高考数学二轮复习讲义五第五讲提能-“函数不等式与导数”提能课

第五讲专题提能——“函数、不等式与导数”专题提能课

提能点（一）防止思维定式，实现“移花接木”

失误1因忽视二次项系数的讨论而失误

［例1］不等式元+取+1>0的解集为R,则实数4的取值范围是

a>0,

［解析］当a=0时，满足题意；当aWO时，必有彳解得0<四的取值范围是［0,4）.

/<0,

［答案］［0,4）

［点评］本题极易遗漏a=0的情况.在处理二次不等式问题时，要注意二次项系数为0

的情况.

失误2因忽视指数函数的有界性而失误

/—

©的值域为_________

【解桐y=x2—2x=（x—I）2—1^—1,且函数单调递减，所以值域为（0,2］.

［答案］（0,2］

［点评］没有注意到指数函数本身的范围，错将答案写成（-8,2J.复合函数求解时要

注意外层函数本身的有界性.

失误3因极值概念理解不准确而失误

［例3］已知./(x)=x3+ar2+i>x+q2在x=1处有极值为10,则a+0=.

［解析］由题意知，f(x)=3P+2ax+b,又函数4x)=x3+ax2+6x+“2在x=1处有极

［f［\)=d1-\-a+b+1=10,a=4,

值为10,所以解得，

\f'⑴=2a+〃+3=0,b=—11,

经验证，当“=4,匕=一11时，满足题意；当。=-3,6=3时，不满足题意，舍去.

所以a+b——7.

［答案］-7

［点评］函数极值点概念不清致误，忽视了条件的等价性，（1）=0"是“x=l为人x）

的极值点”的必要不充分条件.对于可导函数人此：xo是极值点的充要条件是在沏点两侧导

数异号，即/（X）在方程/（x）=0的根沏的左右的符号：“左正右负”今兀T）在X。处取极大

值；'‘左负右正”<力5）在X。处取极小值.对于给出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑/（X）

=0,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根.

失误4因方法的本质理解不到位而解题受阻

）x

［例4］已知x+y=l,x>0,y>0,则云+不力的最小值为

［解析］法一：因为x+y=l,所以y=l—x,

jY1Y

消元，得原式一+K，令危)在+K，

12(3x—2)(x+2)

则/(x)=

2X2(2-x)22x2(2-x)2

22

由/(x)>0,得§<无<1;由/(x)<0,得0<xq,

所以«r)在(j,1)上单调递增，在(0,|)上单调递减,

109

则隹+帚［x+&+，乂尹拼吗-

2-4

所以十1+Tv7的最小值为5*

y十14

［答案］I

［点评］本题学生可能会采用力”的代换，变形为3+4+自，换得不够彻底，无法继

续，说明学生没有掌握这类题的本质，只知道简单模仿.理解代换的本质，多角度考虑问题.

提能点(二)灵活运用策略，尝试“借石攻玉”

策略1常数代换法：求解最值问题

［例1］已知正数JC,y满足4y—§=1,则x+2y的最小值为.

［解析］由4y一曰=1,得x+2y=4xy,

即与+/=1，所以x+2y=(x+2y)侏+/

=1+六+~1+2=2.

4yx\］4yx

当且仅当方;=*即x=l,时等号成立.

所以x+2y的最小值为2.

［答案］2

［点评］(1)本题先将已知条件改写为“a+《=1”，然后利用乘法运算规律，任何式

子与1的乘积等于本身，将“1”进行代换，再将其展开，通过构造基本不等式的形式求最

值.

(2)常数代换法求解最值的关键在于常数的变形应用，利用这种方法求解最值应注意以

下三个方面：

①条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；

②已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的基础；

③利用基本不等式求解最值时要注意“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错

策略2构造法：解决与导数有关的不等式问题

［例2］已知定义在R上的可导函数正外的导函数为/(x),满足/(x)〈於)，且人》

+2)为偶函数，<4)=1,则不等式次x)<e'的解集为.

［解析］因为加+2)为偶函数，所以次x+2)的图象关于x=0对称，所以人x)的图象关于

x=2对称.

所以40)=犬4)=1.

设g(x)=^(xGR),

f(x)ex-/x)evf

则g(*)=西=£•

又，(x)VJ(x),所以g'(x)VO(xGR),

所以函数g(x)在定义域上单调递减.

因为犬x)Ver'*Vl,而g(O)=鬻=1,

所以J(x)<eXQg(x)<g(O),所以x>0.

［答案］(0,+°°)

［点评］(1)本例构造函数g(x)岑，然后利用导数研究函数的单调性，进而求解.

(2)解决与导数有关的不等式问题，多结合已知和所解不等式特征构造相应的函数.求

导的法则是构造函数的依据，需要熟记一些常用的结构，如：

(x)+/U)f［xf(x)］',

xf(X)—X%)—号;

®f(x)+Xx)-［e7(x)］/,

(x)—Ax)-［譬］等.

提能点(三)系统数学思想，实现“触类旁通”

1.数形结合思想——解决方程的根或函数零点问题

［例1］己知直线(1—m)4+(3加+1»-4=0所过定点恰好落在函数J(x)=

logd,0VxW3,

的图象上，若函数〃(%)=y(x)—mx+2有三个不同的零点，则实数机的取

|x—4|,x>3

值范围是________

x+y—4=0,

［解析］由(1—加)工+(3机+l)y—4=0,得x+y—4—〃z(x—3y)=0,/.由《

［x-3y=0,

可得直线过定点(3,1),log«3=1,.,.©(x)—松+2=0,得八x)=/nr—2,

在同一坐标系上作出yi=7(x)与y2="?x—2的图象，如图，易得^VmVl,即实数小的

取值范围是0,1)

［答案］&1)

［点评］(1)本题可利用数形结合思想，把函数〃(x)=/(x)—〃a+2有三个不同的零点转化

为函数y=/(x)与y=iwc—2的图象有三个不同的交点.

(2)利用数形结合探究方程解的问题应注意两点：

①讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点

问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.

②正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要

刻意去用数形结合.

2.数形结合思想——求解不等式或参数范围问题

［例2］设危),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当xVO时,/(x)g(x)+4x)g'(x)

>0,且g(—3)=0,则不等式1x)g(x)V0的解集是.

［解析］设F(x)=./(x)g(x),由./(X),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(—x)

=人一x>g(—x)=—/(x)g(x)=—F(x),即F(x)在R上为奇函数•

又当xVO时，F'(x)=/(x)g(x)+Ax)g'(x)>0,

所以当xVO时，F(x)为增函数.

因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x>0时，F(x)也是增函数.因为「(一3)

=火-3)g(-3)=0=-F(3).所以，由图可知尸(x)<0的解集是(-8,-3)U(0,3).

［答案］(-8,-3)U(0,3)

［点评］(1)本题可利用数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合g(—3)=0以

及函数的奇偶性，利用图象求x的取值范围.

(2)求参数范围或解不等式问题经常结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适

当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，

往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.

3.分类讨论思想——解决含有参数的问题

［例3］己知函数人》)=/—or,g(x)=〃ix+”lnx,曲线)=兀0在点(1,贝1))处的切线的

斜率为1,曲线y=g(x)在x=2处取得极小值2-21n2.

(1)求函数7(x),g(x)的解析式；

(2)若不等式y(x)+g(x)》x2-6X-1)对任意的xC(0,］］恒成立，求实数k的取值范围.

［解］(1)因为/(x)=2x-a,/(1)=2-。=1,

所以a=l,fix)=x2—x.

因为g'(犬)=机+5

团+2=0,

所以,

.2m+/?ln2=2-21n2,

加=1,

故彳所以g(x)=x—21nx.

[n=—2,

(2)fix)+g(x)—21nx,

令h(x)=y(x)+g(x)—x2+k{x—1)=k{x—1)—21nx,x£(0,l],

2kx—2

所以/(x)=A—1=

x

①当AWO时，hf(X)<0,在(0』］上单调递减，所以/?a)min=/l(l)=0.

AD

②当0<ilW2时，h'(X)=---WO,//(X)在(0,l［上单调递减，所以/7(X)min=/z(D=0.

③当k>2时，h'(x)<0在(0,D上恒成立，h'(x)>0在(J］上恒成立，所以"。)

在(0,力上单调递减，在侪1上单调递增，又/?(x)min=/{1)</；(1)=0,故6(x)20在(0,1］

上不恒成立.

综上所述，实数k的取值范围为(-8,2］.

［点评］(1)本题第(2)问在研究函数的最值时，对参数上进行了分类讨论.

(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论,

此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑

适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏.

4.转化与化归思想——解决恒成立问题

［例4］对于满足00W4的所有实数p,使不等式好+px>4x+p—3成立的x的取值范

围是.

［解析］设7(p)=(x—l)p+/—4x+3,

则当x=l时，fipxWl.

网)>0,

加)在上恒为正，等价于

汉4)>0,

［x2—4x+3>0,

即彳解得x>3或x<—1.

〔4(x-1)+炉一4x+3>0,

［答案］(-8,-1)U(3,+8)

［点评］(1)本题若按常规法视x为主元来解，需要分类讨论，这样会很繁琐，若以p为

主元，即将原问题化归为在区间［0,4］上，使一次函数y(p)=(x—1)0+/—4x+3>0成立的参

数x的取值范围，再借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决.

(2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主

元”，实现主与次的转化，即常量与变量的转化，从而达到减元的目的.

提能点(四)强化一题多法，激活“解题思维”

含参函数问题的处理方法

［典例］设函数/)=三一代Hnx)(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数).

(1)当时，求函数应r)的单调区间；

(2)若函数兀v)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围.

［解］(1)由函数段)=8一始+11133>0),可得/(x)=(」2),陶.

当ZW0时，因为x>0,所以e'一履>0.于是当0a<2时，/(x)<0;当x>2时，/(xf(x)

在(0,2)上为减函数，在(2,+8)上为增函数.

(2)法一：由(1)知上<0时，函数次x)在(0,2)上单调递减，故人x)在(0,2)上没有极值点.

当火>0时，设函数8(》)=廿一fcv,x£(0,+°°),则g'(JC)=eA—A：=ev—elnk.

当OckWl时,若xG(0,2),则g'(x)=ev-fc>0,则g(x)单调递增,故火x)在(0,2)上不存

在两个极值点；

当Q1时，若xW(0,Ina则g'(x)=e'-N0,则g(x)单调递减；若xE(lnZ,+~),

则g'(x)=e'-k>0,则g(x)单调递增.所以函数g(x)的最小值为g(ln%)=项一In机於)在(0,2)

>(0)>0,

g(ln攵)<0,2

上存在两个极值点，当且仅当《解得e<Z<e7.

g⑵>0,2

.0<lnk<2,

综上所述，函数y(x)在(0,2)上存在两个极值点时，々的取值范围为(e,白).

法二：ev-fcc=0<z>ev=h;,

当心>0时，fc>0,取对数得■x=lnhHnx.

令/2(x)=x—Inx-In%,x£(0,+°°),

x

则〃(冷=]一上i=———1.

XX

当xG(0,D时,h'(x)<0,〃(x)单调递减；

当xG(l,+8”寸，h'(x)>0,/z(x)单调递增.

又因为当x-0时，/?(%)-+°°.

所以函数本)在(0,2)内存在两个极值点，

f/?(l)<0,[1-lnRO,

当且仅当即

曲2)>0,l2-ln2-lnfc>0,

解得e<k<^.

即k的取值范围是(e,

法二：r。)=-――从一乒+。

(e，一履)•(无一2)

=%3

当/(x)=0时，若xG(0,2),则e*=丘，则仁".

令g(x)=£,则g'(x)=e<：2

由g'(x)>0得x>l;由g'(x)<0得x<\.

所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增.

所以g(x)极小值=g(l)=e,又g(2)=，，故Z的取值范围为(e,

法四：由(1)知，当ZW0时，>U)在(0,2)上单调递减，不存在极值点，所以fc>0.

又/(幻=(*—2)(：一公),所以函数4v)在(0,2)上存在两个极值点相当于/7(x)=e、-fcv在

(0,2)上有两个变号零点(即零点左右函数值正负不同).

问题转化成函数y=k与g(x)=：(l(0,2)上有两个不同交点.

e,Yx—1)

因为g'a)=[2,x£(o,2),

2

易求得g(x)在(0』)上单调递减，在(1,2)上单调递增，且g(l)=e,g(2)=，.

于是，结合函数图象，可得函数y=A与g(x)=?•在(0,2)上有两个不同交点的条件是ke

,即函数_/(x)在(0,2)上存在两个极值点时，k的取值范围为

法五：要使函数£x)在区间(0,2)上存在两个极值点，

只需方程/(x)=0在区间(0,2)±有两个不同的实根,

(x—2)(e*—fcv)

即在区间(0,2)内有两个不同的实根.

当x£(0,2)时，由eA=fci得k=*.

e"ex(x—1)

设g(x)=7x£(0,2),则g'(x)=—乒一

当x£(0,l)时，g’(x)<0:当x£(l,2)时，g'(x)>0.

于是函数g(x)在区间(0,1)上为减函数，在区间(1,2)上为增函数,

而当％-0时，g(x)—+00;g(l)=e,

图①

e2

g(2)=》

结合函数g(x)的图象(如图①)可知：当&e(e,半时，e，=丘在区间(0,2)上有两个不同

的实根，即函数40在区间(0,2)上存在两个极值点.

法六：函数1x)在(0,2)上存在两个极值点，则/(x)=0在(0,2)上有解.

,(x-2)(e'-kx)„

fW-....学-----=0,即e'=kx.

当ZW0时，显然修=依不成立.

Y1

当k>0时，研究云=/在(0,2)上有解.

cK

设g(x)=G，g'(x)=

当xG(O,l)时，g'(x)>0;当XG(1,2)时，g'(x)<0.

故函数g(x)在区间(0,1)上是增函数，在区间(1,2)上是喊函数,

12

g(X)max=g(l)=1,g(2)=/,g(0)=0.

如图②所示，函数次x)在(0,2)上存在两个极值点，则〈土

所以k的取值范围是

［点评］对于含参函数的处理，常用的方法有直接处理、参变分离、数形结合等方法，

如何合理地转化(简化)问题也是思考的重要方面，问题的不同表征方式会带来不同的思考途

径和解题效果.

［课时达标训练1

A组——易错清零练

1-函数凡》=而上不的定义域为.

4x-3>0,

解析:由题意得，

4x-3/l,

3

解得且

故函数的定义域是卜>(且xW1］.

答案：>a月11

2.y='一三的值域是________

JX—1

解析：令/=x—1,得x=/+l,

1+/+11

则产—;—=/+]+1,

当/>0时，y=t+-+\^2

当且仅当f=l,即x=2时取等号.

同理：当f<0时，y=/+：+l=—(

+1=-1,

当且仅当，=-1,即x=0时取等号.

所以该函数的值域是(一0°,—1]U[3,+00).

答案：(-8,-1]U[3,+8)

3.若函数y(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(A-1,左+1)上不是单调函数，则

实数k的取值范围是.

解析：由题意，知函数的定义域为(0,+°°),f(x)=4x—由(x)=0,解得x=g.

所以函数«r)在(0,1上单调递减，在+8)上单调递增.

[owz—

解得1£舄

答案：L

4.设段)是定义在R上的奇函数，且满足x>0时，Ax)+xf(x)>0,J(2)=0,则不等式

Ax)>0的解集为.

解析：令「(》)=研彳)，则/(x)=«r)+M(x).

vx>o时，yu)+城w>o,

；.F(x)在(0,+8)上单调递增.

是定义在R上的奇函数，

...F(x)=M(x)是定义在R上的偶函数.

•••负2)=0,.•.尸(-2)=9(2)="2)=0.

x>0,x<0,

：.J(x)>0等价于，女

F(X)>F(2)lF(x)<F(-2),

解得x>2或一2<x<0.

答案：(-2,0)U(2,+8)

B组——方法技巧练

1.已知函数_/(x)=xlr+l|,则(x—的解集是

解析：原不等式可化为卜+苧<1,

x+%0,

所以,①

(T)Q+溺

②

333

解不等式组①得一：Wx<京解不等式组②得x<一『综上所述，不等式的解集为

II)

答案：(-8,{J

2.已知加，〃£(2,e),且上一*<ln蓝，则加，〃的大小关系为.

解析：由不等式可得点一*<ln机一In〃，

即/+ln〃〈++ln”

121—2

设7U)=m+lnx(x£(2,e)),则，W=-^+-=—^―.

因为R£(2,e),所以/(x)>0,故函数人犬)在(2,e)上单调递增.

因为«孔)<j(m),所以〃V八

答案：n<m

普川3

3.已知函数yu)=<2''则函数尸(幻=/[”)]—身㈤一]的零点个数是

J10g2(X—1)1，X>1,

3

解析：令处0=/,则函数F(x)可化为丁=人。一2/—5,则函数F(x)的零点问题可转化为方

333

程人力―2/—3=。的根的问题.令y=«。一2L5=0,即危)=21+版如图①，由数形结合得

力=0/</2<2;如图②，再由数形结合得，当次幻=0时，x=2,有1个解，当大幻=及时，有

3个解，所以>=/伏刈一4》)一技共有4个零点.

4.已知函数;(x)=xlnx,若对于所有x2l都有段)》℃一1,求实数”的取值范围.

解：法一：分离参数法

依题意，得在[1,+8)上恒成立，即不等式aWlnx+[在x£[l,+8)恒

成立，亦即a《lnx+£|mm，%e[L+°°).

111%—]

设g(x)=lnx+Kx>l),则g'

令g，(x)=0,得x=l.

当x2l时，因为g'(x)20,

故g(x)在[1,+8)上是增函数.

所以g(x)在[1,+8)上的最小值是g(i)=i.

故。的取值范围是(-8,1J.

法二：构造函数法

当x=l时，有人1)》。一1,即a—1W0,得aWl.

构造F(x)=j{x)—[ax—1)=xlnx~ax+1,

原命题等价于尸(X)20在上恒成立OF(X)min20,xS[l,+°°).

由于尸'(x)=lnx+l—“20在xe[l,+8)上恒成立，因此，函数F(x)在[1,+8)上单

调递增，所以F(x)min=F(l)=l—a20,得aWa的取值范围是(-8,1].

5.设函数段)=万一alnx.

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1，/U))处的切线方程；

(2)求函数々V)的单调区间和极值；

(3)若函数火力在区间(1,eT内恰有两个零点，试求”的取值范围.

1

解：(1)当。=1时，y(x)=y—Inx,则/'(x)=x—：

所以/(1)=0,又.1)=今

所以曲线y=yq)在点(1,<1))处的切线方程为y—；=0义。-1),即y=g.

0,(2—a

(2)由«0=5一4111羽得f(x)=x--=-y-(x>0).

①当aWO时，/(x)>0,函数式x)在(0,+8)上单调递增，函数既无极大值，也无极小

值；

②当。>0时，由/'(x)=0,得》=也或彳=一/(舍去).

于是，当x变化时，/'(x)与/U)的变化情况如下表：

X(0,W)(6,+0°)

fW一0+

.(1Tn〃)

危)

2

所以函数式m的单调递减区间是(o,3)，单调递增区间是(代，+8).

函数於)在1=出处取得极小值,八「)=蛆行工^,无极大值.

综上可知，当“W0时，函数/(X)的单调递增区间为(0,+8),函数无0既无极大值也无

极小值；

当〃>0时，函数次x)的单调递减区间为(0,W),单调递增区间为(W，+8),函数於)

有极小值无极大值.

(3)当“W0时，由⑵知函数/U)在区间(0,+8)上单调递增，故函数/(X)在区间(1,e2]

内至多有一个零点，不合题意.

当。>0时，由(2)知，当x£(0,g)时，函数ZU)单调递减；当工£(6,+8)时，函数

兀0单调递增，函数1x)在(0,+8)上的最小值为。g)="0；ln")

若函数於)在区间(1,e?]内恰有两个零点，则需满足即

川)>0，

并2)20,

rl<a<e4,

4

a(l；n@<o,p<a<e,

<1整理得<

5>0,e，

2[nW了，

e4

不一2心0,

e,

所以

(4l

故所求〃的取值范围为(e,ae.

C组——创新应用练

1.常数a,6和正变量x,y满足"=16,@+丝=1.若x+2y的最小值为64,则“』

解析：由£+—=3及x>0,y>0,

JLa>0,b>0,

则1+2>=。+2>）（§+半）=24+8匕+4（牛+个）

^2a+Sh+4-2y[ahf

当且仅当时取等号,

即x+2y的最小值为2a+Sb+32f

由条件得2“+汕+32=64,即Q+4〃=16.

又4。=16,

所以。=8,b=2,故泊=82=64.

答案：64

2.定义运算ab=r则关于非零实数x的不等式Q+£)428(x口的解集

为.

..41

解析：当xW—1时，因为1+(<0,

4

故原不等式可化为在(一8,—1]上恒成立;

41

当一l<x<0时，因为x+-<0,x>",

故原不等式可化为42*8在(一10)上恒成立;

当OvxWl时，因为x+*>4,x<：

故原不等式可化为42阮解得0令母；

41

当x>l时，因为x>-f

Q

故原不等式可化为42*解得x22.

综上所述，原不等式的解集为(-8,O)u(o,；U[2,+°°).

答案：(一8,0)U(0,gU[2,+8)

3.已知函数y=/(x)aeR).对于函数y=g(x)(xG/),定义g(x)关于«r)的“对称函数”

为函数y=6(x)(xGZ),y=/?(x)满足：对任意xe/,两个点(x,刀(x)),(x,g(x))关于点(x,7(x))

对称.若/i(x)是g(x)=5二)关于八x)=3x+6的“对称函数”，且/?(x)>g(x)恒成立，则实

数b的取值范围是.

解析：由于g(x)=y4—f的图象是圆x2+y2=4在x轴上方的半圆(包括与x轴的交点)，

设这个半圆的一条切线方程为y=3x+ht,则有不=2,解得"=24而，要使得

\32+(-I)2

〃(x)>g(x)恒成立，则需b>bi=2-\/10.

故实数6的取值范围为(2迎，+8).

答案：(2而，+8)

4.定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为"=b—a.用冈表示不超过x的

最大整数，记{x}=x-凶，其中xdR.设y(x)=[x].{x},g(x)=x—1,若用d表示不等式y(x)

Vg(x)解集区间的长度，则当0WxW3时，d=.

解析：fix)=M-{x}=[x].(x-[x])=[x]x-[x]2,

由火x)<g(x)得冈X—[x]2<x—1,

即(冈一

当xG[O,l)时，冈=0,

不等式的解为x>I,不合题意；

当XG[L2)时，冈=1,不等式为0<0,无解，不合题意；

当XG[2,3]时，冈>1,

所以不等式(冈一1)X<[X]2—1等价于x<冈+1,此时恒成立，

所以不等式的解为2WxW3,

所以当0WxW3时，不等式./U)<g(x)解集区间的长度为d=\.

答案：1

5.已知;(x)是定义在集合M上的函数.若区间且对任意回££>,均有;(xo)eQ,

则称函数次x)在区间。上封闭.

⑴判断./W=xT在区间[—2,1]上是否封闭，并说明理由；

(2)若函数&。)=岩:在区间[3,10]上封闭，求实数a的取值范围；

(3)若函数/7(x)=V—3x在区间[Q,b](a,6WZ,且aW6)上封闭，求a,b的值.

解：⑴因为函数於)=》一1在区间上单调递增，所以当xC[-2,l]时，yw的值域

为[-3,0].

而[-3,0]<I[-2,1],所以函数_/U)在区间[-2,1]上不是封闭的.

4—3

(2)因为g(x)=

x+1'

①当a=3时，函数g(x)=3,显然{3}=[3,10],故a=3满足题意;

30+a9+a

②当a>3时，在区间[3,10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的值域为

1114

30+a、

1113,

33+a9+a

由£[3,10]得

II'49+j

丁W10,

解得3WaW31,故3VaW31;

③当a<3时，在区间[3,10]上，有g(x)=3+m；V3,不合题意.

综上所述，实数a的取值范围是[3,31].

(3)因为h(x)=x3—3x,

所以/i'(功=3/-3=3。+1)(彳一1).

因为当xV-l或心>1时，h'(x)>0;当犬=-1或x=l时，h'(x)=0;当一1<X<1

时，h'(x)<0,

所以函数〃(X)在区间(-8,—1)上单调递增，在区间上单调递减，在区间(1,十

8)上单调递增.

从而〃(x)在x=-1处取得极大值2,在x=1处取得极小值一2.

h(a)=a3—3a^a,

由题意知，

HM^TbWb,

\a(a+2)(«—2)^0,1―2WaW0或a22,

即解得《

[/?(/?+2)(/?—2)^0,2或0W8W2.

因为a<b,所以一2WaW0,0W6W2.

又a,bWZ,故a只可能取一2,—1,0,6