高三数学基础版-矩阵、行列式-教师版讲义

教师姓名学生姓名年级高三上课时间

学科数学课题名称矩阵与行列式

矩阵、行列式

A的列数与B的行数相等，AB有意义

不满足交换律

一

对角线展开

按行（列）展开

三角形面枳公式

余子式和代数余子式

三点共线的充要条件

高中数学冲刺培优

助知识分析@

一、知识梳理

1、矩阵

(1)矩阵、零矩阵、方阵，单位矩阵、系数矩阵和增广矩阵

(2)掌握矩阵的加法、减法及数乘、乘法运算

【注意】两个矩阵的乘积：

注意:①只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同时，这两个矩阵乘积才有意义,

才可以相乘.

②一般地，交换律不成立

2、行列式

(1)掌握二阶行列式的有关概念及求二元一次方程组的解法：

设二元-次方程组(*)卜X+

a2x+b2y=c2

①则当'=qb,-W仇*0时，方程组(*)有唯一解，可用二阶行列式表示为

a2b2

fDx

；Da"瓦，0产%q,

Dvc2b2a2c2

UD

②当D=0吐Dx=Dy=0方程组有无穷组解：

③当小0时,2声。或D,H0方程组无解。

系数行列式。="b'也为二元一次方程组解的判别式。

«2b2

(2)三阶行列式计算方法

①对角线方式展开

14%

a2%c2=aib2c3+%与q+^3^2一《也。2-agq一密比外

以3飞C3

②按某一行（或列）展开法

a

012\3

一。々々a

aaaa22a23_21231/72122

2\2223一囚2+WI3

2

a226,231+1

记=,An=(-I)M11S

a32a“33

a2\a23，+2

M12=A2=(-1)M12)

a

。3133

a-)〃22,+3

%3=fAI3=(-1)MI3„

a-1032

称Mu为元素%的余子式，即将元素与所在的第一行、第J列划去后剩下的元素按原来顺序组成

的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称A/为元素/的代数余子式，

4=（-1产%0=1,2,3）。

a

\\。12。13

则三阶行列式就可以写成。。22。23+。12Al2+%343，

。31。32433

这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式

称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地，若将。按别的行或列的元素整理，同样可得行列式

按任一行（列）展开式。

（3）用三阶行列式求三角形的面积：

若A43C三个顶点坐标分别为（Xi，X）、（三，，2）、（4，为），则

11…

SMBC=#2%1

k为"I

①若（项，必）、（三，%）、（%3，）’3）三点呈逆时针，则

]My1

=-x2y21

x?%1

为y1

②A、3、C三点共线的充分必要条件为z%1=0

%3%1

二、典型例题

知识点1:矩阵、系数矩阵、增广矩阵

例1（2013理17）在数列中，%=2"-1,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素

a.tj=a.t-a；+a,.+,（Z=i,2,.•7；J=1,2,•••,12）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）

A18828C.48£>.63

答案：A

知识点2：矩阵相等与矩阵的运算：力口、减和数乘

高中数学冲刺培优

,(32-n2-30、4

例2、已知A=,8=,且3A+4C=2B,求矩阵C。

(4-32；(3-12)

13

解析：由3A+4c=28可得：C=—二月

24

53

-

\/\-

1O332\44

C-3|

--<2---1-

2-I274423-73

13L7-

-324-

a.x+b.y=c.

例3、给出二元一次方程组，1存在唯一解的条件.

a2x+b2y=c2

方法一：原方程组对应的系数矩阵为A=1J,其中।为A的两个列向量,

aa

\2\2^出2,

则原方程组可表示为X(*)

由平面向量的分解定理可知:

（aA

当向量'与'不平行时，存在唯一的实数X、y使（*）式成立。

\a2）

\

41飞4、

当与平行时，对任意x、y,a=x+y都与或平行，因此

a2)

也7也77

若。=q与2平行时，则原方程组有无穷多解;

q

若。=与a,不平行时，则原方程组无解。

综上所述,不平行是方程组存在唯一解的条件。

方法二：系数矩阵的角度

方法三：直线的角度

知识点3：矩阵的乘法

A()o]1V

例4、记X={%,y,1},T=<0-AE>,X'=|y>,则X7X'=0表示的曲线可能

DEF][1

是（）

4

A、圆B、椭圆C、双曲线D抛物线

答案：C

知识点4：矩阵思想的应用

例5、奥运会足球比赛中国队所在C组小组赛单循环比赛结果如下：

中国平新西兰1：1巴西胜比利时1：0中国负比利时0：2

巴西胜新西兰5：0中国负巴西0：3比利时胜新西兰0：1

（1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列）

（2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。

（3）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况;

（排列顺序与（1）相同）

（4）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两个矩阵确定

各队名次。

'0-3-20、’0001、

30153033

答案：（1）(3)（4）名次为巴西、比利时、中国、新西兰。

2-1013003

-5-10?J000,

试一试、

1、列举（《+“2+。3+%）（仿+与+4）展开式中的项

伪b2

%

〃2

%

答案:

瓦b2么

4哂她哂

a2bla2h2a2b3

a3bl叫a3b3

她贴2贴3

知识点5、二阶行列式的计算

_ab

例6、（2011理10文II）行列式（a,》,c,de{—1,1,2}）的所有可能值中，最大的

cd

是.

答案：6

»_ix、一41

试一试:

1、用行列式表示sinacos/?+cosasinp-.

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sin。-sin0

答案:

cosacos/?

2、若复数z=x+"（x,yeR）满足j；的模等于x,则复数z对应的点Z（x,y）的轨迹方程为

.其图形为.

答案：/=2（x--）抛物线

知识点6：二元线性方程组解的判定

例7、判断〃?取什么值时，下列关于的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？

x-(m2-5)y=-1

(加+1)彳一(机+1)，=1

1一(>-5)

答案:D(nt+1)(/7?+2)(/7?—3)

m+\-(777+1)2

一(“一5)

=2(/n—l)(m+2)

I-(/n+1)2

1

D-m+2

m+l1

(1)帆工一1,一2,3时，方程组有唯一解;

(2)机=-1或3方程组无解;

(3)m=-2方程组有无穷解.

试一试:

x+2y=3

1、用行列式解一元二次方程组4

2x-y=\

123213

=-5所以4D

答案：D=-5,Dx=—5，A=

2-1212.

y=--=1

D

恤+y=阳+1,

2,若关于的二元一次方程组，x+冲=2〃？无解'则m=

答案：-1

mx+v=--1

3、关于X、y的二元一次方程组-,'的系数行列式0=0,是该方程组有解的（）

3mx-my=2m+3,

A.充分非必要条件3.必要非充分条件.

C.充分且必要条件。.既非充分也非必要条件

答案：D

6

知识点7：三阶行列式的计算

例8：按要求计算下列行列式

3-24

(1)直接化简计算行列式D=10-1的值;

214

(2)按照第一行展开;

(3)按照第一列展开.

0-11-110

答案：（1）D=19(2)。=3+4

14242I

0-1-24-24

(3)D—3+2

14140-1

试一试:

222

1、已知"c是A4BC的三边长，且满足ab=0,则A45C一定是（）

bca

A.等腰非等边三角形B.等边三角形直角三角形D.等腰直角三角形

答案：B

a"13

例9、设a>0,a。1,行列式D=201中第3行第2列的代数余子式记作y,函数=/（x）

24-3

的反函数图像经过点（2,1）,则。=_____.

答案：4

baab

例10、将+2+3用三阶行列式表示，可得

d33d

1-23

答案:b

3

例11

1II

(1)证明王尤2x3=（%-无।）（七~工2）（七一X）；

124

(2)方程1XX2=0的解集为.

1-39

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123

（3）利用（1）的规律，求函数y=x49的最小值.

尤2827

答案：⑴按第一行展开可得左边=%2（玉2一一看）+X%3（%一W）

=（%2一%）（七一%X玉-%2）=右边

（2）{-3,2}

（3）y=6x2-30x4-36,当％=|时,%田=一|

知识点8：三阶行列式的应用一一三角形的面积

Jy1

例12：（1）求证：三角形的面积公式:;w%1

（三,%）

（2）求证：平行四边形的面积x2%1

工3%1

注：三点（毛,%），（毛,丹）逆时针排列，否则面积是上述行列式的绝对值。

试一试：

1、在平面直角坐标系xOy中，以向量二=（4，生）1=（4也）为邻边的平行四边形的面积为

解析：不妨说向量都是以原点为起点，则a2=a}h2-a2b},因为不知道

Ub2

b、

（0,0）,（q,%）,（乙也）的排列顺序，所以平行四边形的面积为14b2一％

2、已知A（0,0）,8（l,2）,C（3,5）,则54次=-----------

答案：-

8

国课堂练习@

'3O'-2r

1、已知矩阵4=,矩阵8=，求矩阵X,使其满足2A—3X=3.

、-21,22,

§

答案:3

「20

2'5\

2、方程组x的解是.

27

x=3

答案：\

[y=l

0z

3.关于z的方程-113=l+2i（i是虚数单位）的解是z=

1-z0Z

5石34

答案：---i

55

4、请根据“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵表示甲乙两人玩游戏时，甲胜利的

情形（胜用1表示，输用-1表示，相同则为0）。

0

答案:10

1

’123…n-2n—1

234n-\n1

5（2010理10文12）在“行〃列矩阵345•••n12中，记位于第i行第j

12…n—3n-2n—1；

列的数为为CJ=1,2,…当〃=9时,%+%+%…+%,=

答案:45

课后作业@

1、对于行列式某一行的元素为零”是“0=0”的条件.

答案：充分非必要

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2、等比数列｛%｝中，卬,七，的分别是下表第一二三行中的某一个数，且生，/，%中的任何两个数不

在下表的同一列，则数列｛%｝的通项公式为4,=

第一列第二列第三列1

第一行

第二行

第三行

题型：矩阵与数列

n

答案：an=2x3-'

3.已知方程组7)：+玲'=1,aeR恰有一解，求|x|+|y|的最小值，并求此时a的范围.

(a+2)x+(a+3)y=2

答案：D==(〃—1)(〃+3)—+2)=—3,

〃+2。+3

7—2。/、

『"0)

।...\ci-3|\ci—4|1/..।］、

l(3<6r<4)

2〃—7/、

|x|+IM的最小值为此时〃的范围是34〃44.

4(普陀13)若数列｛《,｝(〃wN")是等比数列，则矩阵『4%“41所表示方程组的解的个数

W4aj

是().★★

A.0个B.1个C.无数个D.不确定

答案：C.

5、计算

(1)(1234)3=.★

答案：(30)

10

4、

5=.★★

6>

00、

00

答案:

00

、00>

12

]_

6、设三阶行列式3xw[l,2]中元素c的代数余子式为y,则y的值域为

x

41

c5

答案：2,-

a

4\2«13,••tz19

X21a22“23•29

7、已知函数/（x）=——，在9行9列的矩阵。…。中，第i行第/列的元素

1+X

Si。92。93.,〃99>

%=/（上）,则这个矩阵中所有数之和为.

j

题型：对称性

答案：—

2

8、（2011春14）设〃阶方阵

’125…2〃-1、

2〃+12〃+32〃+5・・・4n-l

4=4〃+14〃+34〃+5・・・6〃一1

(〃-1)+12〃(〃-1)+32〃(〃-1)+5…

任取A”中的一个元素，记为毛；划去再所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1阶方

阵A,i，任取A,一中的一个元素，记为Z；划去W所在的行和列，……，将最后剩下的一个元素记为乙，

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记5“=玉+々+…+X"，贝Ilim—y2—=

«+1

答案：1

9、已知矩阵（％.）,因为该矩阵第i行第/列的