高考数学复习第32讲解析几何中长度面积和、差、商、积（解析版）

第32讲解析几何中长度面积和、差、商、积

【典型例题】

例1.如图.已知抛物线C:y?=4x,直线过点P(2,l)与抛物线C相交于A,B两点,抛物线在点A,B处

的切线相交于点T,过A,8分别作x轴的平行线与直线上/:y=2x+4交于V,N两点.

(I)证明：点T在直线/上，且|MT|=|NT|；

(II)记AAMT,ABNT的面积分别为5和§2.求R+S?的最小值.

【解析】解：(I)证明：因为项不平行于x轴，设直线的方程为彳=四+2-机，&左，%),

必)，

因为y2=4x,不妨令y>0,则y=26,

12

所以y'=—j=，所以Z=y'I2--，

«吟其

所以过A点的切线方程为y-x=-(^-—),

X4

整理得yj=2x+当，

同理，过点3的切线方程为y2y=2x+*,

联立两切线方程，解得T(牛，

,\x=my+2-m/口,，，八八

又《，，得y-4my+4ni-8=0,

[y=4元

所以y+必=4%，y%=4机-8,

代入可得丁(加一2,2m)，满足y=2x+4,

所以点T在直线/:y=2x+4上，

又加=y，%=%，

所以加+yN=乂+%=4〃?=2%，

所以T为M,N的中点，即|MTRNT|.

(II)由(I)可得yj,A(^-,y),

所以|AM|=江-上心，同理|8M|=W-2二

4242

所以工+星=；(|四|+[8知|)><|无&|=3(手一当^+学一与廿冈玛匹1

1,城+月—2(乂+%)+16、、,+%)2--跖

=­1-----------------)x--------------

242

='口6m2-2(4/7?-8)-8机+16]xJ16病-4(4,”-8)

=4(\lm2-m+2)3=4(.(m--)2+-)3,

V24

23

当机=工时，5,+5,=4(J(m--)+-)有最小值里.

2V242

v22

例2.已知耳，尸,分别是椭圆C:=+=v=l(a>%>0)的左、右焦点，动点M在椭圆C上，△〃百心面积最

ab"

大值为2,离心率e=立.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过点耳的直线/与椭圆C交于A,B两点，问：是否存在实数t,使得|AZ|+|B/"=r|A月||3月|恒

成立.如果存在.求出f的值.如果不存在，说明理由.

cM

e——=—

a2

【解析】解：(1)由题意可得口x2cxb=2,

2

a2=b2+c2

解得/=4,从=2,/=2.

22

故椭圆C的标准方程为土+工=1.

42

（2）如图，由（1）可知片（-&,0）,马（虚,0）.

当直线2的斜率不存在班|伍|+|即|=幺=1,

a

则,J」用+1幽1=2,

IA/-||%|

当直线/的斜率存在时，设其斜率为&,

则直线/的方程为y=A（x+&）,A（x「y）8（w，%）•

y=Z（x+&）

联立。v2，

整理得(2k2+l)x2+4y/2k2x+4/-4=0,

贝|］与+%=_岁，,不々=4k2-4

2公+1

4y/k2+\

从而|々|二yl(x-x)-4xx=

t2t22k2+\

故|A耳|+|8耳=

乙K十1

由题意可得IAR1=，公+11%+V2|,|BF11=y/k2+\|三+0|,

2

则|AF1||BFt\=(k+1)g+瓜%+%)+21=笠:；,

因为|A片|+|班

4炉_4

—股=考五=2,

I46II历|2(丁+1)

2公+1

综上,存在实数f=2,使得|4日|+|防|=/|4居||明|恒成立.

22

例3.在平面直角坐标系xOv中，已知椭圆C:，+《=l(4>b>0)的右顶点为4(2,0),且其两个焦点与短

ab-

轴顶点相连形成的四边形为正方形.过点T(r,0)(-2<f<2)且与x轴不重合的直线/与椭圆C交于P,。两

点、.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设PQ的中点为试判断是否存在实数f,使得|AM『-因上为定值.若存在，求出，的值，并求

4

出该定值；若不存在，请说明理由.

【解析】解：(1)由题意可知，a=2,且人=。，又因为/=从+°2,解得匕=c=夜，

所以椭圆C的方程为《+$=1：

42

(2)存在实数，=2,使得|AM『-上空为定值.理由如下：

34

因为M是尸。的中点，故-1^-AM|2-1MP|2=(AM+MP)■(AM-MP)=APAQ

4

由题意可知，直线PQ的斜率不为0,设PQ的方程：x=my+t,(meR,(-2<r<2)),

x=my+1

与椭圆C的方程联立，2,消去x,整理得(切2+2)/+2胆。+产一4=0,

—+—=1

[42

2//?1_4

设尸(X「X)，Q(X,y),贝I】x+M=——=，y)2=「c，

22〃?+2m+2

因为A(2,0),所以4P=a-2,弘)=。肛+"2,%)，AQ=(my2+t-2,y2),

2

则AP•AQ=(my1+1-2)(my2+r-2)+y%=("，+-)(J1+必)+Q-2)?，

所以AP-AQ=口二2，：；2),

若对任意meR，”.4。="-2?(3/-2)为定值,贝卜=2或f=2,

nr+23

因为一2<f<2,所以r=2,此时，-L^L=AP.AQ=O

34

存在实数f=使得|AMF-野为定值，且定值为0.

例4.在平面直角坐标系x0y中，椭圆C：4+4=1（«>^>0）的左、右焦点分别为耳、F,,且离心率为立,

ab2

过坐标原点O的任一直线交椭圆。于M、N两点，且|加入|+|町|=4.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P（f,O）为椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为正的直线/交椭圆C于A、3两点，试判断

2

|PA『+|P8|2是否为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，请说明理由.

【解析】解：（1）山已知，得M4N工为平行四边形,

所以\+\NF2\^MF2\+\MFt\=2a=4,所以a=2,

又因为e=£=也，所以c=正力=&,

a2

72

所以椭圆C的标准方程为土+汇=1…（5分）

42

历

（2）直线/的方程为y=~y（X-/）,设A（x，yj,B（x2,%），

V2

y=v（%T）。/_4

联立方程，，得2d—2/x+J—4=0,所以为+々=，,为々=-----

〜2,,2/

22222

所以|PAF+1尸81=（x,-t）+y,+（x2-t）+y2

ii3

=（芯—0~十万（司―62+（/_，）2+Q（/-7）2=—（Xj2+/2）

=/［（F+6）2—2芭/］=］（*-t2+4）=6为定值...（12分）

例5.在平面直角坐标系My中，椭圆C:0+当=1(4＞。＞0)的焦距为2,一个顶点与两个焦点组成一个等

a'b~

边三角形.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)椭圆C的右焦点为尸，过尸点的两条互相垂直的直线4,12,直线4与椭圆C交于P,Q两点，直

线4与直线X=4交于7点.

⑺求证：线段PQ的中点在直线OT上；

3)求明的取值范围.

1尸。1

C_1

【解析】解：(I)由椭圆得,Q2，解得a=2,c=1,/?=石，

2c=2

22

故所求椭圆的标准方程为上+汇=1.

43

丫2v2

(II)(i)设直线PQ的方程为：x=my+l,代入椭圆方程彳+匕=1得(3病+4)丁+6阳一9=0,

则判别式a=36m2+4x9(3/+4)>0,

设尸(占，yj,。(电，％)，PQ的中点G(x(),%),

-6m

则%+为=

3m2+4

则%=初+丫2)=春‘/=冲。+1=心

即G」-3m

3〉+4

-3m3m1+43m

3nr+44T

设宜线ET的方程为：y=-m(x-l),得丁点坐标为(4,-3帆),

3m

%=一彳

••k()G=koT，

即线段PQ的中点在直线OT匕

(ii)当m=0时，尸。的中点为尸，7(4,0),

则|TF|=3,|尸。|=生=3,■^■=1,

“\PQ\

当帆/0时，|TF|=&4-+(-3〃?)2=3,疗+1,

22/(,二％2_4._^Z=12.包一里.

|PQI=I.V2-%1=Vl+m-+%尸Tyj.=y/l+m

V3W2+43布+43M+4

2

\TF\3ylm+13m2+4—•(3，42+1+

则----=----------------1.),

\PQ\m2+\124Vw2+1

设t=d府+1，则/>1,

贝|Jy=3《m2+1+/1=3r+1=3Q+3）在（l,^o）为增函数，

y/m2+ltt

贝ljy＞3+l=4,

则--Rm2+1+-,-1—）＞-x4=l,

44

综上空1..1,

IPQI

故求明的取值范围是［1,+00）.

IPQI

22

例6.若椭圆C*+方=1（。＞匕＞0）上有一动点尸，P到椭圆C的两焦点小死的距离之和等于2后，P

到直线x=£的最大距离为2+夜.

（I）求椭圆的方程；

（II）若过点”（2,0）的直线/与椭圆C交于不同两点A、B,04+OB=fOP（O为坐标原点）且

半，求实数，的取值范围.

2a=2&

【解析】解：（/）由已知得＜1,:.a=V2,bc=\1

一x2cx〃=1

12

又二〃=Z?2+/,."=1,C=1f

••.椭圆的方程为：y+/=l.

(〃乂的斜率必须存在,即设/:y=©x-2),

V2

联立万=1,消去y得f+2公(x-2『=2,

y=k(x-2)

得(1+2公)/-8公x+8公一2=0,

由△=64k4-8(1+2k2)(4/-1)=8(1-2/)>0可得k2<-,

2

设&占，yj,BQ2,y2).

由韦达定理可得：芯+々=8左-2^，8&2~_2

OA+OB=tOP(O为坐标原点)

.•.(X,+x2,y,+y2)=t(x,y),

/.x}+x2=tx,y+%=O，

11C、“z1-U

・"=7诙，3.伙&-2)+心-2)]=7百

・点p在椭圆上，

.(8*)20：16k2

一F丁丁十4xf—乙,

”(1+2二)2*(1+242)2

:A6k2=r(1+2公)，

216公8,*、

=1+2公=8-1+2/'

\PA-PB\=\AB\=Jl+犷1A--%21=Jl+42.2*W<W，

:.k2>—»

4

37.

42

将_1＜公＜1代入得竺＜产＜4,即-2＜r＜-侦或亚＜r＜2,

42933

则/的取值范围是（-2,-迅2淮,2）.

33

22

例7.如图，椭圆二+2=1（4＞匕＞0）的左焦点为P，过点F的直线交椭圆于A,8两点，|A尸|的最大值

CTbz

7

为Af,|3月|的最小值为m,满足”・"7=-。2.

4

（I）若线段AB垂直于x轴时，|A81=1，求椭圆的方程；

（H）若椭圆的焦距为2,设线段•的中点为G,钻的垂直平分线与x轴和y轴分别交于。，£两点，O

是坐标原点，记△G"）的面积为AOED的面积为邑，求学工的取值范围.

S]+§2

【解析】解：（I）设尸（一。，0）（c>0）,则根据椭圆性质得

3

M=a+Cym=而M»m=—a2，

4

所以有片一/=3/,即Q2=4C」，即Q=2C,

4

又竺■=』且〃=力2+。2,

a2

得a=1,h2=—t

4

2

因此椭圆的方程为：/+《=1,（4分）

4

22

（II）由（I）可知a=2,h=5/3,椭圆的方程为土+上=1.

43

根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线45的方程为y=A（x+c）,

并设A（X|，乂），3（*2，y2）»

则由直线与椭圆方程消去y并整理得，（4/+3*+8^21+4公-12c2=0

从而有大+工2=一一—，X+%=%（入1+*2+2c）=6：一，（6分）

4k+34Z+3

Ack23ck

所以G（-

4A2+34公+3

3ck

因为Z)G_LA8,所以一彩口一k=-l,所以号=一一J

4或2»底+3

--------------r..

k2

c=l得到x

D--叱+3

cr42g

由RtAFGD与RtAEOD相似，所以」=9+=>9.（10分）

22

S2ODk

令一L=r,贝h>9,

即三鲁'的取值范围是(0,4)•

22

例8.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:—+y=l,抛物线E:x=2py的焦点尸是C的一个顶点，设P(x0,

%)是£上的动点，且位于第一象限，记£在点P处的切线为/.

(I)求p的值和切线/的方程(用/,%表示);

(II)设/与C交于不同的两点A,3,线段的中点为。，直线与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

(i)求证：点M在定直线上;

q

(ii)设/与y轴交于点G,记KPFG的面积为5,,"DM的面积为邑，求」的最大值.

【解析】解：(/)由题意椭圆C:工+>2=1,可得e=£=W，椭圆的上顶点(0,1),

5ay]5

因为，抛物线氏/=2/的焦点尸是C的一个顶点，所以6=1,

所以抛物线的焦点厂为(0,1),则p=2,E:x2*=4y,

直线/方程为2(丫+%)=50.即2丫一必)+2y0=0

(II)(i)证明:设P(X()，％),A(%,y),B(X2,%)，

[+"=[,今+0=1,两式相减可得:y2T=-％2-¥),

可得L="口=二三乜_=,

%-玉5%+必5kOD

112

所以=—£，砥8=不入0，k=---,

52OD5/

直线8的方程为y=-2x,当x=x0时，可得y=-2

5x05

即有点M在定直线y=-|上；

(，)直线/的方程为y=gx()x-%,令x=0,可得G(0,-%)，

1\[%+1[(%+]

则5,=-|FG||%|=-x0(l+%电=字PM||一今吟|=-——\吒,

2222%+仔22%+5

2

(2y°+?(l+y。)

年(%+5

,QQQ---FI1--

5

C2(Y)(f+?)2(3"W2(---—当7

~S~e-3?“3f-

当r=3,即为=工时，县取得最大值S

5°5S23

例9.斜率为k的直线交抛物线V=4y于A,B两点，已知点3的横坐标比点A的横坐标大4,直线

y=-齿+1交线段4?于点R,交抛物线于点尸，Q.

(I)若点A的横坐标等于0,求|P。|的值；

(II)求IPRMQRI的最大值.

y)

【解析】解：(/)A(0,0),B(4,4),:.k=\,

联立方程组：+可得9+4犬-4=0,

[x-=4y

设P(X1,%),Q(X2,%),则%+七=-4,=-4,

.」PQ\=71+(-1)2V16+16=8.

2

（〃）设m的方程为y=Ax+/?,代入炉=4），得：x-4fcv-4/?=0,

2

xB-xA=J16.+16b=4,k=\—b.

联立方程组二—3

联立方程组｛屋+L得八…二°,

与+/=Yk,XjX2=-4,

•••IPRMQR1=-（1+炉）（%一4）（马-xR）

=_（1+?］痞f（%+W）+X：］

=-（1+公）（-4+2/+J）

4

=_*上）、场,

418144

.•.当4=±巫时，|「。卜|。/?|取得最大值殷.

6144

2

例10.如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆「:、+丁=1的左、右焦点分别为耳、F2,设P是第一象限

内r上的一点，PFRP月的延长线分别交r于点Q、Q2.

（1）求△尸与Q?的周长；

（2）求面积的取值范围；

（3）设“、4分别为耳。2、△PgQi的内切圆半径，求的最大值.

【解析】解：（1）片，K为椭圆C的两焦点，且P，Q?为椭圆上的点,

QF+QF=2a,从而得到^PQ霜的周长为4a.

:PFX+PF2=2t22

由题意，得4a=4及,即△PKQ?的周长为4夜.

（2）由题意可设过PQ?的直线方程为x=my+l,P（x0,y0）,Q2（x2,y2）（xo>O,y0>0）,

联立,消去x得（加+2）;/+2冲-1=0,

[x~+2y=2

贝U%+必=--六,%,%=--AT，

m+2m+2

rrhI1,I,2m—-l~~88

02

V机2+2机2+277n2+2（>+2）2

令，=」^（。<4,

m~+22

则1%-为|=麻不，亚（当时等号成立，即m=。时）,

所以S^e,=〈1月611%_%1=；*2|%_必1=1%_%1,,近，

22

故aPFtQ2面积的取值范围为（0,0].

（3）设QU，乂），直线片P的方程为y==^-（x+l）,

%+1

将其代入椭圆r的方程可得—+*,（x+a=1,

2

2（Xo+1）

2

整理可得（2玉）+3）x+4y；x-3x：-4x0=0,

则吃寸去乎'得一一舒'朴言（一需+D=一会

故0(-誓

2x0+32x0+3

当天工1时，宜线EP的方程为y=-^-(x-l),

x“T

将其代入椭圆方程并整理可得（-2』+3）d-4y"-3x；+4x0=0,

同理，可得Q,（逗心,

-2x0-32x0-3

因为SPFA=gx4五4,S.=gx404,

Sg—S“？2.(f)；x2.(f)

qq

所以「钎睫一姿

2&20

%-%=近(%_%)=2拒X"%=2近_2夜=

2

2夜F2.%+3-2/一3)~V+18.y0-/J8%”邛。18%~3

%'n'V

当且仅当』=半,%=噜时,

等号成立.

尸入，x轴时，易知尸（1,［）,%=一半,%=-冬

y-y_y/24A/2_1

此时r-r}2

x22及4105

综上，/;-£的最大值为g.

例11.如图，P是抛物线C:y=；V上一点，直线/过点P且与抛物线C交于另一点Q.

（I）若直线/与过点P的切线垂直，求线段P。中点M的轨迹方程;

（II）若直线/不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求空+凹的取值范围.

\SP\\SQ\

【解析】解：（I）设P（玉，X），Q（X2，y2）,M（Xo,%）,依题意玉?0,>0,%>。.

由y=—x2,①

-2

得y'=x.

过点P的切线的斜率,

•・・直线/的斜率与=-1■=-!,

k石

直线/的方程为^」才=-!（尸占），②

2百

联立①②消去y,得X2+4X-X；-2=0.

不

M是尸。的中点

%+々11j1..

••X。==---，%=彳%----（X。一再）

2玉2X,

消去%,得%=X："I----+l（x0H0）,

2天

.­.PQ中点M的轨迹方程为y=f+5+l（x工0）.

（H）设直线/:y=fcc+b,依题意％大0,h^O,则T（0,6）.

分别过P、Q作PPLx轴，QQ'_Lx轴，垂足分别为P'、Q',则空1+更1=卑!+哗1=曲+改L.

|SP||SQ|\P'P\\QQ\|yj\y2\

由、=3/，y=fcx+6消去x,得y,-2（&）+力、+/=0.③

2

则,+丫2=2（公+b）,yty2=b.

叫"|（一）..2闻

|SP||SQ|y%

X、力可取一切不相等的正数，

回+包的取值范围是（2,+oo）.

\SP\\SQ\

【同步练习】

22

1.己知椭圆C:=+与=im>b>0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同，6，居为椭圆的左、右焦

a~b~

点.M为椭圆上任意一点，△A/片用面积的最大值为1.

（1）求椭圆。的方程；

（2）直线/:y="+〃i（mx0）交椭圆C于A,B两点、.

①若x轴上任意一点到直线A鸟与85距离相等，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标；

若直线/的斜率是直线。4,08斜率的等比中项，求A4O8面积的取值范围.

【解析】解：（1）由抛物线的方程y?=4x得其焦点为（1,0）,则椭圆中c=l,

当点M为椭圆的短轴端点时，片心面积最大，此时S=gx2cx0=l,

:.b=\,月，尸2为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，△峙亮面积的最大值为1,

a2=b2+C2=2,

.•.椭圆的方程为£+9=1；

2

2

（2）联立（万+'=,得（1+2女2）^+45优+2，/-2=0,

y=kx+m

2

由△=16/疗-4（2无2+1）（2加2-2）=8（242-m+l）>0,得1+2->加2（*）

设4%，y）,B（X2,y2）,

2m2-2

则x1+x2=-

①用=工=^^人=上=^^,由/人0,得^1+^^=0,

X]一1%-1X]—1%—1%一1^2—1

2//|~—24km

所以23々+（加一％）（玉+9）-2机=0，即2k-----/+Q九一火）（------）-2m=0,得加=—2左，

1।乙K1।乙K

直线I的方程为y=k{x-1）,

因此直线/恒过定点，该定点坐标为（2,0）.

②•.直线/的斜率是宜线。4,。3斜率的等比中项，

,3%=人即坚.?，得的+，〃）你+，〃）=公,得加（为+x,）+疝=0,

XxX2xtx2

4k2m22n,„

-----r-+m~=0,乂v7%w0,

l+2k2

2=].,代入（*）,得O<%2<2.

2

IAB\=71+F|x,-x2|=53（2-病）.

设点O到直线钻的距离为4,则"=方也=乌吗，

trT+2—m

SMOB=；IAB=；J3(2一,“尸=坐(2当

血;"2

2

当且仅当4=2-m,即m2=1E（0,2）时，AAOB面积取最大值立

2

故AA在面积的取值范围为

22

2.己知工分别是椭圆C:与+==1（。>6>0）的上、下焦点，其中匕也是抛物线G：/=4y的焦点，

a~b~

点M是G与G在第二象限的交点，且|M6i=g.

（1）求椭圆G的方程；

（2）已知Ag,O）,8（0,a）,直线y=fcr（A>0）与他相交于点。，与椭圆G相交于点E,F两点,求四边

形A£B尸面积的最大值.

【解析】解:（1）由抛物线G：f=4>的焦点,得焦点耳（0,1）.

设M（Xo，%）（为<0）,由点M在抛物线上，

•••15|=|=丫0+1,片=4%,解得%=g,x0=-

守（-半产48

而点M在椭圆G上，+—7—=1，化为二二+==1，

a2b29423b工

2222

c=l=a-h（-A

联立J48，解得f=，

A+A=l〃=3

19a23b21

故椭圆的方程为£+工=1.

43

（2）由（1）可知：|AO|=G，\BO\=2.设E（X「J,）,尸（马，y2）,其中王<%，

把y=fcr代入二+土=1,可得X2=F二二，X,>0,y=—y.>0>且4x；+3y：=12.

,43,32/+4"2

故四边形"S尸的面积5=5凶杯+=2X2+6%=J（2%+国产

=（4x；+3y；+4石凹〉2”J4K++2x♦（"）=2娓.

当且仅当2%=回时上式取等号.

四边形A£BR面积的最大值为2屈.

V2V21

3.已知椭圆（7：/+3=1（〃>6>0）的离心率为楙，F、,鸟分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆C上一点,

且的周长是6.

（I）求椭圆C的方程;

(II)设斜率为上的直线交x轴于7点，交曲线C于A,3两点，是否存在A使得|ATF+|BT|2为定值，若

存在，求出发的值；若不存在，请说明理由.

【解析】解：(I)由题意可知2z+2c=6，-=

a2

解得Q=2,C=1,

/=/+/,.,方二3,

22

.・.椭圆。的方程为工+E=1.

43

(II)假设存在2,则ZwO,设A(x，yj,B(X2,y2),

设直线AB的方程为：x=my+n,T(n,O),

x=my+n

联立方程,V2,消去“得：(3优2+4)>二+6加〃y+3"-12=0,

—+—=1

43

Gmn3n2—12

••弘+%=」%二

♦二3m2+；443ni+4

22

△=36“/,4(3n-i2)(3■+4)=48(3疗+4-n)>0,

-'-IAT「+1BT\~=(x1—n)~+yj+(x2—n)~+y2~

222

=(m+l)(yI+y2)

二(>+1)[(乂+%)2-2yly21

/2,z6mn-3/-12

=(m+11)[U(---5——)2-2----；---]

3〉+431+4

=+R[(3疗-4)〃2+4(3疗+4)],

(3m2+4)-

要使I+187?为定值，

则有3>-4=0,所以机=±*，

所以上=—-=±-^-.

m2

4.设圆C与两圆(x+行尸+产=4,(x-石尸+尸=4中的一个内切，另一个外切.

(1)求C的圆心轨迹L的方程;

(2)已知点M(孚，竽)

F(A/5,0),且P为乙上动点，求||"「|-|尸尸||的最大值及此时点2的坐标.

【解析】解：(1)两圆的半径都为2,两圆心为耳(-行，0)、F式后,0),

由题意得：|C6l+2=|C7"-2或|C行|+2=|〃|-2,

.-.IICF；|-|Cf；||=4=2a<\FtF2\=275=2c,

可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4,焦距为2百的双曲线,

因此a=2,c---V5»则匕'=c?—a2=1,

所以轨迹L的方程为《-丁=1：

拽-0

(2)过点M,尸的直线/的方程为y=T----(x-石)，

即y=-2(x-石)，代入土—产=1,解得：述，为=!±叵，

4515

故直线:与双曲线£的交点为工(竽，笃(噂-咨,

因此g在线段MF外，T2在线段MF内，故||M7；|-1FT；||=|MF|==2，

\\MT2\-\FT2\\<\MF\=2,若点尸不在MF上，则|MP|-|FP|<|MF|=2，

综上所述，|MP|-|FP|只在点7；处取得最大值2,此时点P的坐标为(竽，-苧)•

5.已知圆心在x轴上移动的圆经过点A(T,O),且与x轴、y轴分别交于点8(x,0),C(O,y)两个动点，记

点M(x,y)的轨迹为曲线

(1)求曲线「的方程：

(2)过点F(1,O)的直线/与曲线「交于尸，Q两点，直线OP,0。与圆尸:。-1)2+丁=1的另一交点分别

为M,N(其中。为坐标原点)，求AOMN与AOP。的面积之比的最大值.

【解析】解：(1)设动圆的圆心为(。,0),因为经过(-4,0),且与x轴、y轴分别交于点3(x,0),C(0,y)两

个动点，

则a>-2,半径为a+4,

圆的方程为(x-4A+>2=(q+4产，与x轴的另一个交点为B(2a+4,0),与y轴的交点为C(0,y),

即x=2a+4,y2=8a+16,

y2=4x,

即「的方程为V=4x；

(2)由⑴作下图：

设过尸点的直线方程为I=冲+1,显然机是存在的,

联立方程：,得/一4加>-4=0,

[x=my+1

/.y{+y2=4机...①，y%=-4…②，

设P(尸，20，Q(d,2s),

代入①②得玄=一1,t+s=2m...®

则直线OP的方程为y=2X,直线。。的方程为y=2X,

ts

(x-1)2+y2=]

联立方程：2，

y=-x

t

解得M(3,_±_),同理N(M，工)，

r+4r+4s+4s~+4

(当一昌)2f4?__2|r|

.1OM|=

r+4r+4V2+4〃+4

同理可得：|ON|=-jg=,

V?+4

.•J0P|="(/)2+(2f)2=2|)4+4,\OQ\=2\s\y/s2+4,

S®OMN=IOM|“ON|=4=4④

2

SMPQ\OP\-\OQ\a+4)(?+4)⑹2+4(1+$2)+16

由③得*+s2=（f+s）2-2fs=4，"2+2,代入④得：2皿=—4—

S&OPQ16m+25

显然当m=0时最大，最大值为色.

25

6.已知椭圆cJ+}=l(a>6>0)过点(1,苧，且焦距为2.

(1)求椭圆。的方程;

(2)过点M(2,0)的直线/交椭圆C于点A,B两点,P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足

OA+OB=tOP,其中fe,2),求|的取值范围.

【解析】解：(1)依题意椭圆C:J+2=l(a>b>0)过点(1,孝)，且焦距为2.

a2=b2+1

a2=2

有《1

—+b2=1

[a-J

所以椭圆C的方程为《+>2=1.

2

(2)由题意可知该宜线/存在斜率，设其宜线/方程为y=&(x-2),

y=k（x-2）

由，丁,消去y得（1+2公）/—8公工+842一2二0,

—+y=1

2

所以△=8（1—2产）＞0,即A2VL

2

设A（X[,yj,B（X],%），尸（x，）'），

跳2

xt+x2

则1+2公

4k

y+%=—西+々.4)=一

1+2公

8不________4Z