高考数学2022-2023学年福建省南平市提升仿真模拟试题（一模二模）含解析

【高考数学】2022-2023学年福建省南平市专项提升仿真模拟试题

(一模)

一、单项选一选：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数2+i,则复数z的虚部为()

812

-5D.T

A.B.5C.5

A二{X|T«X<3},集合8={x|x2a}

2.设集合一,若AC,则”的取值范围为()

A.a>3B.一14。43C.a"1D.a-

3.抛掷两枚质地均匀的硬币，下列与“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是()

A.至多一枚硬币正面朝上B.只有一枚硬币正面朝上

C.两枚硬币反面朝上D.两枚硬币正面朝上

4.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖席.如图，在正方体

ABCD-AaCR中,当E分别与4,5i,G,"重合时，所形成的四面体中

5.在单位圆中，己知角a的终边与单位圆交于点2I"2'，现将角a的终边按逆时针方向

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7T

旋转3，记此时角0的终边与单位圆交于点。,则点。的坐标为()

<61、'1百、

<2,2>c（1，°）D.仲)

A.B.

6.在A题中,若t"+3）=“

贝ijtan2C=（）

_V2

c.OD.2V2

A.-2五B.2

7.若点是抛物线「=2px(P>0)上一点，点A到该抛物线焦点的距离为

6,则〃二()

A.B.2C.3D.4

X]-x2—"ln―->0

W(1，3］当王<工2时，3

8.时任意的X%恒成立，则实数。的取值范围

是()

AI?，+00)(3,+8)C[9,+oc）D.（%+8）

B.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者率为20%,中

年患者率为30%,青年患者率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青

年患者，则()

A.若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人

4

B.该医院青年患者所占的频率为15

C.该医院的平均率为28.7%

D.该医院的平均率为31.3%

/■(x)=sin(6ox+^)|®>0,|^|<—|—

10.已知函数.12J的任意两条对称轴间的最小距离为2,函数

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g（x）=/（x）+/'（x）

2的图象关于原点对称，则（）

A.函数/（X）在（5"）单调递减

oVxpx2eR|/（网）-8。2）41+0

D.，

71

C.把g（x）的图象向右平移W个单位即可得到,（X）的图象

（3兀7兀

D.若/（X）在【°'"）上有且仅有一个极值点，则。的取值范围为I8'8-

22

-5—■^"=1（Q>0,6>0）户口

11.已知双曲线C的方程为。b-,4,“分别为双曲线C的左、右焦点,

过外且与X轴垂直的直线交双曲线C于M,N两点，又l"M=8a,则（）

A.双曲线C的渐近线方程为丁=±2、

B.双曲线C的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方

C.双曲线C的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列

D,双曲线。上存在点尸，满足附卜3附21

12.如图，在平面直角坐标系中的一系列格点4（4必），其中i=L2,3,…,〃，…且知乂eZ

记%=%+”,如4（1，°）记为%=1,4（1，一1）记为的=0,4（0,-1）记为q=-1,…，

以此类推；设数列｛""｝的前〃项和为S".则（）

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,9

X

”11

■小2

a

A.2022=42BS2022=一87c"即？=2np

=3〃(〃+l)

An2+5n?

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

log,sin—=

13.计算：-4.

22H-1

14.已知产("'〃)为圆。：(1)+(尸1)=1上任意一点，则m+1的值为.

15.己知函数/O''"+9e"*+x--4x-2有零点，则实数”.

16.四面体NBC。中，ABLBC,CDLBC,BC=4,且异面直线N8与8所成的角

为60°.若四面体48co的外接球半径为石，则四面体的体积的值为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①(a+6)(sin/_sin5)=(c_6)sinC；②2b—c—2acosC=0；③

cos28+cos2C+sin8sinC=l+cos2/这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并

解答问题.

在“BC中，角及，所对的边分别是a、b、c，.

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(1)求角力；

(2)若NC=2,8C=2仃，点〃在线段四上，且△NCO与△8CO的面积比为3：5,

求办的长.

(注：如果选择多个条件分别解答，按个解答内容计分)

%_"+1

19.已知数列也｝满足q=L%〃.

(1)求数列｛"/的通项公式；

⑵若也｝满足⑥=2an~24,%=2%-22,设5„为数列也｝的前〃项和,求$20

21.南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福

建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训

后对参训志愿者进行了测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整

理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩*近似于服从正态分布“(〃』15一)，〃近

似为这100人测试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，

①求〃的值；

自工，|中、士七五八七^,P(75.5<X<87)

②利用该正态分布，求,7；

(2)在(1)的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励：①测试成绩没有低

于〃的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于〃的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

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奉送话费的金额（元）1030

3

概率

44

今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为彳（单位：元），试根

据样本估计总体的思想，求4的分布列与数学期望.

参考数据与公式：若工〜爪〃，。）则。（〃-b<X"〃+b）=0-6826,

P（〃-2b<XW〃+2cr）=0.9544P（"-3cr<X4〃+3。）=0.9974

，•

23.如图，四棱锥尸一力6co的底面N8CZ）是边长为2的正方形，PA=PB,

NPBA=ZPBC

（1）证明：平面P8O；

旦

（2）若"为棱刃上的点，PM=2MD,且二面角尸-AB-C的余弦值为3,求直线所

与平面4CV所成角的正弦值.

22

=+二=1（口>6>°）rj?

25.已知椭圆C：b,尸2分别为椭圆C的左、右焦点，焦距为4.过

右焦点名且与坐标轴没有垂直的直线/交椭圆C于业M两点，已知△“N片的周长为4后，

点”关于x轴的对称点为P,直线月V交x轴于点Q

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(1)求椭圆C的方程；

(2)求四边形9N°面积的值

/(x)=—+lnx

27.己知函数x

(1)讨论函数/G)的单调性；

11ZXXX-111

-<m<-g(x)=+—ex—十一

(2)若4e,求证：函数\nxm有两个零点多，&且不/

【高考数学】2022-2023学年福建省南平市专项提升仿真模拟试题

(一模)

一、单项选一选：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

C1

z=2-1-____

1.已知复数2+i,则复数z的虚部为()

」1812

A.5B.5C.5D.5

[1题答案]

【正确答案】A

【分析】先由复数的运算求出z,再求出虚部即可.

z=2+，=2+2T=2+二乜，1

2+1

【详解】(2+1)(2T)555,故虚部为5.

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故选：A.

2.设集合"=集合'={小'"},若/=8,则”的取值范围为（）

A.&N3B.TWa«3。1D.a<-\

【2题答案】

【正确答案】D

【分析】直接由'I8求解即可.

【详解】由可得。<一1

故选：D.

3.抛掷两枚质地均匀的硬币，下列与“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（）

A.至多一枚硬币正面朝上B.只有一枚硬币正面朝上

C.两枚硬币反面朝上D.两枚硬币正面朝上

【3题答案】

【正确答案】C

【分析】由对立的概念直接判断即可.

【详解】由对立的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立为“两枚硬币反面朝上”.

故选：C.

4.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖席,如图，在正方体

4BCD-ATBCQI中,当£分别与4.Bi,G,4重合时，所形成的四面体E—8C。中

鳖蠕共有（）

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C.3个D.4个

【4题答案】

【正确答案】B

【分析】当E与4,&重合时，由△E8D为等边三角形即可判断四面体没有是鳖嚅；当

E与片,4重合时，证明四个面均为直角三角形即可.

【详解】

如图，当E与4重合时，易得EB=ED=BD,故△E8O为等边三角形，此时四而体

后一88没有是鳖席;

当E与与重合时，易得△EBCQBC。为直角三角形，又E8J.面NBC。，BDu面4BCD,

故石8_LBD,

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故△£6。为直角三角形，同理AECD为直角三角形，此时四面体E—是鳖墙;

当E与G重合时，易得EB=ED=BD,故为等边三角形，此时四面体£一8。。没

有是螯墙；

当E与A重合时，易得AESQBC。为直角三角形，又瓦）1面/BCD.BDu面4BCD,

故ED±BD,

故为直角三角形，同理△EBC为直角三角形，此时四面体E-8C。是鳖膈；故共有

2个.

故选：B.

（

■p*l_,®

5.在单位圆中，已知角°的终边与单位圆交于点<22现将角0的终边按逆时针方向

71

旋转3,记此时角1的终边与单位圆交于点°,则点。的坐标为（）

c(L0)(0,1)

【5题答案】

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【正确答案】B

乖)1

sina=——,cosa=—

【分析】先由三角函数的定义求得22,再由正余弦和角公式求得

cos(a+—)sin(a+—)

3，3即可求得点。的坐标.

^17T

sina=——,cosa=——

【详解】由三角函数定义知：22,将角a的终边按逆时针方向旋转3,

71

CCH--

此时角变为3,

冗乃］

cos(a+—)=cosacos--sinasin—二——

故点0的横坐标为3332,

./乃\71.nv3

csm(a+—)=sinacos—+cosasin—二——

点Q的纵坐标为3332,

叵

故点。的坐标为I22A

故选：B.

6.在“6C中，若tan(Z+3)=--,则tan2c=()

也

A.一2后B.2C.④D.2加

【6题答案】

【正确答案】A

【分析】由tanC=-tan('+8)=V^,利用正切的二倍角公式即可求解

【详解】因为4+3=万-C,所以tanC=—tan("+8)=&,

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2tanC

tan2C=二j

2

1-tanC1-

所以(0

故选：A

若点《"0）是抛物线V=2px（p>0）

7.I"上一点，点A到该抛物线焦点的距离为

6,则°=（）

A.1B.2C.3D.4

【7题答案】

【正确答案】D

【分析】先由点A在抛物线上得P=/,再抛物线的定义及A到抛物线焦点的距离即可解出P.

【详解】由题意知：=23,解得P=f,抛物线的准线为x-2,由抛物线的定义

知，

t+f+JA

点A到该抛物线焦点的距离为22，解得p=4.

故选：D.

z-1X]-x2--In—>0

8.对任意的项当王时，3x2恒成立，则实数”的取值范围

是（）

A[3,+8）B.（3,+°°）c艮+功D.（9,+°°）

【8题答案】

【正确答案】C

【分析】化简没有等式后构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解

x\~x2—>0&_@111再〉々一@111》2

【详解】3乙,即33

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令/(x)-x§lnx,由题意得/(X)在(1,3］上单调递减，

/(%)=1--<0

故3%,即aN3x在(1,力上恒成立，则a29,

故选：C

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者率为20%,中

年患者率为30%,青年患者率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青

年患者，则()

A.若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人

4

B.该医院青年患者所占的频率为15

C.该医院的平均率为28.7%

D.该医院的平均率为31.3%

【9题答案】

【正确答案】ABC

【分析】由分层抽样即可判断A选项；直接计算频率即可判断B选项：直接计算平均率即可判

断C、D选项.

〃600,c

30x-------------=12

【详解】对于A,由分层抽样可得，老年患者应抽取600+500+400人，正确；

400_4

对于B,青年患者所占的频率为600+500+40015,正确；

600x20%+500x30%+400x40%…标

------------------------------«28.7%

对于C,平均率为600+500+400,正确；

对于D,由C知错误.

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故选：ABC.

/(x)=sin(0x+e)(0>O，M<g]—

10.已知函数k2’的任意两条对称轴间的最小距离为2,函数

g(x)=/(x)+〈/'(x)

2的图象关于原点对称，则()

A.函数/(X)在(3")单调递减

BVX)，X2GR；|/(x,)-g(x2)|<l+V2

71

C.把g(x)的图象向右平移8个单位即可得到/(X)的图象

(3兀7兀

D.若/G)在【°'")上有且仅有一个极值点，则。的取值范围为I858-

【10题答案】

【正确答案】BD

【分析】由题意先解出口，。，再根据三角函数性质对选项逐一判断

T——x2=71

【详解】由题意得“X)的周期为2，故0=2,

g(x)”吟+e)+c03+加后m(2x+"+?

又g(x)的图象关于原点对称，g(x)为奇函数，而“5,可得4,

即/(x)=sin(2x—；),g(x)=/sin2x

兀什)。兀/3兀7兀、(兀什]

xe不,兀2x-—G(—,—))不"

对于A,当2J时，444,正弦函数性质知•/在12外殳有单调,

故A错误，

对于B,VgwR,|/6)-gG)|41+0,故B正确

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71=V2sin(2x--^)

g（x）的图象向右平移W个单位得函数

对于c,故C错误,

兀。兀

4---,2a--,-若/㈤在[°川上有且仅有一个极值点,

对于D,当“右乩。）时，44

兀_兀,3兀3万，7万

—<2a<———<a<——

则242,解得88,故D正确

故选；BD

~2---7=1（〃〉°，6〉0）万口

11.已知双曲线C的方程为如b-,02分别为双曲线C的左、右焦点,

过工且与x轴垂直的直线交双曲线C于机N两点，又l"N|=8a,则（）

A.双曲线C的渐近线方程为丁=±2"

B.双曲线C的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方

C.双曲线°的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列

D.双曲线。上存在点P,满足归用用

[11题答案】

【正确答案】AB

【分析】先由=8"求得°=2。，即可求出渐近线判断A选项，由点到直线的距离公式即

可判断B选项，由实轴长、虚轴长、焦距等比中项即可判断C选项，由双曲线定义户工1的范围

即可判断D选项.

V丁_〃2b2

【详解】易知双曲线C的方程为ab-，令X=c得4,故a，解

b

得b=2a,双曲线C的渐近线方程为'a,即歹二士2%,故A正确；

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双曲线c的渐近线方程为'=±2'，由双曲线的对称性，没有妨取右顶点（七°）,右焦点

|2a|\-2a\4a2

（c'°），则顶点到两渐近线距离的积为布％5

『％）=史

1122

焦点到渐近线距离的平方为又b=2a,c=a+b=5a故

叱=它、5

55,B正确;

（2〃）2=（44）2=16/，2a・2c=4屈2,显然国丫*2a-2c,g错误;

若附|=3座I,又由双曲线定义阀I一附1=2熙|=2a,解得

=A

\PF2\<=C-Q

故没有存在点尸，满足归用=3|P片|,D错误.

故选：AB.

12.如图，在平面直角坐标系中的一系列格点4（*»）,其中'=1,2,3,…,〃，…且x”y,eZ

记%=%+外,如4（L0）记为.=1,4（LT）记为出=0,4（°，T）记为的=-1，…,

以此类推；设数列｛""｝的前n项和为S，.则（）

4

4

45

小4o广

-X

Mil

出5小3小2

■42

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A,。2022=42B.$2022=.87C4”=2〃

D.

S：3"(〃+1)

47J2+5?/2

【12题答案】

【正确答案】ABD

【分析】由图观察可知第〃圈的8〃个点对应的这8〃项的和为0,则J"—""。，同时第"圈

的一个点对应坐标为（"'"），设％。22在第左圈，则左圈共有软（％+1）个数，可判断前22圈共

有2024个数，电。24所在点的坐标为（22,22）,向前推导，则可判断A,B选项；当〃=2时,

时所在点的坐标为（一2,一2）,即可判断c选项；借助SMX”。与图可知

=

S.->.St~S2A—a+Q+…+Q

4〃-+5〃4〃-+5〃4〃+4〃4n2+4n+1即〃项之和，对应点的坐标为

++…，+即可求解判断D选项.

【详解】由题，圈从点°'0）到点°'1）共8个点，由对称性可知$8=4+出+…+4=0；第

二圈从点（2」）到点（2,2）共16个点，由对称性可知,24一=为+即）+…+&4=°,即

S-s0

‘24=°,以此类推，可得第”圈的8〃个点对应的这8〃项的和为0,即“十二

8+16+…+3k—

设”2。22在第％圈，则2,由此可知前22圈共有

2024个数，故$2024=0,则$2022=邑024一（。2024+出。23）,。2。24所在点的坐标为22）,

则，024=22+22=44,“2023所在点的坐标为（21,22）,则限=21+22=43,限所在

点的坐标为322）,则出022=20+22=42,故人正确;

‘2022=S2024一(。2024+。2023)=0一(44+43)=-87,故B正确.

第17页/总67页

“8所在点的坐标为O1)，则％=1+1=2,”所在点的坐标为(-2,-2),则

%6=-2-2=-4,故c错误；

S“+5.=S4#+5「%+4“"即,对应点的坐标为(〃+L〃)，

(〃+L〃T),…，(〃+1，1),所以

S山/+5“=(〃+1+〃)+(〃+1+〃-1)-1---1-(77+1+1)=(2〃+1)+2〃-I---F(〃+2)

(2〃+l+w+2)〃+

22,故D正确.

故选：ABD

关键点点睛：观察图形，利用对称性求解问题，对D选项，考虑已知的前"项和与所求的关系,

图形，可适当先列举找到规律，再求解.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

log2sin—=

13.计算：4.

【13题答案】

【正确答案】2##-0.5

【分析】直接由角的三角函数和对数运算求解即可.

2

log2sin-=log2—=log,2

【详解】422.

故答案为.2

22〃一1

14.己知「(,％")为圆。：(1)+&T)=1上任意一点，则加+1的值为.

【14题答案】

第18页/总67页

【正确答案】3

77—1

【分析】将旭+1转化为点？（"'"）和（7/）连线的斜率，由图像可知当直线与圆相切时取得

值，由〃="解出斜率即可.

由于阳+1机一（一1）,故加+1表示「（私"）和（T1）连线的斜率，设“（T」），如图所示,

n-1

当MP与圆相切时，加+1取得值，

设此时MP：Lx+D,即b7+"1=°,又圆心0」），半径为1,故

I,V3

L±1--L---M-.1攵,=十

，解得一3,

〃一1V3

故m+1的值为3.

昱

故答案为.3

15.己知函数/（x）=e""+9e"f+--4x-2有零点，则实数”

【15题答案】

【正确答案】2-1113

第19页/总67页

【分析】先由基本没有等式求得e""+9e"TN6,再由二次函数求得—-4》一22-6,要使

函数有零点，必须同时取等，即，x=2,解方程即可.

【详解】由e'F>°可得,当且仅当

e""时取等，

又、2一以-2=6-2)-6'-6,当且仅当x=2时取等，

故/(x)=e'"+9e"'+x--4x-226+(-6)=0,当且仅当产"，x=2时取等.

要使函数有零点，则e'-"且x=2,化简得e""=3,解得a=2—ln3.

故答案为.2-也3

16.四面体/8C。中，ABVBC,CD1BC,8c=4,且异面直线N8与CD所成的角

为60°.若四面体Z8CO的外接球半径为右，则四面体N8C。的体积的值为.

【16题答案】

【正确答案】#

【分析】构建直三棱柱/8£一口8,找出球心及底面外心，正弦定理求得ZE,由

V

,A-BCD=A-BDE=七TBE表示出体积，再余弦定理及基本没有等式求出值.

第20页/总67页

由ZB,BC,CDIBC,6c=4,且异面直线Z6与8所成的角为60。构建直三棱柱

ABE-FCD,由5E||C£)得NN8E=6(T,

易得四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，取ACO'/'BE的外心”,G,易得岱的中点

OB=y[5,GO=-HG=2

。即为球心，又2,

则5G=，5-4=1,由正弦定理得ZEnZBGcinGO。=C,又^A-BCD~^A-BDE=^D-ABE

DE--BA-BE-smAABE=—BA-BE

323

AE2=BA2+BE2-2BA-BE-COS-

又由余弦定理得3,即

3=8/2+BE^-BABE>IBA-BE-BA-BE=BABE

3X—=6

当且仅当=时取等，故848E的值为3,四面体“8C。的体积的值为3.

故答案为.G

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①(a+b)(sinZ-sin8)=(c—6)sinC；②2b—c—2acosC=0；③

cos28+cos2C+sin6sinC=l+cos2N这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并

解答问题.

在ANBC中，角/、及，所对的边分别是“上c,.

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(1)求角4;

(2)若4C=2,8c=2百，点〃在线段四上，且△48与△BCD的面积比为3：5,

求6®的长.

(注：如果选择多个条件分别解答，按个解答内容计分)

【17题答案】

【正确答案】(1)3；

(2)2

【分析1(1)若选①，由正弦定理，得〃+c2—/=bc,再由余弦定理即可求出角心

若选②，由正弦定理得sinC=2cos/sinC,解得2,即可求出角力

若选③，先由平方关系得sin28+sin2C-sin8sinC=sin2N,再由正弦定理得

b2+c2-hc=a2,再由余弦定理即可求出角心

(2)在中，由余弦定理求得"8,由△ZCO与△8C。的面积比求得Z。，再在

4ACD中由余弦定理求得CD即可.

【小问1详解】

222

选①,由正弦定理，得(a+b)("b)=(c-b)c,^b+c-a=bct故

COSJ=又北(。㈤,故-y

2bc2；

选②，由正弦定理，得2sin8—sinC-2sin4cosc=0,又A+C=LB,故

sinC=2sin(/+C)-2sin/cosC=2cos/sinC

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又sinCwO,故"s'-5,又八（0,乃），故'T.

选③，由cos2B+cos2C+sin5sinC=1+cos2A可得

2-sin2B-sin2C+sin5sinC=2-sin2A

即sin28+sin2C-sinBsinC=sin24,由正弦定理得〃—=/,故

b1+/―/1

cosA=

2bc万，又故3；

【小问2详解】

在△NSC中，由余弦定理得8c2=NB2+ZC2—2/8.ZCCOS”,因为

AC=2,BC=2瓜A=%、

3,所以12=次+4-2皿

解得/8=4或48=_2（舍），又△ZCD与△8C。的面积比为3：5,即4。：8。=3:5,

3

AD=-

所以2,在△力CO中，

CD1=AD2+AC2-2AD-ACcosA=[^\+22-3=—CZ）=-

由余弦定理得12J4,即2.

%_〃+1

19.已知数列｛qJ满足％=L%".

（1）求数列｛%｝的通项公式；

24

⑵若也｝满足瓦"=2%-,&T=2。“-22设Sn为数列也｝的前〃项和，求S20.

【19题答案】

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【正确答案】(1)%=〃

(2)-240

【分析】(1)利用累乘法即可求解；

(2)由(1)代入可得'2"+》2,1=4〃-46,利用并项法求和即可求解.

【小问1详解】

%_〃+1

因为《=1,%〃，

a,a,a„23na

——=—x—x…x----=n

所以当〃N2时，4a2an-\12〃一1,则%,即%=〃，

当"=1时，也成立，所以⑸=〃.

【小问2详解】

由⑴，邑=24-24=2〃-24,%_1=2%-22=2〃-22,

则J+di=4〃-46,

则S2o=(4+4)+(b3+64)+…+(49+b2o)=(4xl—46)+(4x2—46)+-+(4xlO-46)

(1+10)x10,

=4x^----L-----46x10=-240

2

21.南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福

建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训

后对参训志愿者进行了测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整

理得到如图所示的频率分布直方图.

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（1）由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩X近似于服从正态分布），〃近

似为这100人测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），

①求〃的值；

G工，P^,P（15.5<X<87）

②利用该正态分布，求''；

（2）在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励：①测试成绩没有低

于〃的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于〃的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

奉送话费的金额（元）1030

3j_

概率

44

今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为J（单位：元），试根

据样本估计总体的思想，求片的分布列与数学期望.

参考数据与公式：若“〜N（〃，b）,则。（〃-。<*<〃+。）=0.6826

P（〃-2b<X4〃+2cr）=0.9544P（〃-3。<X4〃+3cr）=0.9974

【21题答案】

【正确答案】⑴①75.5；②0.3413

（2）分布列见解析；2

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【分析】(1)①利用平均值的公式求解即可；②利用正态分布的对称性即可求解;

P(X<pi}=P(X>=-g

(2)由2,所获赠话费4的可能取值为10,

20，30，40，60，

表中数据，即可得到分布列，再利用期望公式即可求解.

【小问1详解】

由题〃=55x0.1+65x0.2+75x0.4+85x0.15+95x0.15=75.5

因为b=lL5,

/、P(u-a<X<u+(y}0.6826

P(75.5<X<87)=-^------------[==0.3413

所以,722

【小问2详解】

由题，

所获赠话费4的可能取值为10,20,30,40,60,

F(^=10)=-x-=-F(^=20)=-x-x-=—pg=30)=1xL』

'7248,V724432,v7248,

PG=40)」x，l+，x!x3=ap(e=60)=LLx!」

'724424416,'724432,

所以J的分布列为:

g1020304060

3931

P

83281632

3913145

所以网力10x-+20x—+30x-+40x—+60x—=—

832816322.

23.如图，四棱锥P—"SCO的底面46c。是边长为2的正方形，PA=PB,

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NPBA=NPBC

(1)证明：NC,平面尸8。；

旦

(2)若M为棱以上的点，PM=2MD,且二面角尸-AB-C的余弦值为3,求直线气

与平面4CV所成角的正弦值.

[23题答案】

【正确答案】(1)证明见解析

(2)5

【分析】(1)由正方形的性质可知NC，80,易证A