辽宁省大连市长海县第二高级中学2021年高三数学理联考试题含解析

辽宁省大连市长海县第二高级中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数（，）的最小正周期为，且，则函数在上的最小值是A.

B.

C.

D.参考答案：略2.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC为等边三角形，，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】计算出的外接圆半径，利用公式可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥P-ABC的外接球的表面积.【详解】的外接圆半径为，底面，所以，三棱锥的外接球半径为，因此，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.3.已知抛物线y2=4x上一动点M（x，y），定点N（0，1），则x+|MN|的最小值是（）A． B． C．﹣1 D．﹣1参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的焦点坐标为（1，0），M到准线的距离为d，则x+|MN|=d+|MN|﹣1=|MF|+|MN|﹣1≥|NF|﹣1=﹣1，即可得出结论．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（1，0），M到准线的距离为d，则x+|MN|=d+|MN|﹣1=|MF|+|MN|﹣1≥|NF|﹣1=﹣1，∴x+|MN|的最小值是﹣1．故选D．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线定义的运用，属于中档题．4.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则函数有下列结论中一定成立的是（

）A．有极大值和极小值

B．有极大值和极小值C．有极大值和极小值

D．有极大值和极小值参考答案：C略5.已知复数,则“”是“是纯虚数”的（

）A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C6.过点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A、B，0为坐标原点，则的外接圆方程是

A．

B．C．

D．参考答案：A7.已知函数是奇函数，当时，则的值等于（

）A．

C．

D．-参考答案：D8.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为(A)1007

(B)1008

(C)2013

(D)2014参考答案：A9.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日 B．8日 C．16日 D．12日参考答案：A【考点】等比数列的前n项和．【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m++97m+=2×1125，解得：m=9．故选：A．10.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种

B．24种

C．25种

D．36种参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在菱形中，，，是内部任意一点，与交于点，则

参考答案：略12.函数)的单调减区间是

▲

．参考答案：13.已知复数，（，i为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中O是坐标原点，则函数f(x)的最小正周期为________.参考答案：π【分析】根据垂直得到，化简得到，利用周期公式得到答案.【详解】，，则函数的最小正周期为故答案为：【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数化简，周期，意在考查学生的计算能力和综合应用能力14.已知a，b均为正数且acos2θ+bsin2θ≤6，则cos2θ+sin2θ的最大值为_________．参考答案：略15.如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.参考答案：(或写成)试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为考点：函数最值，函数单调区间16.在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是___

．参考答案：-5617.在实数集R中定义一种运算“△”，且对任意，具有性质：①；

②；③，则函数的最小值为

.参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分)已知函数（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.参考答案：（1）是的极值点

解得

…………2分当时，当变化时，(0,1)1(1,3)3+0-0+递增极大值递减极小值递增…………4分的极大值为

…………6分（2）要使得恒成立，即时，恒成立………8分设，则（ⅰ）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，得

…………10分（ii）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，不合题意.…………10分（iii）当时，在上单增，不合题意.…12分（iv）当a>1时，由得单减区间为，由得单增区间为，不合题意.

…………13分

综上所述：时，恒成立.

…………14分19.

某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4.(1)

根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的平均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；(2)

若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率.参考答案：(1)解：,

……1分

,

……2分

,

……3分

,

……4分

∵,

……5分∴甲车间的产品的重量相对较稳定.

……6分(2)解:从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法:

,.

……9分

设表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则的基本事件有4种:

,.

……11分

故所求概率为.

……13分

略20.（本小题满分12分）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从—批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级12345频率0.05m0.150.35n(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n的值；(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级不相同的概率．参考答案：解：(1)由频率分布表得：

…2分由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，则．…5分(2)由(1)得等级为3的零件有3个，记作，等级为5的零件有2个，记作

从中任取2个零件，有共10种

…………8分记事件A为“从中任取2个零件，其等级不相同”，则A包含的基本事件是共6个

………10分所求概率

…………12分21.（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）求的值及函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在上的单调减区间．参考答案：.

（Ⅰ）.

显然，函数的最小正周期为.

……………8分（Ⅱ）令得，.又因为，所以.函数在上的单调减区间为．

……………13分22.四棱锥底面是平行四边形，面面,,,分别为的中点.（1）求证：

（2）求