高三数学第4节幂函数与二次函数讲义

第4节幕函数与二次函数

考试要求1.通过具体实例，结合y=x,y=:，丁=%2,y=5，旷=炉的图象，理

解它们的变化规律，了解黑函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函

数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

基础知识诊断回顾教材，夯实基础

知识梳理

1.募函数

(1)基函数的定义

一般地，形如y=x"的函数称为塞函数,其中x是自变量，a为常数.

⑵常见的五种幕函数的图象

(3)幕函数的性质

①基函数在(0,+8)上都有定义；

②当a>0时，基函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当a<0时，基函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：=£)=加+"(:+。(。工0).

顶点式：./U)=a(无一机)2+〃(aW0),顶点坐标为(“Z,〃).

零点式：.*x)=a(x—xi)(x—X2)(aW0),xi,X2为八x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

函数y=ax1+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0')

图象1

(抛物线)牛、1

定义域R

4cle—b2,、(4QC—庐

值域L4〃，+叼-8.

1，4a」

b

对称轴X=—2a

顶点(24-C一—

I—2«—4aJ

坐标

奇偶性当8=0时是偶函数，当:WO时是非奇非偶函数

在(b~在(一8,一/

上是减函数；上是增函数；

，2a」

单调性

[-5+°°)上是增函数在［-品+8)上是遮函数

在

［常用结论与微点提醒］

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若次%)=0?+-+以。/0),则当时恒有人幻〉0；当时，恒有

U<0U<0

段)<0.

3.(1)幕函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；

(2)基函数的图象过定点(1,1),如果基函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是

原点.

诊断自测

思考辨析、

1.判断下列结论正误(在括号内打"J"或"X”)

(1)函数y=2石是基函数.()

(2)当a>0时，幕函数y=K在(0,+8)上是增函数.()

(3)二次函数^=0?+云+。(。/0)的两个零点可以确定函数的解析式.()

(4)二次函数y=or2+bx+c(xW伍，句)的最值一定是一而一.()

解析⑴由于嘉函数的解析式为/(x)=F,故丁=2炉不是福函数，⑴错.

(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析

式.

(4)对称轴尸一去b当一为h小于。或大于匕时，最值不4-ClC——是力？故(4)错.

答案(l)x(2)V(3)X(4)X

教材衍化、

2.(多填题X老教材必修1P79T1改编)已知幕函数的图象过点(，坐

贝0k=，a=.

解析因为_Ax)=%.y是黑函数，所以％=1.

又7U)的图象过点《，啕，所以=乎，

所以a=1.

答案1\

3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数次x)=o?+2x—3在区间(一8,4)上单

调递增，则实数。的取值范围是.

解析当a=0时，«r)=2x—3在(一8,4)单调递增.

当a#0时，於)在(—8,4)上单调递增.

卜<0,

则a需满足1解得一；Wa<0.

Ia

综上可知，-；WaW0.

答案°

考题体验、

4.(2016.全国III卷)已知a=2,，。=31，c=25：,则()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<h

解析因为a=2?=4|,b=3|,c=51又在(0,+8)上是增函数，所以

c>a>b.

答案A

5.(2020-广东省实验中学质检)已知函数/U)=3/—2(加+3)x+机+3的值域为[0,

+8),则实数机的取值范围为()

A.{0,-3}B.[—3，0]

C.{0,3}D.(—8,-3]U[0,+00)

解析依题意，得/=4(m+3>—4X3("?+3)=0,则"2=0或m——3..,•实数m

的取值范围是{0,-3}.

答案A

6.(2018.上海卷)已知a1—2,-1,g,1,2,31.若幕函数危)="为奇函

数，且在(0,+8)上递减，则a=.

解析由旷=非为奇函数，知a取一1,1,3.

又}>=产在(0,+8)上递减，/.a<0,取a=-1.

答案T

I考点聚焦突破分类讲练，以例求法"

考点一累函数的图象和性质

[例1](1)基函数y=/(x)的图象过点(4,2),则基函数的大致图象是

()

(2)(2020•衡水中学调研)已知点(加，8)在幕函数於)=(〃?-1)炉的图象上，设a=

.后)，b=fi\n7i),c=fl2~\),则a,b,c的大小关系是()

\.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.b<a<c

解析(1)设嘉函数的解析式为y=F,

因为嘉函数y=/(x)的图象过点(4,2),

所以2=4。，解得0(=/

所以y=五，其定义域为［0,+8),且是增函数，当0令<1时，其图象在直线y

=》的上方，对照选项，C正确.

(2)由于人幻=(〃?-1)x"为黑函数，

所以m—1=1,则"2=2,.**)=炉.

又点(2,8)在函数於)=炉的图象上,

所以8=2",知〃=3,故共处=如，且在R上是增函数，

又In兀>1>2-；=冬;，

所以4n贝！］b>c>a.

答案(1)C(2)A

规律方法1.对于赛函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为

六个区域，即x=l,y=1,y=x所分区域.根据a<0,0<a<l,a=1,a>l的取值

确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较取值的大小时，必须结合凝值的特点，选择适当的函数，借助其单调性

进行比较.

【训练1】(1)(多选题)已知点,，热幕函数段)=3—1)/的图象上，则函数於)

是()

A.奇函数

B.偶函数

C.(0,+8)上的增函数

D.(0,+8)上的减函数

(2)若累函数尸白，y=x"与尸产在第一象限内的图象如图所示，则m与n的

取值情况为()

A.—1<m<O<n<1B.—1<n<O<m

C.—l<m<O<nD.-l<A2<0<m<l

解析(1)由题意得1=1,且;=a〃，因此a=2,且。=—1,故/(x)=xT是奇

函数，且在(0,+8)上是减函数.

(2)嘉函数y=F,当a〉0时，丫=犬在(0,+8)上为增函数，且0<々<1时，图象上

凸，...Ocmvl.

当a<0时，y=¥在(0,+8)上为减函数.

不妨令x=2,由图象得2一1<2",则一1<〃<0.

综上可知，-1<〃<0<加<1.

答案(1)AD(2)D

考点二二次函数的解析式

【例2】(一题多解)已知二次函数./U)满足/2)=—1,人-1)=-1,且yu)的最大

值是8,试确定该二次函数的解析式.

解法一(利用“一般式”解题)

"4a+2Z?+c=-1,(

|a=~4,

由题意得(a~h+c=~X'解得｛6=4,

〔工4ac—^lr=8，r"7.

二所求二次函数的解析式为/U)=-4f+4x+7.

法二(利用“顶点式”解题)

设/(x)=a(x—机)2+〃(aW0).

因为X2)=火一1)，

所以抛物线的对称轴为x=2+；一所以加弓

又根据题意，函数有最大值8,所以〃=8,

因为犬2)=—1,所以，2—，+8=—1,解得a=-4,

2

所以/U)=—4(x—g)+8=—4f+4x+7.

法三(利用“零点式”解题)

由已知«r)+1=0的两根为的=2,X2=~\,

故可设九。+1=a(x—2)(x+l)(a#0),

即式尤)=加一奴

4ci(—2a—1)—(—a)2

又函数有最大值8,即----------7----------------=8.

解得a=—4或a=0(舍).

故所求函数的解析式为/(九)=—

规律方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰

当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：

【训练2】已知二次函数兀r)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为

2,并且对任意xWR,都有人2—x)=/(2+x),则_/(x)=.

解析因为12—x)=/(2+x)对xGR恒成立，

所以y=/(x)的图象关于x=2对称.

又y=/(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,

22

所以«r)=0的两根为2—5=1或2+/=3.

所以二次函数人九)与x轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0).

因此设_/(x)=a(x—l)(x—3).

又点(4,3)在y=/U)的图象上，

所以3a=3,则a=l.

故«r)=(x—l)(x—3)=/—4x+3.

答案x2—4x+3

考点三二次函数的图象及应用

[例3](1)对数函数y=logax(a>0且aWl)与二次函数y=(a—l)f—x在同一坐

标系内的图象可能是()

(2)设函数凡冷=*+%+〃(<7>0),已知则(

A次机+1)20B次加+l)W0

C见"+1)>0D；/(m+1)<0

解析⑴若0<&<1,则y=log“x在(0,+8)上单调递减，y=(a—l)f—x开口向

下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C,D.

若a>l,则y=log“x在(0,+8)上是增函数，

y=(a—I)%2—x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，

因此B项不正确，只有选项A满足.

(2)因为於)的对称轴为X=-3,/0)=47>0,所以於)的大致图

象如图所示.\3/

由人机)<0,得一1<根<0,

所以加+1>0,所以直加+1)/0)>0.

答案(1)A(2)C

规律方法1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中

有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交

点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.

2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关

系成立的条件.

【训练3]一次函数y=or+Z?与二次函数^=0?+法+<:在同一坐标系中的图象

大致是()

解析A中，由一次函数y=or+b的图象可得。>0,此时二次函数y=o?+法+

c的图象应该开口向上，A错误；

B中，由一次函数y=ox+b的图象可得a>0,Z?>0,此时二次函数了=加+笈+,

的图象应该开口向上，对称轴光=一盘<0,B错误；C中，由一次函数

的图象可得a<0,b<0,此时二次函数y=o?+bx+c的图象应该开口向下，对称

b

轴x=—石<0,C正确；

D中，由一次函数y=ox+b的图象可得4<0,b<0,此时二次函数〉=加+区+,

的图象应该开口向下，D错误.

答案C

考点四二次函数的性质--多维探究

角度1二次函数的单调性与最值

【例4一1】已知二次函数./0)=加+法+1(。，8SR且aWO),xWR.

(1)若函数/(x)的最小值为4-1)=0,求/U)的解析式，并写出单调区间；

(2)在(1)的条件下，«r)>x+Z在区间］-3,—1］上恒成立，试求女的取值范围.

%>0,

b［«=1,

解(1)由题意知《一万=一1,解得4,_c

乙aS=2.

J(—1)=。-b+l=0,

所以«r)=x2+2x+1,

由«r)=(x+l)2知，函数/U)的单调递增区间为［-1,+8),单调递减区间为

(一8,-1］.

⑵由题意知，f+2x+1>尤+4在区间［—3,—1］上恒成立，即左<%2+工+1在区间

［—3,—1］上恒成立，

令g(x)=x2+%+1,x£［—3,—1］,

2

由g(x)=(x+；)+日知g(x)在区间［―3,—1］上是减函数，则g(x)min=g(-1)=1,

所以k<\,

故上的取值范围是(一8,1).

角度2二次函数中的恒成立问题

【例4—2］(2020・沈阳模拟)已知函数/(x)=-f+or—6,g(x)=x+4.若对任意

xiW(0,+℃>),存在%2e(—oo,—1］,使凡ri)Wg(X2),则实数a的最大值为

()

A.6B.4C.3D.2

解析由题思/(X)maxWg(x)max,(*)

由g(X)在(一8,—1］上单调递增，则g(x)max=g(—1)=3,

V)2

fix)=—x1+ax—6=—+j-6.

当aWO时，/U)在［0,+8)上单调递减，

所以X%)</(0)=—6,显然/(X)<g(X)max=3.

所以当aWO时，(*)恒成立.

当a>0时，x=2e(0,+°°),.\/(x)max=_4j尸6.

2

此时应有6W3,且。〉0,解得0<ezW6.

综上可知aW6,则a的最大值为6.

答案A

规律方法1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指

区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类

讨论的思想求解.

2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数

是否易分离.这两个思路的依据是：恒成立穴X)max,a〈凡r)恒成立

5/(X)min.

【训练4】(1)(角度1)若函数的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,

0),则函数yu)()

A.在(一8,2］上递减，在［2,+8)上递增

B.在(一8,3)上递增

C.在［1,3］上递增

D.单调性不能确定

(2)(角度2)若函数/(x)=a?—(2a+l)x+a+l对于》0一1,1］时恒有加:)20,则

实数a的取值范围是.

解析(1)由已知可得该函数图象的对称轴为x=2,又二次项系数为1>0,所以

.八》)在(-8,2］上是递减的，在［2,+8)上是递增的.

(2)VAE［-1,1］时，式》)200以》—1)2»%—1.(*)

当x=l时，«£R,(*)式恒成立.

当1,1)时，(*)式等价于a2T彳恒成立.

又片占在［一八1

1)上是减函数,2-

综上知a?一

答案(1)A(2)—g,+8)

用层限时训练I分层训练；提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.(2020・濮阳模拟)已知函数/U)=(加2—机—1)制水+2加-3是基函数，且其图象与

两坐标轴都没有交点，则实数加=()

A.-lB.2C.3D.2或一1

解析由题意，得加2—7n—1=1,解得机=2或根=—1.

当"2=2时，.大力二X5的图象与坐标轴有交点，不合题意.

当/?t=—1时，的图象与坐标轴无交点，符合题意.

综上可知，m=­l.

答案A

2.已知p：|/n+l|<l,q-基函数y=("/一九—1)/在(0,+8)上单调递减，则〃

是夕的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析p：由依+1］＜1得-2＜加＜0,

又嘉函数加一1W"在（0,+8）上单调递减，

所以苏—m—1=1,且加＜0,解得机=—1.

故〃是夕的必要不充分条件.

答案B

3.若函数j［x）=^+ax+b在区间［0,1］上的最大值是M,最小值是m,则M-

机（）

A.与。有关，且与b有关B.与。有关，但与b无关

C.与a无关,且与b无关D.与。无关，但与。有关

解析设尤1,也分别是函数/U）在［0,1］上的最小值点与最大值点，则加=X+axi

+b,M=jA+axi+b.

所以加一加=的一3+4（龙2—m），显然此值与a有关，与。无关.

答案B

4.（多选题X2020•济南一中调研）定义在R上的函数«r）=-9+〃2与函数g（x）=/（x）

+_?+/一依在［-1,1］上具有相同的单调性，则人的取值可以是（）

A.lB.1C.2D.3

解析易知大x）=—必+加在R上是减函数.

依题设，函数g（x）=f—丘+机在［-1,1］上单调递减.

抛物线的对称轴尤=拄1,则右2.故人的取值可以是2,3.

答案CD

5.若函数y=/—3x—4的定义域为［0,m］,值域为一学一4,则加的取值范围

是（）

［3~\

A.［0,4］B.2，4

一3、「3一

C.5,+°°ID,5，3

3

-且

解析二次函数图象的对称轴为25

|,3

*0）=—4,结合函数图象（如图所示），可得

答案D

二、填空题

6.已知函数7（x）为累函数，且次4）=；,则当/（.）=软。+3）时，实数。等于

解析设段）=V，则4a=*所以a=一/

1111

因此yu）=x—2，从而〃G=4m+3）G，解得〃=亍

答案I

7.已知函数兀x）=—f+4x+a,xG［O,1］,若於）有最小值-2,则汽幻的最大值

为.

解析y（x）=—x2+4x+tz=—（%—2）2+6z+4,

二函数«r）=—W+4x+a在［0,1］上单调递增，

.•.当x=0时，兀t）取得最小值，当x=l时，.*x）取得最大值，

•*.y（0）=tz=一2,y（l）=3+a=3—2—1.

答案1

8.已知二次函数人x）满足.*2+x）=/（2—x）,且式x）在［0,2］上是增函数，若

fia）宓0）,则实数a的取值范围是.

解析由题意可知函数7U）的图象开口向下，对称轴为X=2（如

图），若_/（。）三穴0），从图象观察可知0WaW4.

答案［0,4］4N

三'解答题

9.已知函数兀。=/+2以+3,%£［-4,6］.

（1）当。=-2时，求/U）的最值；

（2）求实数。的取值范围，使y=/（x）在区间［―4,6］上是单调函数.

解（1）当.=一2时，大防=/一期+3=（%—2）2—1,由于xd［—4,6］,

.•/x）在［―4,2］上单调递减，在［2,6］上单调递增，

二於）的最小值是贝2）=—1,

又人-4）=35,x6）=15,故段）的最大值是35.

（2）由于函数_/U）的图象开口向上，对称轴是*=一。，所以要使.*x）在［-4,6］上是

单调函数，应有一aW—4或一a»6,即aW—6或

故a的取值范围是(一8,—6]U[4,+°°).

10.已知痔函数«¥)=("?—1)2%m2-4加+2在(0,+8)上单调递增，函数ga)=2,

~k.

⑴求m的值;

⑵当2)时，记.*x),g(x)的值域分别为集合A,B,设p：x&A,17：

x&B,若p是q成立的必要条件，求实数%的取值范围.

解(1)依题意得：(加-1)2=10m=0或旭=2,

当阳=2时，/)=£2在(0,十8)上单调递减，与题设矛盾，舍去，，机=0.

⑵由⑴得,

当xW[l,2)时，Xx)G[l,4),即4=[1,4),

当xG[l,2)时,g(x)W[2—怎4一勒

即B=[2~k,4—B),

因p是q成立的必要条件，则BQA,

C2T2仅W1,

则即…得04W1.

4TW4

故实数人的取值范围是[0,□.

B级能力提升

11.基函数y=K,当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它

们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(l,0),8(0,

1),连接AB,线段A3恰好被其中的两个幕函数y=xa,y

=#的图象三等分，即有BM=MN=NA,那么a—'=

()

A.OB.lC.1D.2

解析BM=MN=NA,点、A(T,0),8(0,1),

2'21

所以3,3,

9112

将两点坐标分别代入y=x(,,y=/,得a=logR,/?=log^,^=log^—

,21

崎

答案A

12.已知在(一8,1]上递减的函数次工)=/-2a+1,且对任意的尤1,x2ef0,t+

1],总有IAK)-/(X2)|W2,则实数，的取值范围是()

A.[—&，也B.[L

C.[2,3]D.[l,2]

解析由于火幻二X2—2及+1的图象的对称轴为x=r,

又y=7U)在(一8,1]上是减函数，所以

则在区间[0,t+1]上,y(X)max=y(o)=1,

y(X)min=y(Z)=F—2广+1——尸+1,

要使对任意的XI,x2e[0,t+\],都有|/UD-/(X2)|W2,

只需1—(―»+l)W2,解得一也WfW也.

又21,这隹

答案B

13.已知函数«1)=/加+(2—〃z)x+〃(加>0),当一IWxWl时,恒成立,则

局=--------

解析当工r[-1,1]时，版x)|Wl恒成立.

|/(0)|W1=|川Wl=-

•《

•1[/>(I)|Wlo|2+川W10一3W”〈一1,

因此〃=-1,/./0)=-1,/1)=1.

由ZU)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x=0,：.2—m=Q,m

=2,

.；")=力?-1,.,.局=一去

答案g

14.已知二次函数/U)满足7U+1)—於)=2x,且式0)=1.

(1)求人尤)的解析式；

(2)当xd[—l,1]时，函数y=/(x)的图象恒在函数y=2x+〃?的图象的上方，求实

数〃2的取值范围.

解(1)设4x)=o?+bx+c(aWO),

由«r+1)-/(x)=2x,得2or+a+/?=2x.

所以，2a=2且a+b=O,解得a=l,b=—\,

又式0)=1,所以c=l.

因此7U)的解析式为/U)=