高考数学复习第16讲导数中的双变量与多变量问题（原卷版）

第16讲导数中的双变量与多变量问题

【典型例题】

例1.(2022秋•天心区校级期末)己知函数f(x)=xeT(xwR).

(I)求函数/(x)的单调区间与极值；

(II)若工尸七，且/(%)=，证明：Xj+%2>2.

例2.(2022•洛阳二模)已知函数/(x)=eR).

(1)若曲线y=/(x)与直线x-y-l-/〃2=0相切，求实数a的值;

(2)若函数y=/'(X)有两个零点为，x,,证明」一+」一>2.

InX]lnx2

例3.(2022秋•宜春期末)已知函数/(x)=/nr-ar,〃是常数且awA.

(1)若曲线y=/(x)在x=l处的切线经过点(-1,0),求。的值；

(2)若0<a<1(e是自然对数的底数)，试证明：①函数/(x)有两个零点，②函数/(x)的两个零点西，x2

e

满足x[+x2>2e.

例4.(2022•盐城三模)已知函数/(x)=/nr-ar,。为常数.

(1)若函数/(X)在x=l处的切线与x轴平行，求。的值；

(2)当a=l时，试比较八加)与/(')的大小；

m

(3)若函数.f(x)有两个零点玉、x2,试证明X[X2>e<

例5.(2022•浙江模拟)已知函数/(x)=(x+l)e'-a?(x>0).

(I)若函数/(x)在(0,转)上单调递增，求实数a的取值范围;

(II)若函数/(X)有两个不同的零点不，尤2,

(i)求实数a的取值范围；

(ii)求证：-+~--—>1.(其中，。为了*)的极小值点)

%X,%+1

例6.(2022春•德化县校级月考)已知函数/(x)=e“-2公-。(。〉。)有两个不同的零点用，x2,且王<马.

(I)求。的取值范围；

(II)求证：

例7.(2022春•工农区校级期中)已知函数/'(x)=/mc+a&-2x(aeR).

(I)当a=—2时，求函数/(x)的单调区间；

(II)若函数/(X)有两个不同零点X,尤2*1<工2)，

(i)求实数4的取值范围；

2

(ii)求证：占况>£.

x2

例8.(2022•台州一模)已知函数f(x)=L^

\+x

(1)若4=0,讨论/(X)的单调性.

(2)若/(x)有三个极值点不，x2,x3.

①求a的取值范围；

②求证：%1+%2+Xj>-2.

例9.(2022秋•赤峰期末)已知函数-奴+a/"(x-l),。为常数，当xe(l,3)时，f(x)有三个极

x-1

值点玉，x2,x3(其中芭〈士1cx3).

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：<x,+x3.

【同步练习】

选择题

1.(2022春•沙坪坝区校级期中)已知函数f(x)=/nr-ar有两个零点玉，x2(x.<x2),则下列说法错误的是

()

A.0<a<-B.+x<2e

e2

C.有极大值点x0,且不+工>2%D.>e2

二.多选题

2.(2022春•石首市期中)已知函数/(x)=/nx+l-ar有两个零点芭，x2(X)<^),则()

A.a的取值范围为(-00,1)B.+x2-xtx2>1

C.f+w>2D.—i>2

玉々

三.解答题

3.(2022•石家庄模拟)已知a为实常数，函数/(%)=加x-ar+1.

(I)讨论函数f(x)的单调性；

(II)若函数，(尤)有两个不同的零点玉，x2{x1<x2).

(i)求实数。的取值范围；

(ii)求证：-<^<1,且为+刍>2.(注：e为自然对数的底数)

e

4.(2022春•越秀区校级期中)己知函数/*)=/九丫-加+(2-〃)x.

(1)讨论了(幻的单调性；

(2)若函数y=/(x)的图像与x轴交于A,B两点、,线段A3中点的横坐标为方,证明：((鼻)<0.

5.(2022•温州模拟)设函数/(_¥)=/m+加一a+l,g(x)=2.

ex

(1)若g(F)=g(x2)=r(其中%。工2)

⑴求实数,的取值范围；

(ii)证明：2工142<X]+X2；

(2)是否存在实数4,使得/(x),,g(x)在区间(0,”)内恒成立，且关于工的方程/(x)=g(x)在(0,转)内有

唯一解？请说明理由.

ia

6.(2022秋•辽宁期中)已知函数/(xhf/nx-gorJ=x?.

(1)若函数y=/(x)在定义域上单调递减，求实数〃的取值范围;

(2)设函数/(x)有两个极值点不，x2,求证：/«(%1%2)>4.

7.已知函数/(x)=(x+a)(/nr+8),其中a,beR.

(I)若a=,，b=-3<证明：当0<%,1时，/(x)+乎、+0,,o：

2X2+4X+\

(II)若函数丫=八幻+门！)有三个极值点斗，匕，覆(西<七<七)，证明：|工3_工|1<.

x2/?+8

注：e=2.71828…是自然对数的底数.

8.(2022春•玉林期末)已知函数/(x)=a(gx2+x)+(x2+3x+3)eT(aeR).

(1)当a=-l时,求曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若函数f(x)有三个极值点%,x2,x3,且泡〈当〈用.证明：—+—+2x,>0.66666666666666

七马

yf

g(x)=xe~x

1X

9.(2022秋•永州月考)已知函数f(x)=(Inx)2+a(x+-).

X

(1)当。=1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有三个极值点占，x2,x,(x,<x2<x3).

(i)求实数a的取值范围；

(ii)证明：士々”3为定值.

10.(2022•中卫模拟)已知函数/(幻=履1-x.

(1)讨论了(幻的单调性：

(2)若函数g(x)=/nx-x+A2有三个极值点x,,x,,刍(当<x,<w),求g(xj+g(x,)+g(x3)的取值范围.

X

II.(2022•浙江开学)己知awR,f(x)=x-ee(其中e为自然对数的底数).

(I)求函数y=/(x)的单调区间；

(H)若a>0,函数y=f(x)-a有两个零点x,x2,求证：+x1>2e.

12.(2022秋•广东月考)已知aeR,f(x)=x-e-ax(其中e为自然对数的底数).

(1)讨论函数、=/(x)的单调性；

(2)若a>0,函数y=/.(x)-a有两个零点区,x2,求证：xt+x2>2\[e.

13.(2022•德阳模拟)设函数f(x)=-%2'+(x-l)e'(aeR).

(1)当1=工时,求g(x)=/'(x>ei的单调区间(尸(力是f(x)的导数);

e

(2)若/(x)有两个极值点%、％2(3<%2)，证明：+2X2>3.

14.(2022•德阳模拟)设函数+(x-1)/("R).

(1)当。=工时、求g(x)=/'(x)-ei的单调区间(广(幻是f(x)的导数)；

e

(2)若f(x)有两个极值点4、x2(x,<x2),且正实数2使1+2<凡+2々成立，求正实数人的取值范围.

15.(2022•新高考I)已知函数/(x)=x(l-/nr).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)设“，b为两个不相等的正数，^.blna-alnb=a-b,证明：2<』+」<e.

ab

16.(2022春•河北月考)已知函数/(x)=Mu.

(1)讨论/(x)的单调性；

o11

(2)设a,匕为两个不相等的正数，且a"=b",证明：+

eah

17.(2022•南通模拟)已知函数,f(x)=(2x-4a)/nx-3x+8a(a..0).

(1)若a=0,求函数f(x)在x=l处的切线方程；

(2)若f(x)有两个不同的零点为，x2.

①求a的取值范围；

②证明：当时，%,+/<5：+4".

18.(2022•汕头一模)已知函数/(x)=x-/nx-。有两个相异零点X],电(西<

(1)求a的取值范围；

(2)求证：々+々〈色里.

19.(2022•陕西模拟)已知函数f(x)=/nr.

(1)当g(x)=sin(l-x),求函数T(x)=f(x)+g(x)在(0,1)的单调性；

(2)/7*)=/(》)+」-一人有两个零点不，x2,且不<当，求证：Xj+X,>1.

20.（2022•浙江模拟）已知函数/（X）=X阮一#7+a（aeR）在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求4的取值范围；

（2）记两个极值点分别为％,%，且王<%,已知；1>0,若不等式%门恒成立，求力的取值范围.

21.（2022秋•未央区校级月考）已知1函数/。）=》如:-32—+“3€7?）,在其定义域内有两个不同的极值

点.

（1）求”的取值范围；

（2）记两个极值点为百，x2,且巧<多，当％」时，求证：不等式为琵〉*”恒成立.

22.（2022•浙江）设函数/（©=g+/冰（%>0）.

2x

（I）求〃幻的单调区间；

（II）已知a,beR,曲线y=f（x）上不同的三点（%,/（3）），。2，/（工2）），（X3，/（七））处的切线都经

过点（6。）.证明：

（i）若。>e，则0<匕一/（a）<-（—-1）；

2e

/、在八mil2112

（ii）右Ova<e,不〈々〈刍，贝（］—I--e---a<—I—<----e--az—.

e6eXjx3a6e

（注:e=2.71828…是自然对数的底数）

23.(2022秋•城关区校级月考)已知函数/(2x)=2x-4v+4,函数/(x)只有两个零点，设这两个零点为不，

天(X<.

(1)证明：xlG(-4,-3),x2G(2,3).

(2)证明：一7v2』一2应v—5.

24.(2022秋•登封市校级月考)已知函数/(x)=(x-2)e*+a(x-l)2有两个零点.

(1)求a的取值范围；

(2)已知g(x)图象与)，=/(x)图象关于x=l对称，证明：当x<l时，/(x)<g(x).

(3)设占，七是两个零点，证明：%,+x2<2.

25.(2022•辽阳二模)已知函数f(x)=(x-2)e*+a(：-1).

(1)讨论的极值点的个数；

X<X

(2)若f(X)有3个极值点X],X2,对(其中不<、2<刍)，证明：^32•

26.(2022秋•10月份月考)已知函数f(x)=x?+2x-a/〃x,其中aeR.

(1)对于任意r..l,恒有/⑵—1)..2/(0—3,求a的取值范围：

(2)设a>0,存在实数r使关于x的方程f(x)=f有两个实根式％(与<々)，求证：函数，。)在％=受警

处的切线斜率大于0.

27.(2022•张家口二模)已知函数f(x)=e'-竺竺-"(e是自然对数的底数)有两个零点.

X

(1)求实数。的取值范围；

(2)若f(x)的两个零点分别为占，々，证明：x/

28.(2022秋•湖北月考)已知/*)=》时-奴2.

(1)若f(