高考数学函数与方程、不等式相结合问题

问题五:函数与方程、不等式相结合问题

ー、考情分析

函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考

试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿

于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方

程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.

二、经验分享

(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法.

(2)判断函数零点个数的方法:①解方程法;②零点存在性定理、结合函数的性质;③数形结

合法:转化为两个函数图象的交点个数.

(3)已知函数零点情况求参数的步骤

①判断函数的单调性;②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),

即得参数的取值范围.

(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围.

(5)""=於)有解"型问题,可以通过求函数)，=貝お的值域解决.

三、知识オ石展

1.有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数ズx)在定义域上是单调函数,则兀0至多有一个零点.

(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.

2.三个等价关系

方程段)=0有实数根0函数)，=バ外的图象与x轴有交点0函数)，=/(x)有零点.

四、题型分析

(-)函数与方程关系的应用

函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程TU)=0的解就是函数y=/(x)

的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=/(x)也可以看作二元方程/U)—y=0通过方程进行研究.

就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:ー是借助有关初等函数的性

质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,

通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难

为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以

用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的

重点.

【例1】已知函数/Xx)=」且一版2(xwR)有四个不同的零点,则实数え的取值范围是ー

%+2

【分析】把函数/(イ)=丄リ•一日2(XGR)有四个不同的零点转化为方程セ=3—有

x+2|x|(x+2)

三个不同的根,再利用函数图象求解

【解析】因为ス=0是函数メ(%)的零点,则函数，(か=旦一丁1叱eR)有四个不同的零点,等价于方程

x+2

k=国二+2)有三个不同的根,即方程モ=牀ス+2)有三个不同的根.记函数貳わ=|x|(x+2)=

[^+2x>(x>0)由题意片，与y=g@)有三个不同的交点,由图知〇<?<1,所以上>1.实数k的取

l-x2-2x,(x<0)kk

值范围是是ひ田)

【点评】y=/(x)—g(x)零点问题也可转化为方程f(x)=g(x)的根的问

题,/(X)=g(x)的根的.个数问题,可以转化为函数ツ="司和〉=g(x)图象交点的个数问

题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程/(x)=g(x)根

的个数.

【小试牛刀】【2018届2江苏徐州丰县高三上学期调考工设函数プ(x)=，e'+x—a(aGR,

e为自然对数的底数),若曲线ぎ=sinx上存在一点(ム,%)使得/(_/(%))=为,则。的取

值范围是.

【答案】[l,e]

【解析】由题设f(/(%))=%及函数的解析式可知，(x)20,-IWy41,所以04y41.由

题意问题转化为“存在xe[0,l],使得ノ?+x—a=x有解”,即e、=ギーx+a在[0,1]有解,

令/?(x)=e*ーゼ+x,则パ(x)=e*-2x+1,当x>0时,函数力(x)=e*ーゼ+x是增函

数;所以OWxWl,当力(0)く〃(x)く如)，即lく〃(x)We.所以口,ル故应填答案

(二)函数与不等式关系的应用

函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容

所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多

情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数尸危),当)，>0时,就转化为不等式ハ)>0,借助于

函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用.

【例2】已知函数/(幻=Qog乂イ＞］,g(x)=|x—Z|+は一1|,若对任意的和々eR,都有

.3

/(X,)＜g(ち)成立,则实数k的取值范围为.

【分析】根据题中条件:对任意的玉,weR,都有バホ)ム8(ち)成立,将问题转化为

—£+x,xK1

/(X)max〈g(X)min“再由题中所给两函数的特征:函I数/3=イ瞇ルX〉1是ー确定的分段

ゝ3

函数,由它的图象不难求出函数的最大值/Wgx=：;而另ー个函数g(x)=|x—k|+|x—II

中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值g(X)min=!んー即可得到不等式

|んー1|2丄,则可求出た的取值范围.

4

【解析】对任意的冷めeR,都有”再”貳め)成立,即/(x)Bai＜貳ル版观察/(x)=1。8I工ス＞1的

,1

图象可知,当x=1时,函数“幻皿=：:因为貳対=はー幻+はー114スーをー1)冃たー11,所以

24

貳众s=|上一1|,所以,I上ー平］解得上《ス或たとス,故答案为在Wニ或上と：.

44444

-I

'y

2-；—x+J^X＜1

、プ8=log产万〉］

【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题

和函数的最值问题.注意不等式:|。1一|ク区I。土わ区1。1+ゆI对。*eR是恒成立的.特别

要注意等号成立的条件.渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知

识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的

重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.

【小试牛刀】【2018届江苏省南京市高三12月联考】若不等式

[ザ+（2x—5）ツーd1（10¥-垣）く0对任意的y€（0,长。）恒成立,则实数x的取值集合为

【答案咽

【解析】画图可知,函数ノ（»）=/+（2%ー5力一ガ和函数18"（ア）=嵐ーI0び连续在び轴右边有相同的零

点,令g（y）=O,得y=x,代入，（y）=0中,得ス=〇,或ス=?,注意到ス>0,所以实数ス的取值集

嚥阿升

（三）函数、方程和不等式关系的应用

函数、方程、不等式的结合,是函数某ー变量值一定或在某ー范围下的方程或不等式,体现了一

般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进ー步

深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基

本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明

朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.

【例3】己知函数f（x）=mx-a\nx-m,g（x）=—,其中根,a均为实数.

eJ

（1）求g（x）的极值;

⑵设加=l,a<0,若对任意的ス,％,e[3,4]（x,*x,）,|/U2）-/（xjl<―!------ー恒成立,求a

g（ち）g（再）

的最小值;

⑶设a=2,若对任意给定的xoe（O,e],在区间（0,e]上总存在レら（ム声ら）,使得

/（ム）=/（ち）=8（不）成立,求机的取值范围―

【分析】（1）求g（x）的极值,就是先求出g'（X）,解方程g'（X）=。,此方程的解把函数的定义域分

成若干个区间,我们再确定在每个区间里g'（x）的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是

首先是对不等式|/（ム）一，（あ）|<-------L恒成立的转化,由⑴可确定/（x）在[3,4]

8（ス2）g（X）

上是增函数,同样的方法(导数法)可确定函数丄在［3,4］上也是增函数,不妨设々>あ,这

g(x)

样题设绝对值不等式可变为Z(ち)-

/(X,)<—!----------!—,整理为f(x2)——</(为)—J—,由此函数

g(%2)g(X|)"g(>2)g(X|)

u(x)=f(x)------在区间［3,4］上为减函数,则〃a)=1ー纟ー丄.エつミ0在(3,4)上恒成

g(x)xeA-

立,要求。的取值范围.采取分离参数法得。》x-e*T+ー恒成立,于是问题转化为求

X

v(x)=X-e'T+え在［3,4］上的最大值:(3)由于/的任意性,我们可先求出g(x)在(0,e］上

的值域(0,1］,题设“在区间(00上总存在ん省(，尸ら),使得ハム)=

fg=g(%))成立”,转化为函数ア(幻在区间(0,e］上不是单调函数,极值点为ー

tn

(0<—<e),其次/(e)>1,极小值/(-)<〇撮后还要证明在(0,一)上,存在t,使/(t)>1,

mmm

由此可求出团的范围.

【解析】⑴g'(x)=豆|二ッ令g'(x)=O,得x=l.

e

列表如下:

X(-00,1)1(1,4-00)

g'(x)+0-

g(x)/极大值ゝ

・・・g(l)=l,;.y=g(x)的极大值为1,无极小值.

(2)当〃2=l,qvO时,/(x)=x-alnx-l,XG(0,+OO).

•;r(め=ヒ>0在［3,4］恒成立,...ハx)在［3,4］上为增函数.

X

设h［x)=—--=—h'(x)=-~~—>0在［3,4］恒成立，

g(x)exx-

...厶(x)在［3,4］上为增函数.

设セ>x,,RiJ|/(x2)-/(^)|<—^―--等价于f(あ)-/(占卜〃®)-/?(る),

即/(ち)-/z(x2)</(%,)-h(xt).

设H(X)=f(x)-〃(x)=x-alnx-1ー丄・J,则〃(め在［3,4］为减函数.

ex

・・・〃⑴=1_9ー丄.eDW0在(3,4)上恒成立.

xer

/.a^x-ex］+-—恒成立.

x

设v(x)=x—e，T+—.V/(x)=1-e，T+ビて;ーり=i_ビー［(丄ー^)2+1］内仁［3,4］,

e'T［(---)2+-］>-e2>1vz(x)<0,yは)为减函数.

x244

...v(x)在［3,4］上的最大值为v(3)=3e2.

3

/.a＞3--e2,.\a的最小值为,3--e2.

33

(3)由(1)知g(x)在(0,e(上的值域为(〇』］.

・y(x)=iwc—21nx—7??,xe(0,+oo),

当〃2=0时,/(x)=-2Inx在(0,e］为减函数,不合题意.

m(x---)

当〃せ〇时,r(x)=-------坦・,由题意知f(x)在(o,e］不单调,

X

所以〇＜空＜e,即m〉上.①

tne

此时/(%)在(0,-)上递减,在(-,e)上递增,

mm

;・/(e)21,即ア(e)=〃7e-2—机，1,解得/〃2—-.②

由①@,得，"e丄.

e-1

2

Vle(O,e］,A/(—)W/(1)=0成立.

tn

2

下证存在te(0,-］,使得f⑴>1.

m

2

取£=ef冼证ef<±,即证2ビー",〇.③

tn

3

设w(x)=2ex-x,则w'(x)=2ピー1>0在［------,+〇〇)时恒成立.

33

**.w(x)在［---,+oo)时为增函数./.w(x)2vv(-----)>0,・,•③成立.

e-1e-1

再证f。〃っと1.

,//(e'w)=men,+m>>1,/•机，一时,命题成立.

e-1e-1

综上所述,机的取值范围为[ニー,+00).

e-1

【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函

数的综合应用.对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计

算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转

化的思想和数形结合的思想应用.有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考

试题中经常出现，要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法:先求出

函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函

数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值.

【小试牛刀】已知定义在((),+»)的函数プ(x)=|4x(l—x)],若•关于x的方程

/2(x)+(r-3)/(x)+r-2=0有且只有3个不同的实数根,则实数f的取值集合

是.

【答案】｛2,5-2正｝

【解析】设g(y)=»2+(f-3)y+f-2,当/'=2时,y=0,y=l显然符合题意.t<2时,一正一负

根,g(0)<0,g⑴<0,方程的根大于1ノ2(幻+("2)〃封+―2=0只有1根—>2时,两根同号,只能有

ー个正根在区间(0J),而g(0)=f—2g(l)=2f-4>0,对称轴

尸マー0,1),1<，<3,ハ=0=/=5±20,所以，=5-2^.所以取值集合为｛2,5ー入团,故答案为

五、迂将运用

/ヽX2—2ax-a+\,x>Q,

1.【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】已知函数/(x)=｛,ヽ

g(x)=%2+l-2a.若函数ぎ=/(g(x))有4个零点,则实数4的取值范围是.

【答案】,+00

【解析】令/(り=0/=g(x)

当1—a<()时/(リ有两个零点ん=一1,ち>1,需1一2。(一1；.の1

当1ー。=0时/(x)有三个零点,厶=—1,ち=0丿3=2，vl-2t/=-I所以函数

y=/(g(x))有5个零点,舍;

当1—。>。时,由于1—2。>—1

所以△=4く』+4。一4>0I且aー。ユ+a-l>1—2。,所以‘‘1<a<1

2

综上实数”的取值范围是「避二!・/U(l,+oo)

2.【江苏省如皋市2017-2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知函数

〃x)=づ+かス+((%€夕),且y=/(x)在xe［0,2］上的最大值为;,若函数

g(x)=/(x)-"2有四个不同的零点,则实数a的取值范围为.

/(%)=ゼ+〃!¥+丄有最小值丄,

不

合题意,.,〃％<(),要使/(x)在［0,2］的最大值为;,如果一気ン2,即〃2WT,则

9<-,得一』wm«-2矛盾,

八2)=m+一不合题意;如果ー‘<2,则

2222

m+—<—5

22—<<_2]

クn{2=[〃=—2,m=—2,/(x)=x2—2x4—,若

1"ノ1、g2

--------<—m>-2

24一2

g(x)=/(x)ーの2有四个零点,,贝リy=/(x)与y=aづ有四个交点,只有y=a/开口向上,

即a>0,当y=以2与y=一(ギー2x+g)有一个交点时,方程0キ+ピー2x+g=0有一

2

个根，A=0得a=l,此时函数g(x)=/(x)-oキ有三个不同的零点，要使函数

g(x)=.f(x)一以2有四个不同的零点，〉=の2与ぎ=一［ペー2%+丄［有两个交点，则抛物

线〉=O?的开口要比〉=ペ的开口大，可得。<1,.•.〇即实数。的取值范围为

(0,1),故答案为(〇』).

3.【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】设函数/(x)是偶函数,当后0时，

x(3-x),0<x<3,

/(x)={3，若函数〉=/(x)—か有四个不同的零点,则实数，〃的取

x

值范围是.

-9ヽ

【答案】1,-

L4丿

「9ゝ

【解析】作图，由图可得实数，れ的取值范围是1,ヲ

4.【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】若函数/(x)=|2x—l|,则函数

g(x)=/(〃尤))+时在(〇,リ上不同的零点个数为

【答案】3

|4x-l|+/nx0<x<

【解析】因为g(x)={g(x)=0可转化为:函数

|4スー3]+/奴丄<x<1

y=|4x-l|与y=-lax以及函数y=[4スー3|与y=-lnx交点的个数;作出函数

由函数图象可知零点个数为3个.

,ヽInx,x>0ー亠ハ

5.【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数/(幻=し,ハ,若直线y=ac

2x+l,x<0

与y=/(x)交于三个不同的点A(九/(根))，8(〃"(〃)),。仏"り)(其中m<〃<ハ,

则〃+丄+2的取值范围是.

m

【答案】シ，e+g)

luxス〉〇

【解析】作出函数ノ(无)={',的图象如图:

'72x+l,x<0

设直线y=ax与y=lnx相切于(xo,InxQ,则丫'ほ=%=丄,

为

.,・曲线y=1nx在切点处的切线方程为y-lnx0=—(x-x0),

不

把原点(0,0)代入可得:-lnxo=-l,得xo二e.

要使直线y二ax与y二f(x)交于三个不同的点,则n£(1,e),

1

y=—xe

联立｛ノe,解得ジ亠ー・

。

y-2x+(l1l-2e

e111

•ゝmu(-------,),—G(-2,-2H—),

l-2e2me

・ン〃4-----F2的取值范围是(1,eH—).

me

故答案为:(1,ed—)..

e

6.【江苏省徐州市第三中学2017〜2018学年度高三第一学期月考】已知函数

/ヽ2X2,X<0f(x]-a

f(x]=[,，若存在唯一的整数ス,使得丄、ユー>0成立,则实数。的取

ハノ・3|x-l|+3,x>0x

值范围为.

【答案】[0,2]u[3,8]

【解析】由クめご•><>得:当X>O时,当ス<0时,/(x)<a\

因为当2Ax>0时,0K〃封41,当ス>2时,/(x)<0,当x«0时,0W〃x),因此当。く0

时,x=l,2,---,不合题意3当0WaM2时,x=l：

当2Vx<3时,x=—l,不合题意;当3WxW8时,x=-l,当x>8时,x=-l,-2,••,

不合题意;因此ク的取值范围为[02]u[3,8]

7.【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数ズx)是以4为周期的函数,且

当ー1<烂3时,/(%)={..若函数尸/'(X)ー〃胡恰有10个不同零点,

1—x—2,1<ス<3

则实数m的取值范围为.

【答案】图,8—2冋

【解析】根据题意,得到/(x)的图象如下:

由图可知,/(x)是偶函数,

又y=ー时乂恰有10个不同零点,即y=/(x)与y=〃2凶的图象有10个交点,根据

偶函数的特点,则在x>0的图象中，有5个交点，如图中红色直线和蓝色直线就是两种极限

情况.

红色直线:过(6,1),则7〃=ゝ;

蓝色直线:与区间(3,4)处的曲线メ=ーボ+8》ー15相切，

所以-V+8x-15=〃优只有一个解,解得〃2=8-2岳，

.•.丄く〃!<8—2/

6

8.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】已知函数/(x)为定义在[2ー。,3]上

的偶函数,在［0,3］上单调递减,并且/(一，ガー1)>/(一，ガ+2加一2),则，w的取值范围

是.

【答案】1一夜4加〈丄

2

【解析】由题设可得2—a+3=0,即。=5,故/(ー加之一1)>一，〃之+2加一2)可化为

/(加2+1)>/(加2—2加+2),又1K加2+1W3,1<加2—2m+2<3,故

加2+1〈加2-2加+2=>加〈丄,且加と1一正.故应填答案1ー收〈加〈丄.

22

10

9.已知aeR,函数“カ/x",若存在三个互不相等的实数玉,ち,马，使得

e，x<0

丄@==［M_=一e成立,则a的取值范围是.

%x2x3

【答案】(―〇〇,—2^^)

【解析】若存在三个互不相等的实数%,ち,工3，使得/9=丄区=/@=一0成立，则方

元］x2x3

程f(x)=-ex存在三个不相等的实根,当尤<0时,/(x)=ef=ーのr,令

g(x)=e-“+ex(x<0),则g'(x)=ーご+e,令g'(x)=0,得x=-l,当x<—1时,g'(x)<0,

即g(x)在(-8,-1)上为减函数,

当ーl<x<0时,g'(x)>0,即g(x)在(一1,0)上为增函数,；.g(x)*n=g(-l)=e—e=0,

则Z"(x)=一ex在(—,())上存在ー个实根,.../(x)=一ex在(0,+。。)上存在两个不相等的实

aへ

根,即a+—=-ex,已デ+の+1=0有两个不相等的实根,.•.{2e2&,

xA=a2-4e>0

故答案为(—00,-2&)

10.,已知函数ア(x)={M：+2)'“"°仏<0),若函数y=/(/(x))-1有3个零点,则实数

セ的取值范围为.

【答案】k<-l

【解析】由题意,X<0,/(x)=fc(x+2)<0,/(/(X))=^x+2e-2k,

Q<x(tf{x)=-lnx)O,/(/(x))=-In(-Inx),x>l,/(x)=-Inx,/(/(x))=上(一!nx+2),

因为函数y=〃ハx))—l有3个不同的零点,所以メ(ハ〇))>0,所以た(勲+2)>0,

又因为たく0,所以Iく一1.

11.【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考】已知函数

/(x)=lnxーの:,g(x)=ex,aeR(e是自然对数的底数)

(1)若直线ぎ=の:为曲线y=/(x)的一条切线,求实数a的值;

(2)若函数>=/(x)—g(x)在区间(1,+刃)上为单调函数,求实数a的取值范围:

(3)设〃(x)=|/(x)卜g(x),xe[l,e],若H(x)在定义域上有极值点(极值点是指函数取

得极值时对应的自变量的值),求实数。的取值范围.

【解析】(1)设切点则儿=1叫-0r。,％=*),1叫=(a+e)玉)(*)

又/'(x)=g-a,

•，•/'(^o)=---a=e,

入0

/.x0=——,代入(*)得!nx0=1,

Q+e

/.x0=e,

1

ci=—e.

e

(2)设ル(ス)=/(ス)ー纟(九)=10¥—(。+6)よ(ス之リ,

当，2(X)单调递增时,

则〃’(司=丄ー(a+e)20在(1,M)上恒成立,

X

—>(6f+e)在(1,4-00)上恒成立,

又]£(0,1),

「・a+e<0,解得a<—e.

当ん(可单调递减时,

则〃’(ス)=丄ー(〃+6)<0在(l,+oo)上恒成立,

1

/.ー〈(a+e)在(l,+oo)上恒成立,

:,a<\-e

综上ノ?(x)单调时a的取值范围为(7。,一e]u[l-e,+8).

2\nx

(3)H[x)=\lnx-ax\-ex=ex------a

x

令(x)=------。,》€[1，4,贝1]，(》)="^5—,

当xe[l,e]时，f'(x)20,《X)单调递增,

/.?(l)<f(x)<r(e),即一aWr(x)〈丄ーa.

1)当ーa20,即a«0时,r(x)>0,

/.H(x)=^(xlrix—ax2j,xe[l,e],

则“'(x)=e(hr+l-2")>0,円(%)单调递增,

.♦.”(x)在xe[l,e]上无极值点.

2)当Q<0即Q>一时,r(x)<0,

/.//(x)=e(xlru-加),1w[l,e]

/.”'(工)=(1

e2a¥-liix-l),""(x)=ei2a--j,v—e

xe

I)当2a21,即azg时,Hff(x)>0,

”'(x)在[l,e]递增,

H,(l)=e(2«-l)>0,

.•.H(x)在［l,e］上递增,

二H(x)在［l,e］上无极值点.

II)当丄<a<イ时,由“〃(x)=2aー丄之0可得メ-4イ〈e,

.•.”'(ラ在1,J-递减,

か递增’

又〃’6=e(2a—1)<〇,"'(e)=e(2ae_2)=2e(ae-l》0

.•.ヨるe(l,e)使得"'(%)=(),

/."(%)在(1,X。)上单调递减,在(事,e］上单调递增,

"(x)在［l,e］上有一个极小值点.

3)当a=ユ时,

；."'(x)在!,I上单调递减,在纟,e上单调递增,

2

又"'(I)=e［/_I)<O,"'(e)=O,

.-."'(x)<Oii［l,e］上恒成立,

.-."(X)无极值点.

4)当0<a<丄时,

e

・コ⑴在H㈤递增,

・・・ヨ/w(l,e)使得蛆1=a

xo

/.当％w［l,无〇］时,，(尤)<0,当X《不同时,/(%)>(),

2

e^ax-xliirj,1<x<x0

“(%)={

6(九10¥一公2),题<x<e

e(ax-/nx),l<x<^)

e(/nx+1—2の),/<x<e

令の2-xlnx=Z:(x),xe［l,^］,Zrz(x)=2a¥-lnx-l,

下面证明ズ(x)WO,即证2のくhw+1,2aく庄里,

「Jnx+l.Inxハ

又(------)=ーー＜0

xxr

.(lax+11_2

"Iス丿mine'

即证a〈L所以结论成立,即ん'(x)W0,

•.•。,ホ)uロ,在［1,ホ)递减,(ホ,e］递增,

ポ为"(X)的极小值.

综上当0＜a＜丄或丄＜a＜く时，”(カ在［1,6］上有极值点.

12.【江苏省南京市多校2017-2018学年高三上学期第一次段考】对于函数，(x),若在定义

域内存在实数%,满足〃ーボ)=—/(ホ),则称〃X)为类函数'

(1)已知函数〃x)=sin(x+。),试判断〃x)是否为类函数”?并说明理由;

(2)设〃x)=2*+〃，是定义在［-1,1］上的“M类函数”,求是实数机的最小值:

(3)若〃わ={咋2(龙-2mx}"とユ为其定义域上的，，用类函数,，,求实数加的取值范

-3，イ＜2

围.

【解析】(1)由/(-X)=-/(%),得:sin(-x+X〕=-sin(x+］)

所以百cosx=0

所以存在ポ满足y(ーボ)=-/(ホ).

所以函数〃x)=sin(x+?)是“M类函数”，

(2)因为〃ス)=2*+m是定义在［—1,1］上的“拉类函数，

所以存在实数アCトい］满足，(ーW)=ー〃セ)，

即方程が+2べ+2権=0在［-1,1］上有解.

令-,2

2

E1才+；),因为g(り=ーポ

贝リ加=ーー上递増,在［L2］上递减

2M卜加

所以当f=丄或r=2B寸,阳取最小值ーy

24

(3)由ギー23＞0对x»2恒成立,得〃，＜1

10g2(x-2时，XN2为其定义域上的,,用类函数,,

因为若/(x)={

所以存在实数满足y(一%)=_/(/)

/\14

①当与之2时,一与くー2,所以一3=-log2(x；—2尔〇),所以〃2=—%---

2xo

14

因为函数yニース一一(x＞2)是增函数,所以〃zN-l

2x

②当ー2＜キ＜2时,一2＜一天〈2,所以一3=3,矛盾

③当玉,〈一2时,一不と2,所以log2(片+2/n%)=3,所以〃2=ースス0+一

ノス0

因为函数y=-+&(xW-2)是减函数,所以〃72—1

综上所述,实数〃?的取值范围是［—1,1)

13.【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】已知/(x)为R上的偶函数，当XN0时,

/(x)=ln(x+2).

(1)当ス<0时,求/(x)的解析式;

(2)当机£氏时,试比较/(かーり与ア(3ー〃り的大小;

(3)求最小的整数〃2(〃22-2),使得存在实数(,对任意的ス£[〃z,10],都有

/(x4-Z)<2In|x+3|.

【解析】

(1)当ス<0时,/(x)=/(-x)=ln(-x+2)；

(2)当スNO时,/(尢)=111(ス+2)单调递增,而•f(x)是偶函数,所以ア(カ在(H。,〇)上

单调递减,所以/(〃2一1)>“3ー〃?)<=>[〃1ー”>[3ー〃<=>(〃/-1)~>(3ー〃?)~<=>m>2

所以当〃?>2时,f(〃!一1)>/(3ー〃!);当〃7=2时,/(m-1)=/(3-m)；

当〃1<2时,/(m—1)</(3—m)；

(3)当xeR时,/(x)=ln(|x|+2),则由/(x4-r)<21n|x+3|,得

ln(|x+r|+2)<ln(x+3)2,即|x+彳+2<(x+3『对xG[〃?/()]恒成立

从而有｛ユ对xe[m,10]恒成立,因为加之一2,

t之x7x7

t<(x2+5x+7)=m2+5〃?+7

所以｛,サ

Z>(-x2—7x—7)=ー〃ド-7m—7

Xノmin

因为存在这样的レ所以ー加2一7加一7〈m2+5m+7,即m2+6m+720

又相2-2,所以适合题意的最小整数ル=-1.

14.【江苏省淮安市淮海中学2017届高三下学期第二次阶段性测试】已知函数

f(x)=x2-2alnx(aGR).g(x)=2ax

(1)求函数，(x)的极值;

(2)若a>0时,函数〃(x)=/(x)-g(x)有且只有一个零点,求实数a的值;

(3若0<。<1,对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数斗ち,,都有

|/（玉）一ア（ス2）|>レ（內）一<?（电）|成立,求实数。的取值范围.

【解析】(1)f(x)=2x-—=2x2-2a

XX

当a40时,f(x)>0,“乂)在(0,+8)上递增,“ス)无极值

当a>0时,x£(0,厶)时,f(x)<0,f(x)递减;

XE(厶,+8)时,f(x)>0,f(x)递增,所以f(x)有极小值f(厶)=a-alna

综上,当a<0时,f(x)无极值;当a>。时,f(x)有极小值f(，a)=a-alna,无极大值

(2)h(x)=x2-2alnx-2ax,则hイx)=2x-----2a=-------------

xx

a_i_、/02_i_イ3

因为a>0,令h'(x)=0,得x0=-----------,故h(x)在(。ス〇)上递减,在(x0,+8)上

2

递增,所以h(x)有极小值h(x(J=()xo-2alnxo-2axo=O

2

且2x0一2ax0-2a=0联立可得21nXo+x0-1=0

令m(x)=21nx+x-1,得m1x)=—+1>1,故m(x)在(0,+司上递增

x

『b…1una+va2+4a」!

又m(1)=0,所以x0=l,即------------=1=>a=—

22

(3)不妨令1<玉<ち<2,因为Ovavl,则g(%)<g(ち)

由(1)可知/(石)</(ム),因为|/(玉)一y(X2)|>|g(xj_g(x2)|

所以〃あ)--(石)〉g(%)--g(x2)>〃％)-ga)

所以〃—g(x)=x2—2alnx_2ax在［1,2］上递增

所以〃’(x)=2x一一2aN0在口,2］上恒成立,

x2v-2|1

即ー在［1,2］上恒成立令f=x+le［2,3］,则——=t+—2>~,

x+\L」x+\t2

所以

15.12017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知/(x)=ar—Inx(aeR).

(1)当a=2时,求y(x)的单调区间;

(2)函数y"(X)有两个零点网,x2,且x<ち

①求。的取值范围;

②实数加满足In%+11Iち>机,求加的最大值.

【解析】

(1)当a=2时,/(x)=2x—lnx

.•._f(x)=2ー丄=汩

XX

.・"(X)的单调增区间为(；,+8)，单调减区间为(0,;)................................2分

⑵①・ソ’(x)=aー丄(x>0)

当a«0时,/'(x)WO,在(0,+oo)上至多只有一个零点,与条件矛盾(舍)

当a>()时,令/'(x)=0,得ス=丄

列表x'(。’一)丄

/'(X)-0'+

/(%)し极小值t

二/(%)极小值=l+1na

/(x)有两个不同的零点二.1+ln。V。即0v。1.............................6分

当〇<〃く"|时,イ小。”(1)=a>0,“力在(0,ラ上单调递减且图像是不间断

的

此时丄〉e,.・ノ(x)在(0,丄)上有且只有一个零点

v-|<0,/f-Vj=--21n-令ル=丄£（。,+00）,则设r="_21n〃,

\aJゝa丿aaa

2

.」=1ー:>0,在（e,+o〇）上单调递增

.」>e-2>0,.•./（う】>0又•."