多目标规划求解方法介绍

§3.3多目标规划求解方法介绍一、约束法1.基本思想：在多个目标函数中选择一个主要目标作为目标函数，其它目标处理为适当的约束。无妨设为主要目标，对其它各目标可预先给定一个期望值，不妨记为，则有求解下列问题：

容易证明，约束法求问题(P)的最优解，其Kuhn-Tucker条件与(VP)有效解的K-T条件一致。因此，约束法求得的解是有效解。(P)问题中各目标函数期望值的取得有多种方法，一种方法是取一点，而取得到下列问题：2.算法一般步骤：考虑上述(VP)问题，为主目标。第一步：（1）对，求解单目标问题：

得解；（2）计算对应的各目标函数值，并对每个函数，求其p个点值中的最大值Mj和最小值mj。得到下表：Mj与mj规定了在有效解集中的取值范围。x(1)x(p)f1(x)f2(x)…fp(x)m1m2…mpf1(x(1))f2(x(1))…fp(x(1))f1(x(p))f2(x(p))…fp(x(p))M1M2…MpMjmj………第二步：选择整数r>1，确定的r个不同阀值：第三步：对，分别求解问题：各目标函数可对应不同的（共有个约束问题）。求解后可得到(VP)的一有效解集合，是(VP)有效解集合的一个子集。例6：用约束法求解。设为主目标。第一步：分别求解

得得f1f2x(1)x(2)Mjmj-3063-1536-30-15选定r=4:求解于是可得四组解，如图15所示。j=2只有一个tf02t0123-15-8-16二、分层序列法：基本步骤：把(VP)中的p个目标按其重要程度排一次序。依次求单目标规划的最优解。2.过程：无妨设其次序为先求解得最优值，记再解得最优值，依次进行，直到得最优值则是在分层序列意义下的最优解集合。3.性质：，即在分层序列意义下的最优解是有效解。证明：反证。设，但，则必存在使即至少有一个j0，使,由于，即，矛盾。得证。4.进一步讨论：上述方法过程中，当某个问题(Pj)的解唯一时，则问题的求解无意义，因为解都是唯一的。实际求解时，有较宽容意义下的分层序列法：取为预先给定的宽容值，整个解法同原方法类似，只是取各约束集合时，分别取为：三、痕功效鼠系数织法：设目递标为忘：其中蛮：掘要锄求mi卖n；要求ma缎x。由于驰量纲晋问题锦，处锈理目牺标之孩间的课关系企时往灭往带穗来困置难。1.功效顿系数慕法：针对魔各目担标函馅数跨，用隆功效技系数均表性示（权俗称侵“打限分”阔）：满足韵：尼或使最靠满意折时保，狮最不芒满意靠时（袍即最狠差时迅）机。2.常用璃的两百种产玻生功掘效系毛数的醋方法接：（1）线拒性型衡：设由于勒时求胆，斤令故取又她时役求遍，令故取（2）指鹿数型顾：先讨雕论求横最大圆的函身数，璃。考虑毫：显然迈，脸有如敌下性菊质：10.当四充分雁大时欢，夺；20.是乔的严欧格递担增函苦数。（△）为了丝式便于路确定b0、b1，选取揪两个怎估计佩值秩：取或为甘合格半值（宣勉强贯合格嘉，即甲可接伟受）膛；为不柏合格弊值（煮不合检格，曲即不坑可接旺受）活。令并取臭得解得批：代入润式(△肠)，得职到功祖效系貌数：同理烟可得叙当牙时辣的功催效系壶数：3.利用晋功效年系数粪求解工问题(V烘P)：设(V壤P)的功叮效系趁数为令构造职问题璃：可以朱证明陵：上述辽问题(P傻)的最粘优解衫，即陶原问哭题(V笨P)的有拔效解棚。四、拾评价义函数冻法：1.理想机点法沃：设冠，屯即各雀单目鬼标问驳题的费最优的值。令评阶价函董数肉，做州为目添标函谈数。更一笔般地练，取从不剑同角得度出延发，知构造留评价荒函数h(像F)，求问题,得到(V议P)的有察效解铸。下面闹介绍爹一些忧评价卧函数播的构曾造(即不薪同的肠方法)。2.平方散和加亩权法苍：求出祸各单语目标乌问题最优详值的甚下界(期望哪的最主好值)。令评牌价函里数其中僵为预亮先确每定的果一组亦权数哪，且必满足的值卖为各沟目标围函数盼的权把数，首较重盯要的锦取值众较大池。3.范数聚和加去权法裹：同上材面类到似，低先求鞭出各跪单目飞标问殊题的牧最优们值下筝界毕，取萄，构蛇造评舰价函险数：其中激为见权系省数，串且唱。把此煌方法言与分挡层序困列法仙结合稻，取留，签用于蓬线性椒多目标规导划，僻即得战到目刚标规热划方洁法（层运筹宣学课硬中所命学的没）。4.虚拟答目标晒法：仍如袄“2、3”得到惨，垒设取评卵价函始数：5.线性乒加权乐法：预先辟给出磁每一理目标浮函数争的权靠系数裂，满务足。取供评价片函数靠：线性带加权值法是盯最常叉用的篮方法霸之一景。此法谁可直觉接解伪释(V牧P)有效躺解的Ku军hn岸-T羊uc尸ke骂r条件。△几何荣意义击：设n=距2,蒙p=直2。线性率加权菜法解授问题钟：在像空间康，(P董)等价谦为问贡题：记顶，手则稠。轨及渣分系别对斤应单迎目标司问题(P1)及(P2)。当正侨数馆确定部后，求可得烟问题(PF)的最裤优值卫，垫如图18，可雹知知对应蛋的原踏像绕。盐、栗。可以炎利用贱线性好加权遍法来乎逼近傻有效跪解的偶集合秧，但师不是条一种准蹦确寻新找所贞有有昌效解哄的有咏效方脖法。贷当μ从0→斥-∞时，突可得到森非劣担解的咳一个箩子集接。如据上图19所示引。A、B为相口应集合汁的端从点。当僻或医时，化可蕉能是谨弱有杂效解撇，如下图20。只溉有农，惯由A到B的其伶余点并为弱摩有效荐点。它们苗对应盆的原扰像为沉弱有谈效解鸭。例7：其中鄙：丙，F映射孟是由x1ox2到f1of2空间恰的一牧个线席性变从换。可行口域是仍多胞怖形H(叠A,筋B,石C,在D,资E,民F)。其A(卧0,碑0)T、B(撞6,誉0)T、C(矿6,宫2)T、D(似4,肢4)T、E(土1,稠4)T、F(训0,甚3)T是每物两条帮直线的交申点。F(赤A)惨=M嗽A=蜜(饶0,呀0)T，F(白B)降=M鄙B=宜(介-3捆0,帖6)T，F(仿C)港=M董C=程(背-2袖6,贫-2欺)T，F(币D)悲=M踢D=糖(团-1湾2,颤-1夜2)T，F(季E)必=M每E=到(帐3,宰-1谨5)T，F(遇F)乎=M竖F=双(糖6,芒-1煌2)T。F(泻S)是由F(氏A)、F(盛B)、F(照C)、F(洪D)、F(踢E)、F(节F)构成的叫多胞早形。马如图21。图21：当,即岭时,即(P2)的解:差E(樱1,暮4)T,对应F(麻E)塘=虫(这3,惜-1活5)T；当,即禾时,即(P1)的解:揭B(瞎6,液0)T,对应F(违B)凡=造(-顽30映,6职)T；取μ=杰-1,即痕时,问题朽为：最优谎解为:读C(垂6,冠2)T,对应F(市C)惧=影(挡-2歼6,竹-2兄)T；取μ=直-1弦/2,即您时,问题申为：最优盆解为:秀D(劣4,义4)T,对应F(饼D)虚=候(梅-1绩2,脚-1迟2)T；取μ=失-1践/3,即搅时,问题谅为:最优践解为:懒D(语4,围4)T,对应F(狠D)惊=隆(庸-1慎2,违-1介2)T。6.啄“域mi报n-补ma漫x”法（爷极小-极大岩法）对策命论中笨常遇棍到“潜在最物不利看情况蹄下找乔出最耳有利塑策略注”的问题宴，即粱“mi股n-塘ma且x”问题邀。取评蚀价函寄数然后欠求解设得去解,是x的函们数。原如右足图。实用朱中，拳可以终使用眯下列加权陕形式踪蝶，取傍，令为了蚀求解赛方便债，可倍把问岛题(PMm)等价料化为席下列决数学准规划问题:定理结：设火是延的最嫩优解浇，那毫么戚为(PMm)的最参优解；虹反之复，若余是(PMm)的最深优解,且那么两是淘的最俯优解馋。证：百设暗是仍问题屈的对最优咸解，斗明显陈地，朝有由第缠一组湾约束内知：由目迁标mi衔n叉t知即取筛得满伸足上吓式的背最小淘值。对(PMm)的任排意可糠行解x，令那么绣。于橡是即谊是问秆题(PMm)的最跑优解术。反之抵，考转虑畜是押的任爹意可农行解孕，则（第顶一组闭约束劲）是(PMm)的最检优解付，可丢得，蒸对(PMm)的任雾意可煎行解x，有于是鹅。代即志为脸的史最优暴解。7.乘除架法：设(V只P)中，浅对煤，均继有再设概求mi脏n；求ma哥x。取评扇价函摸数求解，。8.评价泳函数铸法的给收敛喷性：考虑(V泰P)，h(少F(熔x)土)为评铜价函暖数。定义抱：设逼，10.若满使足叮时，掏均有境，捡则称h(捞F)是F的严子格单调鞭增函厘数；20.若满绕足：鼻当冈时，砍均有讲，则茂称h(御F)是F的单调撑增函张数。定理横：若壁，10.若h(拒F)是严旱格单需调增态函数啦，则烦数学淋规划的最转优解荣；20.若h(千F)是单新调增涉函数犹，则港数学基规划的最统优解焰。证明留：10.反证。设铲，千由定饶义，宵使由h(格F)的单旦调增庆性质肆，得男到与迈是(P1)的最栽优解榆矛盾拐。20.反证。设判，由粒定义衬，赚使由h(接F)的单疲调增纸性质各，得由到与鸣是(P2)的最螺优解规矛盾锋。证翁毕。可以禾证明依，上述递各评亡价函东数：1.理想阻点法陪、2.平方界和加甲权法袖、范数追和加痰权法帝、4.虚拟研目标眠法、5.线性编加权啄法(昌)、7.乘除法用均为根严格移单调腐增函球数；译而5.线性搞加权局法(恐)、6.作m浸in固-m怎ax方法为蜓单调抬增函表数。由此竿，根恰据定凳理可迷得，蝇方法5(线性屯加权冲法(旨))方法6(佳mi无n-ma查x法)得到惑的解民；细其它铸各方宽法得舌到的起解模。9.确定妹权系略数的谣方法质：(V嫩P)问题留的评面价函财数h(创F(插x)躁)中所狂需预绒先给屑出的量权系螺数：（1）“谊老手时法”基本鸦过程丧：邀请灯一批胆“老董手”窜（专扮家，股有经锣验的偶人员扎等）舅，汲取押他们莫对权已系数晌的意凝见，引加以姿综合喇得到率权系镜数。设有k位“染老手王”，潜为了屯便于向其独摘立发借表意的见，仪将事中先准备性好的废调查紧表送岛给他篮们分批别填爪写。营设第i位“胡老手岔”对躁第j个目旱标异给出女的权先系数滤为损。针对选每个运目标鸟函数治，计肢算平廉均权套系数怎：得到窃下表丽：计算奖每一继位老菠手i(差i=摄1,惠2,…,k急)关于击平均泰权系闯数灯评启价的偏差宰：六。第二许轮讨惜论，衔请最禾大偏拼差的揪老手宁首先准发表毙意见胞，经打充分讨光论以咱达到周对目套标重翼要度偏的正鸣确认异识，立消除串参数谅估计中的凉误解贼。然躁后重弊新评香价。如此雪反复班进行旗，最肿后达灭到较维为一肚致的机认识布。（2）α-方法印：对p=断2的情突形叙复述：咱求摧的最久优解旧。记妄，真像空业间的仁图形召如下咬（图23）。在像泄空间睬中，数点轿确定最一条烫直线L1，记其焦方程为复。把上崖面两羽个点孝的坐面标代喘入，枝得到傲：栽。若问石题(V薯P)不存狂在绝越对最刚优解(存在绝对梢最优你解时铺，上糕述方是程组娘为一个点众，)，即娘。则有记陡，解方寨程组速得庭：取这组疾时确，线悉性加穷权法的最死优解欺对应锈的像讽点为着，刑如图23。对于珍一般汤情况图：p≥却2。记单例目标始问题核的亮最优值解为勺，记过p个点族做隆超平庄面，灿得方斥程组当(V难P)不存截在唯鸭一解钥时，静可确萝定唯靠一一世组解(共p+点1个变量确，p+挣1个方匪程)。该解挣即为两一组偏权系劝数。10载.有限贩方案章多目捧标决助策问公题简森介前述冬的一虾些方沙法均印是针骆对无锻限方跪案多袜目标任决策泽问题的模册型进昆行讨翅论的裂。也蔑是在坐这一伯领域庙中遇吗到较贱多的摊且要求基洲础知矿识较鉴深的末一部引分内仅容。（1）有骆限方胳案多获目标抵决策滥问题膜的特善征及抹基本秋思路荒：特征楼：仅含啦有限饿多个愁方案训；决策么情况南的范羞围只眨涉及隙分析-评价再的内罪容。基本欲解题病思路像：筛选→排序→集结→综合①筛选挪：对有丹限个哗可能征方案杨，按纲照某兼种(些)准则荡，筛愿去显零著不杜满意叶的方茂案，狐使下纹一步或所考恒虑的吼方案耀尽可件能的款少；②排序蒸：根据遇各属帝性特衬征给蔽各属螺性赋悲权。凭然后阅，按推照不淘同的既方法郊，给抱各方千案排聋序。③集结仓：常用梁三种犁技术眨，对编上步成得到衡的不闭同方锡法下游各方掉案的伍排序类进行加集结(按不管同技扯术的佳综合贞评价)。有支下列我三种而技术盖：常用仓的集压结方赵法：Δ平均守值法灭：求各泼方案热在不黑同方屠法下史名次终的平现均值毕。按膨平均微值的理大小低得到闯集结矿名次妨，若券平均当值相位同时适，则蜓取方翁差较获小的熔排在币前。例8：有四牺个方糟案净，良用四衰种方我法歼进行排序类，得闻到下她表：对各孙方案肤两两类比较(如xi与xj)，若认围为xi好于xj的方案多，杯记为蜜胜(M怕)，否则政记为订败(X食)(不优争于)。ΔBo别rd辟a法：找各演方案公“胜评”的冰次数倦之和幼，进扫行集揉结。ΔCo穷pa炸la王nd法：找各气方案顺“胜穗”(取正)与“慨败”(取负)次数闲的代稼数和跨，进径行集屈结。例9：同涛上例勉，结尺果如稼下。④综合婚：上步体得到饭三种第技术羡下的涝排序辨，一虹般仍颠存在会不可策比的静关系竭。构掏造一伶排序期集：晚当xi优于xj时，记澡为削，丛否则烤认为秘不可连比。工当醒时，往节点xi位于xj上，这粉样得政到一产个偏潜序结欠构图泥：（2）决估策矩特阵和像规范歉化决策彼矩阵提：把各满方案xi(i睬=1何,2怠,…,m速)及属型性集yj(j=1头,…,n考)、列表粉得到夫决策大矩阵浩。其席中(方案