高中数学7-5复数的三角表示（学案）

第。5讲复数的三角表示

0目标导航

课程标准课标解读

1.掌握复数的三角表示形式，能够进行复

通过本节课的学习，要求理解复数的三角表示，接受复

数代数形式与三角形式的转化，掌握复数

数三种形式的表达方式及其之间的关系，会用复数的三

的三种表达形式之间的关系.

角表示形式做复数的乘与除的运算，理解复数三角表达

2.通过对复数的乘与除运算的三角表示

形式的几何意义及复数三角运算的几何意义，能进行与

及几何意义的理解，能进行复数三角形式

复数相关的三角形式的运算.

的相关运算.

8K知识精讲

知识点

1.复数的辐角

以x轴的正半轴为始边、向量0Z所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。

适合于0或＜2兀的辐角0的值，叫辐角的主值。记作：argz,即OWargzv27r.

2.复数的三角表达式

一般地，任何一个复数z=a+加都可以表示成NcosG+isin。)的形式.其中，r是复数的

模；0是复数z=a+历的辐角.r(cosO+isin。)叫做复数z=a+方的三角表示式，简称三角形

式.为了与三角形式区分开来〃+方叫做复数的代数表示式，简称代数形式.

注意：复数三角形式的特点

模非负，角相同，余弦前，加号连

3.两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：

两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等.

4.复数三角形式的乘法及其几何意义

设Z|、z2的三角形式分别是：z}=r}(cos+zsin^),z2=r2(cos^2+zsin6,).

贝(Jz|-Z2=4G[COS(G+a)+isin(4+4)]

简记为：模数相乘，幅角相加.

几何意义：把复数Z对应的向量0Z绕原点逆时针旋转Z。的一个辐角，长度乘以z0的

模，所得向量对应的复数就是z・z0.

5.复数三角形式的除法及其几何意义

设Z]、zz的三角形式分别是：Z]=4(以九耳+zsin^),z2=r2(cos02+ising).

则4+Z2=^[cos(a-%+诟近他-。2)]・

简记为：模数相除，幅角相减

几何意义：把复数Z对应的向量0Z绕原点顺时针旋转Zo的一个辐角，长度除以Z。的

模，所得向量对应的复数就是三.

Zo

【即学即练1】下列各式中已表示成三角形式的复数是().

A.\/5(cos/isi吟)B.A/5(COS/isin^)

C.0卜吟+icos^[D.-0卜os£+isi吟)

【答案】B

【详解】

复数的三角表示为：z=r(cos<z+isina),其中「20,B选项满足.

故选：B.

【即学即练2]已知复数z对应的向量为OZ(。为坐标原点)，OZ与实轴正向的夹角为120。,

且复数z的模为2,则复数2为()

A.1+曲B.2

C.(-1,6)D.-1+5

【答案】D

【分析】

由复数对应向量与x轴正向夹角，及复数的模，应用复数的三角表示写出对应坐标，进而写

出复数z代数形式.

【详解】

设复数Z对应的点为(x,y),则

x=|z|cosl200=2x(-1)=-1,y=|z|sinl200=2x*=6,

•••复数z对应的点为(-1,6),

z=—1+-V3Z.

故选：D.

【即学即练3】复数-sin30-zcos30的三角形式为()

A.sin30+isin30B.cos240+isin240

C.cos30+isin30D.sin240+zcos240

【答案】B

【分析】

利用诱导公式可得结果.

【详解】

由诱导公式可知一sin30=-sin(90-60)=-cos60=cos(180+60)=cos240,

-cos30=-cos(90-60)=-sin60=sin(180+60)-sin240,

因此，-sin30-icos30=cos240+isin240.

故选：B.

【即学即练4】已知复数2+i和-3-i的辐角主值分别为a、夕，则tanQ+p)等于()

向

A.6B.-巨C.-1D.1

3

【答案】D

【分析】

根据题意，得到lana=；,tan/?=g,结合两角和的正切公式，即可求解.

【详解】

由题意，复数2+,•和-3-i的辐角主值分别为a,尸，

1II

eI八1ll…/八、tana+tan6?__3___,

则tanau7,tan/Ju7,所以tan(a+??)=---------------?=

231-tanatan\-LxL

~23

故选：D.

【即学即练5】.化下列复数为三角形式.

(1)-1+^z；

(2)l—i；

(3)2i；

(4)-1.

【答案】(1)2(cos*|;r+isin|■〃)；(2)V^cos;Tr+isin(乃)；(3)2(cosy+zsin^)；(4)

cosTr+isin兀.

【分析】

根据题中所给复数，先求得其模，以及福角正切，结合复数在复平面内对应点所属的象限，

求得其辐角主值，得到结果.

【详解】

(1)a=~\,<=6则)={(一1)2+(6)2=2,lan9=一6，

而对应点M(—l,g)在第二象限，6的主值为:万,

22

二・—1+百z=2(cos—^-4-zsin—.T).

(2)a=1,b=—\,WOr=^l2+(-l)2=72»

tan0=-1,

7

而对应点Ml,7)在第四象限，。的主值为丁,

1—i=0(cos7-%+isin7—乃).

44

TTJTJT

(3)2i的模是2,辐角主值是万，故万=2(8$万+乐仙,).

(4)—1的模是1,角主值是兀，故一I=cos7r+isin7r.

【点睛】

关键点点睛：该题考查的是有关复数的代数形式向三角形式的转化，解题的关键是理解辐角

主值，以及复数三角形式的本质.

【即学即练6】计算:

c4..万J冗♦•4)

(1)8cos—+zsin—•2cos—+sin—：

I66I44「

22

(2)叫号+汴金川cos—万+isin—万

33

.\In..TT)

(3)(1+/)•cos-Hsin一：

I55广

(4)2(cos120-Zsin120)。

【答案】⑴16kos卷%+isinQ⑵2c°s$+isin』

;(3)

I1212

94..9万

——4-zsm——

2020

(4)—(cos30°+zsin30°).

2

【分析】根据复数的乘法、除法运算法则，结合两角和、差的正余弦公式，逐一计算，即可

求得各题答案.

【详解】

(1)原式=

71n.71.71..71冗.兀.冗、(717t\..(71)丫|

16cos—cos—+1cos—sin—+;sin—cos----sin—sm—=16cos—+—H-zsin一"F—=

I64646464jLV64J(64〃

16cos—^+/sin—

I1212

(2)原式=

=2cos—%+isin

I44JI33J

一4+isin—乃cos—万一isin一乃

33JI33

(72277272、

=2cos—;rcos—%-isin—;rcos—4+isin—JTCOS—4+sin—4sin—4

(43344343J

cos—/

=2=2

,U3JU3J1212)

(3)因为l+i=

原式=

C71冗..11九\rz|冗71..7C71..7T71.71.7t

2cos—4-zsin—cos—Fzsin—=V2cos—cos—4-fsin—cos—+;sin—cos----sin—sm—

(44人55)(45544545

(4)-i=cos270°+isin2700，

2(cos1200-Zsinl20°)=2(cos240°+isin2400)

।百cos2700+isin270°(cos270°+isin270°)(cos240’一isin2400)

"式—2(cos240°+isin240")"2(cos2400+zsin240°)(cos2400-zsin240°)

=1(cos2700+/sin270°)(cos2400-zsin240°)

=；(cos270°cos24()-isin240cos270sin270cos240+sin270°sin240)

=1[cos(270°-240°)+/sin(270°-240°)]

=；(cos30+/sin30).

考法01

复数的三角表示：（1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连.

（2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定e为锐角），其次判断是否要

变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点一定名一定角

【典例1】复数2=-3t。53-心也（）的三角形式为（）

Bc.才31COS冗y+一ZSi冗ny

(67r..6九

D.31cos--zsin—

【答案】c

【分析】

结合复数的三角形式的概念可以直接求解.

【详解】

因为忖=3,辐角主值为手所以z=_3"/呜卜3卜与+，34

故选：C.

【典例2】求复数2tosg-isin胃的模与辐角.

【答案】答案见解析

【分析】

根据三角函数诱导公式得到21cos^-isin方）=2cos,^J+isin,m）］,得到答案.

【详解】

，兀、兀.，兀、.兀

cos——=cos—,sin——=-sin—,

I3j3I3)3

由此可知，这个复数的模为2,辐角为-J2T+2E（々eZ）.

【典例3】求下列复数的模与辐角主值：

（1）-1+i

⑵-夜

-173.

（S）------------1

22

（4）-也+也i

22

【答案】

Q-JT

（1）模为夜，辐角主值为彳；（2）模为0,辐角主值为乃;

（3）模为]，辐角主值为三；（4）模为1,辐角主值为

【分析】

（1）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值;

（2）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值;

（3）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值;

（4）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值.

【解析】（1）|T+i|=J（_l）2+12=点,其对应的点为（-L1）,辐角主值为充

（2）卜&卜血,其对应的点为卜虚,0）,辐角主值为万

（3）V=1,其对应的点为万,-与，辐角主值为日

考+率=|4[+停]=1,其对应的点为卜冬用，其辐角主值为华

(4)

考法02

复数的代数形工与三角形式的互化：

【典例4】将复数4cos['）+isin'化成代数形式，正确的是（）

A.4B.-4C.4/D.-4/

【答案】D

【分析】根据特殊角的三角函数值，化简即可.

【详解】4cos（-1）+isin=4[0+i（-l）]=-41,故选：D.

【点睛】本题考查复数的三角形式的化简，只需计算对应的三角函数值即可.

【典例5】复数-1+Gi的三角形式是（）

「J57r..54

B.21cos---Fisin—

(66

D.2cos^+zsin^

I66

【答案】A

【分析】

根据复数的三角形公式z=r(cos6+zsin。)求解或利用定义直接求解即可.

【详解】

解法一：设复数的三角形式为z=r(cos(9+isin6),则r="(T)]+(退了=2、tan(9=-石，可

取。=argz=等，从而复数-1+后的三角形式为2(cos-+ising).

解法二：_l+"=J(_l)2+(G)2x

7(-D2+(^)

L乌

22

故选：A

【点睛】

本题主要考查了复数的三角形式,属于基础题.

【典例6】把下列复数表示成三角形式，并画出与它们对应的向量.

(1)-1+后

(2)2-2i

(3)-立，

22

(4)3+4i

(6)-3

(7)2i

(8)-2i

【答案】答案见解析

【分析】将复数转化为复数的三角形式，再找到对应的向量坐标，画出向量得到答案.

【解析】(1)-对应向量为OA=(T,G).

对应的向量为03=(2,-2).

(3)----i=cos—+isin—,对应的向量为0C=

ij=5(cos^9+isin(p),其中cose=]34

(4)3+4i=5sin^=-,对应的向量为

5

00=(3,4).

(5)2=2(cos0+isin0),对应的向量为OE=(2,0).

(6)-3=3(cos7t+isinn),对应向量为。户=(-3,0).

(7)2i=2fcos—+isin—,对应向量为OG=(0,2).

(8)—2i=2fcos—+isin—j,对应向量为OH=(0,—2).

【典例7】在复平面内，把与复数3-6i对应的向量绕原点。按顺时针方向旋转60。，求与

所得的向量对应的复数（用代数形式表示）.

【答案】-26i

【分析】

4=3-73i=273（cos3300+isin330°）,根据向量旋转结合复数的三角运算得到答案.

【详解】

z,=3-y/3i=2y/3（cos330°+isin330°）,

对应向量绕原点O按顺时针方向旋转60。，

所对应的复数为Z1=26[85（330。-60。）+1$皿（330。-60。）]=一2杼.

考法03

复数三角形式的乘、除运算：

1.两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅

角的和。简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加.

2.两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于

被除数的辐角减去除数的辐角。简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除,

幅角相减.

【典例8】计算：

77i..7K兀71

(4)—4-isin—

101055

【答案】

(1)6i

(2)-3万

55G

(3)-+--------1

22

(4)

【分析】利用复数三角形式的乘除法法则运算即可.

71..71

【解析】（1）原式=3x2x+isin=9cos—■i-ism—

22

37T7T=3后(cos^-+isin手)=-3V2i

⑵原式COS呼一+—

44

（3）原式

=5x(cos工+isin工]=5xj4+3]=9+述i

(33)[2222

...台外>/ior(7万

(4)原式=—cos一

V2L(io

考法04

复数乘法几何意义是解题关键.把复数z对应的向量OZ绕原点逆时针旋转Z。的一个

辐角，长度乘以z0的模，所得向量对应的复数就是z-z0.

复数除法几何意义是解题关键.把复数Z对应的向量0Z绕原点顺时针旋转Z。的一个

辐角，长度除以z°的模，所得向量对应的复数就是.

【典例9］如图，向量0Z对应的复数为-1+i,把0Z绕点。按逆时针方向旋转150,得到

oz\,求向量对应的复数（用代数形式表示）.

向量对应的复数为

(-l+i)(cosl50+zsznl50)=(-l+i)-^y-+^-i=1一1i,

故答案为：史二1-史里i.

22

【典例10】在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为Z-Z2,Z3,。(其

中。是原点)，已知Z1对应复数4=1+杼.则Z、和Z&对应的复数的乘积"3=.

【答案】-2石-2i

【详解】设Z3对应的复数为Z3,可得闫=闻=2，

7TTT

复平面上点Z1与X轴正半轴的夹角为?，则点Z3与X轴正半轴的夹角为Sr,

36

所以Z3=2^cos^+i-sin-^^=->/3+i,

所以Z34=N+i)(l+Gi)=_26_2i.

故答案为：—2>/3—2i.

【典例11】OZ对应复数一1+i，将OZ按逆时针方向旋转120。后得到OZL求OZ，对应复

数z.

【答案】a(cos*+isin*)

【分析】根据复数的三角式，结合三角函数相关性质，直接计算即可得解.

【详解】对应复数一1+，的三角形式为夜(cos与+isin当)，

由复数三角形式法则旋转后可得0Z'对应复数Z为

四「cos(红+包)+isin(红+型)，向侬工zsin乌.

[4343J1212

M分层提分

题组A基础过关练

1.复数sin40。-icos40。的辐角主值是()

A.-40°B.310°C.50°D.130°

【答案】B

【分析】

将复数写成cos6»+isin(9(0<6»<360)即可求出所求复数的辐角.

【详解】

复数sin40°-icos40°=cos310+isin310,所以该复数的辐角主值是310.

故选：B

2.已知a+》i(a,beR)的三角形式为r(cos6+isin。)，则-a+5的三角形式是().

A.r(cos6+isin。)B,r(cos(万-6)+isin(万一6))

C./"(cos(%+e)+isin(;r+e))D.r(cos(27一oo)+isin(2;r-e))

【答案】B

【分析】

根据三角形式的表达式知，-a+b\的三角形式是r(-cos6+isin。)，根据诱导公式判断选项

符合的即可.

【详解】

由题知，-a+b\的三角形式是r(—cosO+isin。),

结合诱导公式知，cos(乃-6)=-cose,sin(乃一，)=sin。,

故选：B

3..复数1—©^^—《门外白^^区兀》的三角形式是()

2sin^fcos^isin〃+兀]B.2sn^fco.sTl-0..Tl-0

A.+]--------bisin------

2122122

2sin-fcos^^4-isinD.2cos^cos71-0..71-0

c.------+1sin-------

2(22122

【答案】C

【分析】

根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.

【详解】

l-cos0-isin0=2sin2—-2isin—cos—

222

心fsin^-icos^兀一夕..n-0

=2si=2sin-[cos---------1sin-------

2I22J2l22

=2si/cosTl-0..

------4-1sm

22

=2sin^fcos0-n

--------Fisin

2

故选：C.

4.设Z1=-1+Gi,，贝IJargZ2=()

A.%115

BC.——乃D.—71

6-r63

【答案】B

【分析】

首先求z2,再求tan。，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.

【详解】

2

z2=-z,=-!-（-l+M=-l-^i,复数对应的点是李］,位于第三象限，且

2414^）22t22J

tan0=-=73,所以argZ2=*.

a3

故选：B

2

5.把复数3—Gi对应向量按顺时针方向旋转彳加，所得向量对应复数为（）

A.B.一2乖,i

C.—3一乖）iD.3—豆i

【答案】C

【分析】

将复数3-后化成三角形式为z=26［cos（孚）+isin（坐）］,从而得到其对应向量绕原点O

66

按顺时针方向旋转手后，所得向量对应的复数.

【详解】

因为3-6i=26［cos（史）+isin（U）］,

66

其对应向量绕原点。按顺时针方向旋转与后，所得向量对•应的复数为：

273［COS（---）+Jsin（--—）］=-3-&

6363

故选：C.

【点睛】

复数乘法的几何意义：复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C

与复平面内所有以原点。为起点的向量组成的集合也是一一对应的.在用到复数的三角表

示式时，要先算出复数的模和辐角.求解时注意向量旋转的方向.

6.如果非零复数有一个辐角为-丁，那么该复数的（）

A.辐角唯一B.辐角主值唯一

C.辐角主值为一停D.辐角主值为二

【答案】B

【分析】

由给出的非。复数有一个辐角为-子74，结合辐角主值的概念得答案.

【详解】

解：辐角主值的范围是［0，2"），任何一个复数都有唯一的辐角主值，

二非0复数有一个辐角为一尊，则该复数有唯一的一个辐角主值

44

故选：B.

已知复数的辐角为挈，的辐角为则复数等于（

7.z-1z+1z)

o3

1x/3.B.」+包D.亭苧

AA.-+——i

2222

【答案】B

【分析】

设z=a+抗（a疝eR）,根据辐角的定义得到方程组，解得即可;

【详解】

解：^,z=a+bi(a,beR),

因为z-l=a-l+bi的辐角为?所以tan*£=q

因为Z+1S1+历的辐角%,所以若=靠=6

1

"516

解得r,所以z=一一+—1

,V322

b=——

2

故选：B

71..71TTIT\

8.已知复数zi=cos—+/sin—cos-+zsin-,则ziZ2的代数形式是()

1212oo)

冗..717T..7t

A.—4-zsin—B.——+zsin——

441212

C.币>—6iD.石+用

【答案】D

【分析】

利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.

【详解】

n..7T

—+ZS1cos—+zsin—

1266

=闲cos(3+刍+isin©■+刍］

12612o

=>/6(cos-4-/sin—)

44

故选:D.

【点睛】

本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.

9.设zi=l—2i,Z2=l+i,Z3=-l+3i则argzi+argZ2+argZ3=()

71

A.—B.,

2

171

C.符D.—

2

【答案】C

【分析】

根据复数辐角主值的范围，结合复数的性质，先求Z「Z2-Z3,从而求得其辐角主值，进而求得

结果.

【详解】

Vzi-Z2-Z3=(l—2/)(1+/)(—1+30

=(3-0(-1+30=106

argzi+argZ2+argZ3=y+247r,kRZ.

•；argzie(耳,2乃)，argz2G(0,argz.iE'

/.argz।+argzj+argz?e(2》,与).

argz।+argZ2+argZ3=彗.

【点睛】

该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有多个复数辐角主值和的求解，属于简单题

目.

10.在复平面内，复数z=a+Z?i(aeR,6eR)对应向量oz(。为坐标原点)，设|oz|=r,以

射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为。，则z=r(cos，+isin。)，法国数学家棣莫弗发现

棣莫弗定理:%=a(cos，i+isinq),z2=^(cos(^+/sin^),则

4z?=依[cos(q+名)+isin(a+幻],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：

z"=[r(cos0+isin0)]"=r"(cosnd+isinnO'),则(-1+Gi)=()

A.1024-1045/3?B.-1024+1024>/3z

C.512-512eD.-512+512后

【答案】D

【分析】

将复数化为4=/;(cosa+isina)的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.

【详解】

解：根据复数乘方公式：zn=[r(cos0+isin0)],，=rn(cosnO+/sinnd),得

(-l+V3z),0=2,0

=1024fcos—+/sin—V1024f--+—Z|=-512+512^.

I33)I22J

故选：D.

H.已知复数z=a+Ai可以写成z=|z|(cos6+isin。)，这种形式称为复数的三角式，其中。叫

复数z的辐角，。目0,2万).若复数z=l+Gi,其共扼复数为三，则下列说法①复数z的虚

部为后；②|z「=|司2=z2;③Z与彳在复平面上对应点关于实轴对称；④复数Z的辐角为?；

其中正确的命题个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】

对于①，z=l+gi的实部为1,虚部为6；对于②，宜接计算判断即可；对于③，由点的

对称关系判断即可；对于④，由辐角的定义求解即可

【详解】

解：对于①，复数z=l+也，•的虚部为世，所以①错误；

对于②，因为z=l+后,所以5=1-/,所以|z「=|司2=2,

22=(1+后)2=1+2后+(后＞=-2+2后,所以,=|司2Hz2,所以②错误；

对于③，2=1+6,・和1=1-拘在复平面对应的点分别为(1,3),(1,-0)，两点关于实轴对

称，所以③正确；

对于④，z=l+Gi=2(1+且i)=2(cosg+ising),所以复数z的辐角为g,所以④正确,

22333

故选：B

12.任何一个复数2=。+为(其中。，beR,i为虚数单位)都可以表示成Z=r(cos6+isin，)

(其中rNO,0eR)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

[r(cos^+zsin0)J=r"(cosn0+/sinn61)(/jeZ),我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定

理可知，“〃为偶数”是“复数(cosg+isi吟)(〃eZ)为实数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

根据题意得到sin半=0,故〃=23ZeZ,即可判断.

【详解】

illcos—4-zsin—=cos——4-zsm——为实数，

{22)22

得sin—=0,

故二-=攵乃，keZ,

2

即〃=2左，keZ,

故”为偶数是"复数kos^+isin])

(〃eZ)为实数”的充要条件.

故选：C.

13.4(cos^+isin^-)4-2^cosy+zsiny^=()

A.1+收B.1-收C.-l+6iD.-1-后

【答案】C

【分析】

根据复数三角形式的除法法则，进行计算即可.

【详解】

什••x(九,,乃、

4(cos1+1sin4)+n2[cos1+1sin§J

=2cos(九一q)+isin]万一?

/24

=2cos-----Fzsin

I3

=-1+>/3i

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形式的除法法则，属基础题.

14.4(cos60°+isin60°)x3(cos150°+zsin150°)=()

A.6K+6iB.6A/3-6ZC.-6石+6iD.-6石-6i

【答案】D

【分析】

根据复数的乘法法则，进行整理化简即可.

【详解】

4(cos600+zsin600)x3(cosl500+zsinl500)

=12[cos(60°+150°)+1sin(60°+150°)]

=12(cos210°+/sin2100)

=-65/3-6/

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题.

15.1(cos30°+?sin30°)x2(cos60°+/sin60°)x3(cos45°+«sin45°)=()

.372,372.R3>/23>/2.「30,3&.n3&3夜.

22222222

【答案】C

【分析】

根据复数三角形式乘法的运算法则，进行计算即可.

【详解】

1(cos30°+/sin30°)x2(cos60°+isin60°)x3(cos45°+zsin45°)

=；x2x3[cos(30°+60°+45°)+zsin(30°+60°+45°)]

=3(cos1350+zsin1350)

=3产+乌]

I22J

3y/23&.

=--1--1.

22

故选：C.

【点睛】本题考查复数的乘法法则，属基础题.

题组B能力提升练

1.设复数4=2$m。+江。$4?<。<£)在复平面上对应向量04，将向量04绕原点。按

顺时针方向旋转;•后得到向量OZ2,OZ2对应复数Z2=r(cose+isine),则tane=()

2tan6+1门2tan。一1-1、1

A.------------B.------------C.------------D.------------

2tan0-12tan0+l2tan0+12tan0-1

【答案】A

【分析】

先把豆数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数Z2,利用复数相等的条件得到sin。和

cos。的值，求出tan。

【详解】

因为=>/4sin2^+cos20=Vl+3sin23,

2sin。icos®、

所以zyJl+Bsil?。广=+—,

vl+3sin20vl+3sin20)

2sin。.ocos0八

设cos'=Vl+3sin2(9'S，nJl+3sin*'《咤,

COS。

则tanP=

2sin6'

=Vl+3sin20cos(万一弓)+isin1/一

即r=Jl+3sin2。，cos=cos*

sin

5万

故tan夕=—tan+£j=tan[?+/?

[+cos。

_1+tan/?_2sin0_2tan0+l

1-tan]cos42tan^-l

2sin。

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难.解答时要注意将4、％?化为三角形式然

后再计算.

2.已知复数z满足|z|=l,贝lj|z—4—3i|的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】

设z=8s6+sin。"，根据复数模长运算和三角恒等变换的知识可得到

|z-4-3i|=也6-IOsin(6+e),由此确定最大值.

【详解】

由|z|=l可设:z=cos6+sin"i,z-4-3i=(cos。-4)+(sin6-3)i,

|z-4-3f|=J(cos4-4)2+($山6-3)-=Jcos24+sin。：一(6sind+8cos，)+25

="26-10sin(6+e)(其中tane=1),

.•.当sin('+0)=-1时，|z-4-3/|nm=J26+10=6.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数模长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为三角函数最值的求解问题.

3.已知i为虚数单位,若4={(cosa+isinq),z2=A;(cos6>,+isin(92),…，

z,=/(cos。+isin。),则z,…z“=44[cos(q+名+…+q)+isin(q+2+…+4).特别

地，如果Z|=Z2=i=z“=r(cos6+isin。),那么[r(cos6+isin。)]"=/'(cos〃e+isin〃。)，这

就是法国数学家棣莫佛(16677754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正

确的是()

A.^z=cos—+isin—,则/=-■-+—i

6622

B.若zucosq+isinq,则z=l+i

77r7乃5乃STT

C.若Z|=2(cos——+isin——),z2=3(cos--+isin—),则平2=-6+6]

D.若Z[=3(cos--isin-),z,=4(cos—+isin—)则平2=6+6i

121244

【答案】A

【分析】

A.z"=cos竺+ising乃—i,所以该选项正确；

6622

B.z5=cos"+isin)=一1,所以该选项错误;

C.z—=6(cos乃+isin;r)=-6,所以该选项错误;

D.z}z2=12(cosU万+isinU乃)=6G+6i.所以该选项错误.

66

【详解】

A.若z=cos^+isin工，则z“=cos"+isin34=一'+立i,所以该选项正确；

666622

TT冗

B.若2=85《+15E不，则/=COS7T+isin"=一1,所以该选项错误；

7乃5乃5乃

C.若Z[=2(cos——+isin——),z=3(cos—+isin—),则ZR?=6(cos)+isin乃)=-6,所以

121291212

该选项错误；

D.z.=3(cos-i-jsin,z=4(cos—+isin—),则

1212944

平2=12(cosU〃+isinU/r)=6G+6i.所以该选项错误.

66

故选：A

4.设复数Z|=2sine+icos<(<9<：|在复平面上对应向量，将向量04绕原点。按

顺时针方向旋转手后得到向量0Z?,0Z2对应复数Z2=r(cos/+isin9),则tane=()

2tan0+12tan0-1-1-1

A.------------B.------------C.------------D.------------

2tan0-12tan04-12tan8+12tan0-1

【答案】A

【分析】

先把复数Z|化为三角形式，再根据题中的条件求出复数Z2,利用复数相等的条件得到sin(P和

cos。的值，求出tang.

【详解】

因为|zj=，4sin2e+cos?0=Vl+3sin20,

\

b”n2sin。icos。

所以Z|=S+3