高考考点3导数与定积分（卷A）

考点3导数与定积分

(A卷)

2.(★★★)(2015•河北省唐山市高三第三次模拟考试•12)关于曲线C:,给出下列四个命

题：

①曲线C关于原点对称；②曲线C有且仅有两条对称轴；③曲线C的周长I满足1>4；④曲

线C上的点到原点距离的最小值为。上述命题中，真命题的个数是()

A.lB,2C.3D.4

易错题；第四个命题的处理比较麻烦，涉及到导数求最值。

3.(★★)(2015•哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试•12)定义在(0,+oo)上的单调函

数

/(x),Vxe(0,+oo),/[/(x)-log2x]=3,则方程/(x)-/'(x)=2的解所在区间是

()

A,(叫B.刖C.(l,2)D.(2,3)

易错题；容易忽略括号内为定值这一隐含条件。

7.(★★)(2015•海淀区高三年级第二学期期末练习・7)已知/(x)是定义域为R的偶函数,

当x40时，/(x)=(x+l)3e、+i.那么函数/(x)的极值点的个数是()

(A)5(B)4(C)3(D)2

易错题；容易遗漏原点。

9.(★★)(2015•合肥市高三第三次教学质量检测•10)定义在&上的函数/(x)满

足:f(x)>1且f(x)+f\x)>1,/(0)=5,其中f\x)是/(x)的导函数，则不等式

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In［/(x)—l］＞ln4-x的解集为()

A.(0,4-oo)B.(­oo,0)U(3,+8)

C.(—8,0)U(0,+8)D.(­oo,0)

易错题：对于题目给的条件要仔细把握。

13.(★★)函数/(》)=X2/在区间(出4+1)上存在极值点，则实数。的取值范围为.

易错题；容易遗漏，有两个极值点，所以a的范围有两个。

14.(★★★)(2015•苏锡常镇四市高三数学调研(二模)74)已知a,bGR,aWO,曲

线y="2,y=ax+2b+l,若两条曲线在区间［3,4］上至少有一个公共点，则a?+b2的最

x

小值为________

易错题；知识面涉及较广，糅合了点到直线距离，函数单调性以及基本不等

16.(2015•山东省实验中学高三第三次诊断考试20.)(本题满分12分)

已知函数/(x)=L詈.

(I)求函数/(X)的单调区间；

(II)若函数/(x)在区间，/+；卜＞0)上不是单调函数，求实数t的取值范围；

(III)如果当XNI时，不等式恒成立，求实数。的取值范围.

易错题为第三问；二次求导计算较为繁琐，容易出错。

17.(★★★)(2015-扬州中学第二学期开学检测•20)(本小题满分13分)

已知函数/(工)=》2+办+力,g(x)=Inx.

⑴记F(x)=f(x)-g(x)，求F(x)在［1,2］的最大值；

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(2)记G(x)=,令。=-4"?,b-4m2(meR),当0<〃7<1时，若函数G(x)

g(x)2

的3个极值点为石,工2，-3(再<%2<七),

(i)求证：0<2X]<X2<1<X3；

(ii)讨论函数G(x)的单调区间(用玉,々,须表示单调区间).

易错题；涉及对参数分析，求导，极值点的考虑。范围广，计算量较大。

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专题6导数与定积分

(A卷)答案与解析

1.【答案】D

【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义，直线与圆的位置关系，基本不等式.

【解析】由于f'(x)=--eaS故1<=¥(0)又f(0)=-,，则对应的切线方程

bbb

为y+—=——x,即ax+by+l=0,而切线与圆x2+y2=l相切，则有为/=r=l,即a2+b2=l,

bbyja1+h2

_________/Z

故有a+bW12(/+/)=及，当且仅当a=b=亭时等号成立.

2.【答案】C

【命题立意】本题重点考查图象的对称性，利用导数研究函数的单调性，难度较大.

【解析】由题意知疗+疗=1,将(—苍—月,(乂》),(—乂—工),(%,—/,(—％)),代入其方

程，其表达式不变，所以曲线关于原点和直线y=x,y=-x以及轴对称，所以①正确,

②错误，根据对称性，因为曲线与两坐标轴交点处的四条线段长为4近，而曲线是两坐标

轴交点处弧长，所以/〉4夜，故③正确，曲线到原点的距离的平方为/=*2+/,由

+=得y2=(1_,所以t/2=工2+、2=y2=r+(]_^?)3,

22

设，则f=〃3,。2=“3+(]_“)3,(j2y=3M-3(l-i/)=6»-3,当0<〃<1

11

时，(/)，<(),当”>；时，(/)，〉。，所以当时,--+-=

88—>得dN-.

42

3.【答案】C

【命题立意】本题旨在考查导数，函数零点存在性定理。

【解析】根据题意，对任意的X€(0,+oo),都有/[/(x)—10g2x]=3,又由f(x)是定

义在(0,+8)上的单调函数，则/(x)-log2X为定值，设，=/(X)-10g2X,则

f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,即log2t+t=3,解可得，t=2；则/(x)=log2X+2,

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/'(x)=—。因为f(x)-f(x)=2,所以log2x+2———=2即

xIn2xIn2

log,X一一=0,4-h(x)=log2X一一,因为〃(l)=log21-工=一工<0'

xln2xln2ln2m2

A(2)=log,2-----------=1一——>0，所以〃(x)=log2'———的零点在区间(1,2),

2In2In4xIn2

即方程/(x)—/'(x)=2的解所在的区间是(1,2)。

4.【答案】D

【命题立意】本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出a,b的值，利用导数研究函

数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强，难度较大.

【解析】；f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=2对称，

9+3a+b=0

.\f(1)=f(3),f(-1)=f(5),即

25+5a+b=0

,解得a=-8,b=15,即f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15,

贝ijf'(x)=-4X3+24X2-28X-8=-4(X-2)(X2-4X-1),

由f'(x)=0,解得x=2或x=2+J^或x=2-、后，由f'(x)>0,解得2Vx<2+有或xV

2-y/5,此时函数单调递增，由f'(x)<0,解得2-、6Vx<2或X>2+JL此时函数单

调递减，作出对应的函数图象如图：则当x=2+J?或2+«

时，函数f(x)取得极大值同时也是最大值，f(2+有)=16.

5.【答案】B

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【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义，导数及其应用.

【解析】由题可得f'(x)=ex—m,由于曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则e，一m=一

」有解，即m=e*+L而e*>。，故m>L

eee

6.【答案】B

【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义以及导数的计算.

_3

【解析】对于B选项：/'(x)=cosx的最大值为1,所以y=sinx不存在斜率为万的切线.故

选:B

7.【答案】C

【命题立意】本题考查了函数的奇偶性及利用导数判断函数的单调性.

【解析】当x<0时，/'(X)=3(x+1)2e'+i+(x+1)3ex+'=(x+1)2er+1(x+4),解/(x)=0,

得x=-4时=一1.因为xw(-oo,-4)时，/(x)<0：XG(—4,-1)时，/(x)>0；

xe(-l,0)时，/(x)>0.则/(x)在区间xe(—o,-4)上单调递减，在区间xw(-4,0)上单

调递增.又因为/(x)是定义域为R的偶函数，由其对称性可得，f(x)在区间xe(0,4)上单

调递减，在区间xe(4,+8)上单调递增.所以函数/(刀)在工=±4如=0出取得极值.

8.【答案】C

【命题立意】考查用定积分求面积，考查转化能力，容易题.

【解析】因为x+4=》2—x+1的解为》=—1或》=3,所以封闭图形的面积为

S=J3[X+4-(X2-x+l)]Jx=j(-X2+2x+3)t/x=(--^x3+x2+3x)L=予•

9.【答案】A

【命题立意】本题重点考查对数的运算法则以及利用导数研究函数的单调性，难度较大.

4

【解析】因为ln"(x)-l]〉ln4—x,所以ln"(x)-l]>ln4e-,即/\x)—1>一，

ex

f(x)ev-ev>4,设F(x)=f{x}ex-ex-4,

则Ff(x)=f(x)ex+f(x)ex-ex=(/(%)+/(x)-l)e\因为/(x)+/(x)-l>0,所以

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F\x)>0,尸(x)在R上为单调递增函数，又因为尸(0)=/(0)—1-4=0,所以

F(x)>0F(x)>F(0)=x>0.

10.【答案】A

【命题立意】本题旨在考查函数与导数的关系，不等式的解法.

【解析】设g(x)=exf(x)-ex)(xGR),则g，(x)=exf(x)+exf(x)-ex=ex[f(x)+F(x)

-1],Vf'(x)>l-f(x),：.f(x)+f(x)-l>0,.*(x)>0,

y=g(x)在定义域上单调递增,".'e^(x)>ex+5,/.g(x)>5,

又,.,g(0)=e°f(0)-e0=6-l=5,；.g(x)>g(0),.,.x>0,

不等式的解集为(0,+8)，故选：A.

11.【答案】1

【命题立意】本题旨在考查平面向量的基本运算，定积分的运算.

兀

UULUuni!uum1uuffuuorn

【解析】如图，AM=mAB+nAC=—AB+AC,sinxdx=-cosx〃二1•

2I~2

12.【答案】1一®

2

【命题立意】本题考查了正弦型函数的图象、定积分的几何意义及曲边梯形的面积.

T27r7C7T

【解析】由图象可知4=1,一=——(一一)二肛.・・刃=1,/(x)=sin(x一一),图中其与工

2336

7F

轴的交点横坐标为2,所以图中的阴影部分的面积为

6

£6[-sin(x-^)]t/x=cos(x—*)|工=

【易错警示】用定积分计算平面区域的面积，确定被积函数是解决问题的关键.通常，先画

出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、卜限.被积函数一般转化为

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上方函数与下方函数的差.

13.【答案】(一3,-2)。(—1,0);

【命题立意】本题考查函数的极值，方法是借助函数的导数求出函数的极值点判断出函数的

单调区间.

【解析】函数/(x)=//的导数为;/=2洸,+―/=配1%+2),令y'=0,则x=0或

X=-2,当XE(-2,0)时/(X)单调递减，当X£(-8,-2)和X£(0,+8)时/(x)单调递

增.•.()和2是函数的极值点，因为函数=在区间(W°+1)上存在极值点，所

以〃＜一2＜。+1或a＜0＜a+ln-3＜。＜-2或-

14.【答案】-

100

【命题立意】本题旨在考查点到直线的距离公式、基本不等式、函数的单调性.

【解析】由@±2=ax+2b+l,整理可得ax?+(2b+l)x—a—2=0,那么两条曲线在区间［3,

x

4］上至少有一个公共点可转化为方程ax?+(2b+l)x-a—2=0在区间［3,4J上至少有

个实根，进而把等式看成关于a、b的直线方程：(x2—l)a+2xb+x—2=0,而直线上一

点(a,b)到原点的距离大于等于原点到宜线的距离，即y/a2+b2三

|x-2|那么只要求f(X)=匕二21,xe［3,4］时的最小值即可,

J」—+(2»f+iX2+l

令u=x-2,贝2］,刃B么f(u)=----二---=-r-------=--------,又g(u)

(M+2)2+1“2+4〃+5,5

')UH---F4

U

=u+-［l,2］上为增函数，则u=l时，即x=3时.，f(x)取得最小值此时a2+b2的

u10

最小值为---.

100

15.【答案】1-出2

【命题立意】本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义.

【解析】由函数图象知，由y=^,x=l,x=2,y=l所围成的封闭图形的面积为

X

j(l-L)dx=(x-lnx):二l一/〃2.

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16..【答案】(l)/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减(II)l<r<l(III)a<2

【命题立意】本题考查了利用导数判断函数的单调性、最值，函数恒成立问题.

1nY

【解析】(1)/(x)=一一^(x>0),

X

解/(x)>0,得0<x<l；解/(x)<0,得x>l；

所以/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

(2)因为函数/(x)在区间",/+；卜>0)上不是单调函数，所以(+1J解得

(X+1)(14-Inx)LHX-

(3)不等式/(x)2/j■恒成立,即0n2----------------->a恒成乂,

x

(x+1)(1+Inx)[(x+1)(1+Inx)]'x-(x+1)(1+Inx)x-\nx

令g(x)=则g(x)

x

令h(x)=x-lnx,则〃(x)=1-L

x

•・,XN1,，/Z'(X)NO,.•・〃(X)在[l,+8)上单调递增，，6(X)min=〃(1)=1>0,从而g(X)>0，

所以g(x)h(x)在［1,+OO)上单调递增，且g(x)min=g(l)=2,所以Q<2.

1Z【答案】(1)当QWln2—3时，F(x)max=7^1)=a+b+l

当〃〉ln2—3时，F(x)max=F(2)=2tz+/?+4-ln2；(2)略；函数G(x)的单调递增

区间是(匹,工2)(%3，+8)，单调递减区间是(。,再)(/J)

【命题立意】本题考查的是利用导数求函数的最值，证明不等式以及求函数的单调区间.

【解析】(1)F(A")=x2+ax+/)-Inx(x>0)

2

E/Y八c12x+ax-l

F\X)=2x+a——=--------------

xx..........2分

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人e/、c/口—a—da"+8八-a+J〃~+8八

令E（x）=O,得]]=-------------<0,x=------------>0

424

尸（X）=2（xfXxX2）.....3分

X

列表如下：

（0/2）（工2'+0°）

Xx2

尸（x）—0+

尸（X）递减极小值递增

易知尸（X）皿=max｛尸（1）,尸（2）｝

而尸（1）一尸（2）=（。+6+1）-（24+6+4-如2）=-4+如2-3

所以当aWln2—3时，F（x）max=F（l）=a+Z）+l

当a>ln2—3时，F（x）max=F（2）=2a+Z）+4-ln2.....5分

（x-2m\21nx+-1

（2）G（'）=-------~~—

Inx

令A（x）=21nx+迎一1,"（x）=二J加

XX

又人（X）在（0,加）上单调减，在（〃7,+0。）上单调增，所以/?（x）min=M〃2