高考数学二轮复习：限时集训19

小题满分练(十)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合“={*及2—2x—3W0},N={xllgxWl},则“nN=()

A.[-1,3]B.[0,3]

C.[-1,31D.(0,31

DM={xl-,N={xl0<r^l0},

，MnN=(0,3].故选D.]

2.在复平面内，复数z=i对应的点为Z,将向量a绕原点O按逆时针方向

旋转、所得向量对应的复数是()

1

--B

A.2+-

CD

A[•..复数N=i对应的向量按逆时针方向旋转Q

••・旋转后的向量对应的复数为(cos看+is%)=if

A.]

3.函数/(x)=e'\e.'的图象大致为()

CD

1/12

e%+e-xe-x+ex

C[根据题意，函数/(X)=—，其定义域为｛xlxWO｝,有/(-x)=—

X-X

=-/«,则/(X)为奇函数，排除AB,又由.L+8时，/(x)f+8,排除D,

故选C.]

4.牛顿冷却定律描述一个物体在常温下的温度变化：如果物体的初始温度

为％则经过一定时间，后的温度T将满足了―丁,=其中是环

境温度，力称为半衰期.现有一杯85°C的热茶，放置在25°C的房间中，如果热

茶降温到55℃,需要10分钟，则欲降温到45℃,大约需要多少分钟？(1g

2p0.3010,1g3^0.4771)()

A.12B.14C.16D.18

C[由题意可知55-25=|j尸(85-25),

解彳导"=10,，45-25=T10(85-25),

±1

蛹

导=

3一

1001g

即大约需要16分钟.故选C.]

5.已知数列｛a“｝的通项公式为3=请”一,则其前〃项和为()

B.L斤

C2~~2—(〃+])!

所以其前〃项和为1-J_+_L-J_+_L-_L+-+J_--\一=i

2!2!3!3!4!n!(〃+1)!

―i-,古烟A]

(〃+1)!

2/12

6.已知椭圆C：*+尚=l(a>〃>0)的焦距为2c(c>0),右焦点为了,过C

上一点P作直线x=方的垂线，垂足为Q.若四边形。P0■为菱形，则C的离

心率为()

A2B范

A.33

C.4—D.—1

D[椭圆C：Q:=1(。>6>0)的焦距为2c(c>0),右焦点为了，过。上

一点P作直线X=j、的垂线，垂足为Q.若四边形OPQf为菱形，可得P的横

坐标短,\0P\=IOFI=c,可得P的纵坐标为：当c,可得言+篇=1，即左2+

解得62=4-2U，所以e=0-1.故选D.]

7.韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的

关系，如：设一元三次方程ax3+Z?%2+cx+d=0(a#0)的3个实数根为X],x),x3,

则/+/+鼻=_，，x|x2+x2%3+x3x|=^,玉々%3=—已知函数/(X)=2X3—X+

1,直线/与/(X)的图象相切于点P(X],/(X])),且交/(X)的图象于另一点。/

⑵)，贝女)

A.2%]—々=°B.2%]—々—1=0

C.2x}+x2+l=0D.2/+马=0

3/12

D[T(x)=6x2-1,=/'(xp=6叫-],

过点。(4,/(X2)),

犬犬2)-_阴-与+/-尤2

k=­=------------=2(X9+X/2+耳)_1.

X-x

Q]尤2f

2(蜀++岑)-1=6叫-1,

化简得专+X]X2-2号=0,

BP(X2+2X1)(X2-X,)=0,

，­"•X2+2X1=0,故选D.]

_____2

9

8.已知函数f(x)=log3(x+yjx2-\~1)—2x+l若于Qa—1)+/(〃2—2)W—2,

则实数。的取值范围是()

A.[-3,1]B.[-2,1]

C.(0,1]D.[0,1]

/2

A[由题可知，/(-X)=10g3(-x+\/x2+1)~~—,

Y3-X十1

,2/2

lo:

(x)+/(-%)=log3(x+yjx2+1)-j-+g3(-x+42+1)--~—

log,(_x2+X2+1)-2-=-2,

电3.r+13A+1

•VW+1=-，(-x)+i],

令g(x)=/(x)+1,则g(x)=-g(-x),即g(x)为奇函数,

•..函数y=X+声H与y=3、在R上均单调递增，

.../(X)在R上单调递增，即g(x)在R上也单调递增，

不等式/(2。-1)+/(俏-2)W-2,

等价于/(2〃-1)+1^-1/(a2-2)+1],

/.g(2a-1)W-g(a2-2)=g(2-a2),

4/12

•••g（x）在R上单调递增，

/.2a-1W2-a2，解得-3，W1,

..•实数。的取值范围是「3,1］.故选A.］

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分.

9.已知X〜叫］,.）,y〜N%,%）,修>〃2,%>0,则下列结论中

一定成立的有（）

A.若%>%,则P（IX—4］忘〃2忘1）

B.若q>%,则一（I%一尸（iy—〃2忘1）

c.若％=%,则p（x>〃2）+P（y>〃p=i

D.若叫二叫，则P（X>〃2）+尸（丫>〃|）<1

AC［当%>叫时，丫分布更加集中，故在相同范围内，Y的相对累积概率越

大,•••P（ix-〃jwi）<p（iy-〃产1），即A正确；

当％=%时，正态曲线形状只与。相关，〃只影响正态曲线的位置,根据对

称性可知，P（x<〃2）=p（y>〃］）,

:.p（x>ju2）+p（y>//,）=i,即c正确，

故选AC.］

5/12

10.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的

电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，/(X)

=£"芸"的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则()

1=1

A.函数/(x)为周期函数，且最小正周期为兀

B.函数/(x)的图象关于点(2兀，0)对称

C.函数/(x)的图象关于直线x=?对称

D.函数/(x)的导函数r(x)的最大值为4

___________^sin[(2z-l)x]_.工sin3x工sin5x工sin7x

BCD[f(x)=L---------------=sinx+——+,

2i-1357

r=1

对于A"(x+Msin(兀+x)+变产+变产+学辿

=-(sinx+竽+竽+半)=_/(x),所以函数的最小正周期不是兀，

故A错误.

对于B：当x=2兀时，/(2兀)=0,故B正确；对于

C"(『x)=sinx+华+早+半打㈤，故C正确；对于D"，⑴

J、35/

=cosx+cos3x+cos5x+cos7x；

由于-1Wcosx,cos3x,cos5x,cos7x<1,

所以/'(x)=cosx+cos3x+cos5x+cos7xW4,

故最大值为4.故选BCD.]

11.设O为坐标原点，F1,七是双曲线*£=1(。>0,岳0)的左、右焦点.在

双曲线的右支上存在点P满足/42/2=60°，且线段PF1的中点8在y轴上，则

()

A.双曲线的离心率为艰

6/12

B.双曲线的方程可以是

C.\OP\=ypa

D.的面积为/G

AC［如图，F,（-c,0）,尸2（c，0），

■:B为线段PF1的中点，。为F1F2的中点,：.OB〃PF］,

，ZPF2F,=90°,由双曲线定义可得，I尸"I-IP&I=2a,

设”1=2皿心0）,则I尸产J=m,产用=木加,

m

/.2m-m=2at即a二,，

又，3机=2c,/.c=,则e二:=\乃，故A正确；

b2=C2-a2=$2，则b=孝加，双曲线的渐近线方程为V=±0,

选项B的渐近线方程为v=吟X,故B错误；

对于C,：。为勺工的中点，二而1+府2=2为，

则（/下+户户）2=4曲2,

127

即向'J2+1%|2+21所］II诟21cos60°=41访|2，

即I而J2+IPF2|2+1^11^1=41^012,①

而炉勺-\PF2\=2a,两边平方并整理得，

IPFJ2+\PF^2-2IPFiHPf2|=4a2,②

联立①②可得，炉勺IP£|=8抽，4IPb|2=28a2,

7/12

即IPOI=9。，故C正确；

5A=1炉居怔产,由1160°=4*8。2义岑=4/3。2,故D错误•故选AC.]

△Pg21222V

12.如图，在边长为4的正三角形ABC中，D,E,R分别为各边的中点，

G,H分别为DE,AF的中点，将△ABC沿OE,EF,折成正四面体2-。后凡

则在此正四面体中，下列说法正确的是（）

2

A.PG与。H所成的角的正弦值为§

TT

B.0尸与PE所成的角为,

7T

C.GH与尸。所成的角为4

D.PG与EF所成角余弦值为平

BCD[对于A,^ABC的边长为4,折成正四面体P-DEF后，如图，

VZ）,E,尸分别为各边的中点，G,”分别为DE,AE的中点，

:.DHLFP,DELGP,

连接FG,取GF中点M,

则HM//GP,

••・异面直线PG与DH所成角为ZDHM,

•:GP=/，:.HM=^，连接MD，彳导DM=平，

2

DH=yp,cosZDHM

吟3，

8/12

：・PG与DH所成的角的正弦值为，故A错误；对于B

正四面体P-DEF中，取DF中点N，连接PN,EN，则PNLDF,EN±DF,：.DF1

平面PEN,

J.DFLPE,二。尸与PE所成角为g，故B正确；

对于C,连接GN,HN,则NH//DP,

...异面直线GH与PD所成的角为NG4V,

cosZGHN=2+11=当，：.NGHN=*

：.GH与PD所成的角为£，故C正确；对于D,异面直线PG与EF所成角

为/PGN,

PG2+GN2-PN3+1-3、月田—%…

2彳反有二%，故D正确•故选BCD。］

z人ru人UN2Xyl3X1。

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.命题p：VxCN,lx+2123的否定为.

IX+2I<3［因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“V

xWN,Lr+2123”的否定为：3x£N,Lt+2I<3.］

14.若向量。，分满足b—。1=#，则a必的最小值为.

a

—4［因为la-bl二木,所以la-8I2=3,即(a-b)2=3.

9/12

所以。2+岳=2ab+3,所以(a+b)2=4ab+3,

3

'：(a+b)2^0,：.4ab+3^0,：.ab^-1

3

'-a'b的最小值为-不］

15.对于函数/(x)=lnx+nu2+〃x+l,有下列4个论断:

甲：函数/(x)有两个减区间；

乙：函数“X)的图象过点(1,-1);

丙：函数/(X)在X=1处取极大值；

T：函数/(X)单调.

若其中有且只有两个论断正确，则m的取值为.

2［函数/㈤的定义域是(0,+8),

I0>27X2++1

由题意得：/'(X)=-+2mx+n=-----------,

xx

令g(x)=2mX2+nx+1,显然g(x)过定点(0,1),

当x>0时，函数/(x)最多1个减区间,故甲错误，若乙正确；

则/(D=m+〃+1=-1/