名师导学·高考数学三角恒等变换及三角函数的图象与性质

新课标命题有关三角函数，平面向量和解三角形的考查趋势是：2010年以两道选择题考查平面向量的数量积和余弦定理，一道解答题考查三角函数的最值与零点和三角恒等变换能力；2011年以一道填空题考查平面向量的数量积，一道解答题考查正弦定理，已知函数值求角的大小与求三角函数最值，同时考查三角恒等变换能力；2012年以两道选择题考查平面向量的数量积，余弦定理、三角函数的值域，以及三角恒等变换能力．

同时一道选择题综合考查三角函数给值求角与逆否命题，一道填空题综合考查三角函数图象、解析式与复合函数的导数、定积分、几何概型．由此可预测2013年的考查仍将会以选择题或填空题考查平面向量、三角函数和解三角形的主干知识，同时渗透三角恒等变换能力的考查并适当地融入在知识网络交汇点处命题的思想，仍有可能以解答题考查三角函数的主干知识和三角恒等变换能力．也有可能应用三角函数的图象和性质．或解三角形的基础知识和方法解决实际应用问题，试题难度中档或中档偏易，考查分值在17～20分．

第3讲三角恒等变换及三角函数的图象与性质1．考题展望三角函数是基本初等函数，是描述周期性现象的重要数学模型，在高考中，主要考查对三角函数概念的理解，运用三角函数公式进行三角恒等变换的能力．掌握三角函数图象的基本特征和基本性质，并能灵活地进行图象变换，考查读图、识图和用图能力，同时与向量、解三角形和实际应用问题交汇，考查三角知识的工具性作用．

【解析】选A.根据抗题设途条件百得到使变化岂后的妄函数盒为y＝co翼s(x＋1)，结际合函集数图泪象可僚知选词项A符合述要求装．故灯选A.【命题肠立意】本小安题主社要考育查三峡角函壮数的稳图象佩和图巧象变牙换等缎知识象，考警查考献生的倘识图架能力椅．【命题洁立意】本小迁题主谈要考扯查二迫倍角草公式梦、两萍角差腊公式芝及三雄角恒奖等变池换等脚基础倚知识披与方嫩法，什考查贷转化捉化归傅思想千和运坛算求阔解能西力．【命题惰立意】本题划考查湿两角泉和与钉差的肥三角稀函数训公式压、二凉倍角煌公式离、三先角函酿数的共周期环等性著质、蜘分段蕉函数海等基纸础知此识，两考查馋考生参的分颂类讨恨论思帐想和塞运算祖求解绵能力辜．(3剥)倍角乖公式偶及其林变形巧公式——可实美现三虹角函组数式余的升算幂或神降幂恭的转更化，旬同时冷也可森以完托成角求的形知式的题转化磁．3.三角执函数习恒等菠变换堤易错抛点(1恨)“给角录求值”时没分有发圈现角叮的内庄在联愤系造匹成错明解．一般里所给乳出的煎角都船是非铜特殊骑角，脸从表绕面来材看是雄很难涨的，区但仔介细观钢察非面特殊技角与傍特殊类角总竖有一史定的下关系菊，解片题时控，要释利用吼观察斥得到珠的关柄系，欠结合狱三角侨公式颤转化丑为特滋殊角辉并且漏消除妖非特旅殊角甩的三筹角函勤数而坚得解苏．(2丑)“给值胞求值”没有小运用真整体岭思想坑造成恨繁解民．给出利某些煎角的军三角榨函数冒的值泻，求占另外协一些久角的袭三角峡函数君值，纸解题罪关键坡在于“变角”，使葡其角拔相同碗或具择有某斧种关瞎系．(3)“给值求角”时忽视对角的范围的限制造成增解．“给值求角”实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性区间求得角．4．三角函数图象与性质的易错点(1)利用三角函数图象变换中的周期变换与相位变换时，易将ω与

求错．

A【点评】三角函数图象和性质综合成一题已成为高考选择题的一种趋势，强化利用图象法研究y＝Asin(ωx＋

)(或y＝Acos(ωx＋

)、y＝Atan(ωx＋

)各种不同的性质．

B例2函数f(x)＝Asi壁n(ωx＋φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的部的分图恭象如汽图所题示．BA【点评】本小旨题为捧三角椒函数棒的常恢见题胁型，梅求解蒙的关星键是酒先“化同恢角”，然黄后“弦化专切”，便丝式可解砖决问锅题．【点评】本例财第(2叮)小题龄为“给角悲求值”问题倦，求狭解思核想是沟：向郑特殊回角转丑化，烟构造骂相互裕约分禁或互如为相奥反数把，从舍而实献现函模数值越的求覆得．1．要穗能熟屡练推砖证公受式，洁熟悉盖公式锅的正股用、呈逆用真，还族要熟忌练掌示握公薯式的环变形牵应用吹．如两耗角和版与差钞的正简切公亿式可们变形遮为：ta棋nα＋ta堵nβ＝ta常n(α＋β)(竞1－ta住nαta马nβ)，ta搂nα－ta敏nβ＝ta办n(α－β)(命1＋ta爷nαta深nβ)．5．三披角函愚数中同最值棚、奇考偶性新、对冶称性以、单纹调区歼间及迈其周膀期是魄高考哭命题夺的热遭点．(1叉)三角见函数嗓值域透的求招法三角眼函数钥的值漂域问喊题，立实质味上大嘴多是穗含有沟三角溉函数映的复姻合函轰数值闯域问俭题，宜常用御的方阿法为匪：化校为代塌数函睁数的称值域束，也拿可以府通过乒三角另恒等怨变换坚化为烫求y＝Asi枯n(ωx＋φ)＋B的值自域；眯或化加为关签于si鹅nx(或co独sx)的二棒次函迅数，迹再利话用换妻元、廊配方熊等方凭法转咱化为粘二次翠函数狡在限浸定区跨间上伤的值漂域．②若函疗数y＝Asi双n(ωx＋φ)中A>0，ω<0，可捐用诱推导公袖式将锅函数奇变为y＝－Asi贱n(－ωx－φ)，y＝Asi挖n(－ωx－φ)的增召区间层为原芹函数钱的减淡区间匠，减徐区间希为原悦函数催的增观区间奔，对回于函任数y＝Aco贵s(ωx＋φ)的单颜调性泉的讨条论与该上类渔似．③比较伤三角肝函数片值的睬大小贼，往朗往是锦利用富奇偶冤性或贯周期缘瑞性转抱化为浴属于奔同一凯单调猜区间陪上的面两个哨同名扮函数禽，再抹利用彻单调迈性比长较．CBC(－∞，2]【点评】考查监同角迫三角怨函数摧的关记系、部二倍酬角公匀式，凭以及“1”的代笋换及亲弦切绣互化畅等方竿法．应解题斤的突涨破口抬是通程过“1”的代津换，厅将整此式转杜化为乡丰齐次恋分式纳，再乳通过被同除贫以co烟s2θ达到垒化切矿目的催．【点评】第(1从)问是席从复难数相民等入境手，邪但实断质上痒，转稀化后股就是担三角荷函数扶化简的与求寺值问慨题．捕在知军识的准交汇笑中进钟行命深题也华是新要课标食明确蜻提出筛的，海通过笔这道厨题目锣也可露以让讽学生触进一狐步学次会如怕何将拆新的绘问题怖化归营为自羽己熟消悉的匠题目察，渗个透了枯数学币的化虑归思纪想．【点评】(1宰)两角纤和与