为a„-Sn=9（n€N*）,所以S,>=且，所以a”=-----=

%an%_1

9（*-斯）>0,可得％v,所以数列｛%｝为递减数列，故口对；

对于。：由题意可知，VnEN\an>0,当?1=1时，Q；=9,可得%=3;由8知数列｛QJ为递减数列,

故。错；

对于。：因为数列｛%.｝各项均为正数，其前几项和SQ所以随着冷的增大，S”递增.

而M•5姓=9（九EN"）恒成立，所以an=号-递减，且a”.>0,

所以｛Q,J中必存在小于舄Q的项

zu/J

故选：BD.

11.（2023-全国•高三专题练习）若数列｛4｝满足a2-^ax<a.,-^a.2<-<册一V…，则称数列

｛册｝为“差半递增”数列，则（）

A.正项递增数列均为“差半递增”数列

B.若数列｛%｝的通项公式为a“=q"（q>l）,则数列｛%｝为“差半递增”数列

C.若数列｛4｝为公差大于0的等差数列，则数列｛d｝为“差半递增”数列

D.若数歹U｛%｝为“差半递增”数列，其前n项和为S”,且满足,“=2%-2”+1-力,则实数±的取值范围

为（一孝'，+8）

【答案】BCD

【解析】对于A,假设一个正项递增数列为：1,4,5,

则4-十=£,5—2=3,则孑■>3,不满足“差半递增”数列，A错误；

对于因为M=q"（q>l）,

n111

所以an--yan-i=q”—"yq-,an+1--yart=q"—~

（册+1—专册）—（Q”一•yan-i）=?n+1―①一=｝q〃T（2q2—3q+1）,

因为q>1,所以函数沙=2/—3q+1单调递增，所以当夕>2—3+1=0,

即>（an-卷-册_，恒成立，所以数列｛QJ为“差半递增”数列，8正确；

对于。，设公差d>0,a〃=Q]+（九一l）d,Q,T=Q[+（n—2）d,。什1=如+nd,

uc1_1,1_dj,1,L1,

所以an—9%.7=方+-^nd,an+i—歹％=方+-^n（L+,

所以(%+i—■1-册)>((1“一/47),数列｛即｝为“差半递增”数列，。正确；

对于。，因为S〃=2Q〃-2".—%,所以Q]=SI=2Q]—4—£,所以。]=4+上

当九》2时，an—Sn-Sn-\—2an—2Q〃_]-2",

所以“-2"=2%T，所以$一色=1,

所以数列1条｝为等差数列，公差为1,所以墨=与+(九-1)=n+会+1,

所以Qn=2"(九+~^-t+1),

aTn

所以对任意nEN\n>2,(aTl+1—^n)>(%—'a〃-i),即2「"(n+-yt+2)—•2(n4--yt+1)>

2u(n+/+1)—/・2»-1(n+刿,

所以8(n+-yt+2)—2(九++l)>4(?i+-^-t+1)—(九+"土),

一6力——90

所以皿/U,因为九GN",九>2,

j

所以当代=2时-6号20有最大值为一挈，

39

所以1〉一与，。正确；

故选：BCD.

12.(2023-黑龙江哈尔滨•高三哈牌大附中校考期末)以下为自然数从小到大依次排成的数阵：

1

23

4567

89101112131415

.......

第n行有2"-1个数，则()4该数阵第八行第一个数为2"」

B.该数阵第九行最后一个数为2"—1

C.该数阵前n行共有2"—1个数

D.该数阵前几行所有数的和为23-2"

1^1ABC

【解析】对于该数阵每行第一个数分别为20,21,…，归纳可得数阵第九行第一个数为2“T,故工

正确；

对于B,由A知，第n+1行的第一个数为2",故第九行的最后一个数为2"—1,故B正确；

对于数阵前n行共有1+2+4+―+21=^^=2"—1个数，故。正确；

1-Z

(1+2"1)(2"-1)

对于。，数列前n行总和为1+2+3+…+(2"-1)==22'i-2"T,故。不正确

2

故选：ABC

13.(2023•山东掠州•高三统考期末)已知数列｛%｝的前n.项和为&,且。“=1,*1+a=271则()

九,72为奇数

A.2=18B.a,=

u71—1,九为偶数

D.九为奇数时，S”=?2+(小21)

C.数列｛a“｝为等差数列

【答案】A3。

【解析】对于A选项，&=(。]+电)+(Q3+Q4)+(的+。6)=2x(14-3+5)=18,X对;

对于B选项，因为a1+Q2=2,则电=2—5=1,

对任意的nGN*,由即+i+%=2九可得an+2+a„+1=2(n+1),

上述两个等式作差可得。，.一4=2,

所以，数列｛。“｝中的奇数项成以1为首项，公差为2的等差数列，

数列｛Q,J中的偶数项成以1为首项，公差为2的等差数列，

当九为奇数时，设ri=2k—l(k€TV*),则au=a2k_x=ax4-2(fc-1)=2fc—1=n,

当n为偶数时，设??,=2k(kCTV'),则a„=a2+2(fc-1)=2fe—1=n—1,

综上所述，a“=FZ为嗫埒，B对；

[n—l,n为偶数

对于。选项，—电=1Wg2一5,故数列｛斯｝不是等差数列，。错；

对于。选项，当几为奇数时，设m=2k—l(k£N")〃iJk=&＞、

则Sn=S2k—a2k=(%+&)+(如+4)H---F(a2A-i+Q2Q-a2k

2fc(l+2fc-l)

=—(2/c—1)=2k°—2k+1

=2[1+3+…+(2fc—1)]—(2k—1)2

(n-1)2

=2x”1I-(n+1)+l=^-+^-=n+，。对,

2

故选：ABD.

14.(2023•湖南株洲•高三校联考期末)已知数列｛册｝满足Q1=1,a】=1,%+0：+a,=an(n6N),数列

｛册｝前几项和为S”则下列叙述正确的有()

口-1

A".Q〃+]—。B电()23V福CfW套D.SnWn

【答案"式9

1_1

【解析】==—+%.，,

Q〃+i

又电=1>0,

归纳可得册>0,

.—Q/e+i

a“>0,

^n^n+l

♦,a”+i0,

故选项A正确；

On>CLn+i,数列｛%｝单调递减,

当n=l时，Si=l;

当n>2时，S”=di+a?+…+a“Vcii+di+,,•+<Zi=n.故选项D正确；

11

+O，n,

an+l

11\211

+CLnI=+2H——>—+2,

Fl)Q£CLn

.1

,,aLi一告”,

/.----->2(n—1)

an01

>2TL—1,

a；

，Q"V忌h

又出=(/+。户"2+*&3+3,

1嗑<3,

an+l

eX_X<3

Cb'2Chy

J_______L-q...J________L_

2QQ，，29<3,

。302aCL-i

nn

二----VV3(n—1),

a几a1

；・V3TL—2,

an

.、1

,nV3n-2,

所以当72>2时，

.1「r1

••厮"后f

故选项。错误；

出侬<焉故选项B正确；

故选：ABD.

｛Q〃｝

15.(2023春•浙江-高三校或才开学考试)已知数列满足a”・e"=小-1,且%=1,｛Sn｝是数列

｛%｝的前几项和，则()

A・«2()23V02(叱2B.SWBVZ

/2\2022

C.</•,>(r>|+Q，2I23V20>2()22D・a>023<(可)

【答案】4。

xc

【解析】对于4:八(1)=e—x—lyh!(x)=e—l,/i(x)在[0,+<»)单调递增，五(①)在(—8,0)单调递减,

h(x)>/z(0)=0,当且仅当出=0时,e「一2—1=0

若%1=0,又因为“♦e*=e%—1则％=es0n—1,则a”=0,则%+]=%=••%=0,又因为的=1,所

以Qn工()所以C**=----C-ln---,

xx;rx£x

设g(x)=e-l—xey：.g'(①)=e—e—xe=~xe,

当4>0时,g\x)<0,gQ)单调递减，当①V0时,g'(z)>0fg(x)单调递增.

所以g(畲)Vg(0)=0,所以加”>。”一1,所以册1,

由九3)=e"-c—1>0,当7>0时,fJ>1

因为四=1,所以留=与~-=则电>0,同理得。3>0,…斯>0

Q>[1

pa,«—1

当%>0时，ea">―=e°E,；.a„>a,,i;

%+

所以an>%+1，所以数列｛%｝单调递减.则电023<。2022,所以选项4正确.

对于B:由前面得0VQn+[Va〃Wl.下面证明a„+1>-ya„.

ln^^-a.

只需证明旦红>。o——久一>JQ也贮二1>得“=包二L>断,令b=e"”,

Qn22a?r2a,z

u>3-J>b"ob"—1)F—\nb>0,l<6^e,

Ino

令m(b)=b