高中函数反函数题42道

反函数精选题42道

选择题(共16小题)

1.设“ER,若f(x)=log2(x+〃)的反函数的图象经过点(3,1),则()

A.7B.3C.1D,-1

2丫3c0

:一的反函数是()

{-x2,%<0

(X、八

2,X20住北。

A•产jQxVOB.

-V'j-y^X,X<0

2x,x>0

y=-x<o

3.设函数(x)与y=2*的图象关于直线y=x对称，则/(2)=()

_1

A.4B.V2C.1D.-

4.若函数_y=/(x)与函数y=log2x互为反函数，贝厅(1+log或3)=()

A.9B.11C.16D.18

5.定义在R上的函数/(X)有反函数(x),若有［Ct)V(7)=2恒成立，则，1(2020x-)+f'x(x-2018)

的值为()

A.0B.2C.-2D.不能确定

6.己知函数/(x)为R上的单调函数，fl(x)是它的反函数，点4(-2,3)和点8(2,1)均在函数/(x)的

图象上，则不等式，।(3，)|<2的解集为()

A.(0,1)B.(1,3)C.(-1,1)D.(0,3)

7.设函数/'(X)与g(x)=b/〃x的图象关于直线x-y=0对称，其中a,56R且a>0,a,b满足()

b

A.a+b=2B.a=b=1C.ab=\D.-=1

a

8.函数y=sinx,xW脸，竽]的反函数为()

A.y=arcsinx,xE[-1,1]B.y--arcsinx,xG[-1,1]

C.^=ii+arcsinx,xE[-1,1]D.y=n-arcsinx,xE[-1,1]

9.函数y=)9一1(xWO)的反函数是()

A.y=+1)3-1)B.y=--y/(x+l)3(冗2-1)

C.y=+1)3(x20)D.尸—1(x+1尸(x,0)

10.已知f(x)=-V4-工2的反函数为/T(%)=V4-N,则/(x)的定义域为()

第1页(共20页)

A.(-2,0)B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,2]

11.设函数y=/(x)存在反函数(x),且函数的图象过点(1,3),则函数(x)+3的图

象一定经过定点()

A.(1,1)B.(3,1)C.(-2,4)D.(-2,1)

12.已知函数人©=盘刍的反函数图象的对称中心是(-1,3),则实数”的值是()

A.2B.3C.-3D.-4

13.若定义域为R的奇函数y=/(x)有反函数夕=/r(x),那么必在函数y=/7(x+1)图象上的点是()

A.(-f(Z-1)>-f)B.(-/(f+l),-t)

C.(-f(t)-1,-t)D.(-/(E)+1,-/)

14.如果函数/(x)=|/g|2x-1||在定义域的某个子区间(k-1,Z+1)上不存在反函数，则左的取值范围是()

A.[-^2)B.(1,引

13

C.[-1,2)D.(-1，-2]U[2，2)

1

15.若函数y=/(x)是函数尸3、的反函数，则/(])的值为()

1L

A.-log23B.-logs2C.-D.v3

9

17.设常数a€R,函数/(x)=log2(x+a).若/(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a=.

18.已知函数/(x)—l+logox.y—f1(x)是函数y=/(x)的反函数，若y=/"i(x)的图象过点(2,4),则a

的值为.

19.已知/(x)=/1，其反函数为广।(%),若/।(x)-a=f(x+a)有实数根，则a的取值范围

为.

第2页(共20页)

20.若函数/(x)=底不可的反函数为g(x),则函数g(x)的零点为.

21.函数/(x)=/,(x<-2)的反函数是.

(2x(x<O')1

22.已知函数/(x)=,一八的反函数是尸(x),则7(-)=______.

[log2x(0<x<1)2

23.函数/(x)—x1-1(x<0)的反函数(x)=.

24.函数/(x)=。「+1的反函数是.

25.设尸(x)为/(x)Wcosx+年泪0,E的反函数，则尸(x)的最大值为•

26.已知函数/(x)=筌9(“羊/)图象与它的反函数图象重合，则实数。=.

27.已知函数/(x)="-1的图象经过(1,1)点，则，1(3)=.

28.函数y=/+l(xW-1)的反函数为.

29.已知函数/(x)=J"°，则广广(-9)尸_____.

12r-1,X<0

30.已知函数/(x)=x2-3tx+\,其定义域为[0,3]U[12,15],若函数y=f(x)在其定义域内有反函数，则实数

t的取值范围是.

31.已知指数函数的图象过点(2,4),则其反函数为.

32.已知函数/(x)=2+logaX(a>0且aWl)的反函数为y=/r(x).若广(3)=2,贝！Ia=.

33.已知/(x)=/(3x-3r)的反函数为/I(x),当xe[-3,5]时，函数产(x)=/小(x-1)+1的最大值为M，

最小值为加，则M+m=.

三.解答题(共9小题)

1

34.设。>0,函数/。)=耳西・

(I)若。=1,求/(x)的反函数/I(x)；

(2)求函数y=/(x)•/(-x)的最大值(用a表示)；

(3)设g(x)=f(x)-/(x-1).若对任意xG(-°°,0],g(x)2g(0)恒成立,求a的取值范围.

35.己知函数/(x)—2X-1的反函数是y=/r(x),g(x)—log4(3x+l).

(1)画出/(x)=2X-1的图象；

(2)解方程(x)=g(x).

36.已知函数/(x)为函数^=疝(。>0,。#1)的反函数，/(5)>/(6),且/(x)在区间[a,3“]上的最大值与

最小值之差为1.

(1)求a的值；

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(2)解关于x的不等式Zogi(x-1)>log-L(9a-x).

37.已知函数/(x)=/”(x]+a).

(1)设/I(%)是的反函数，当°=1时，解不等式I1(x)>0；

(2)若关于x的方程/(X)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素，求实数。的值；

(3)设。>0,若对任意正日，1],函数f(x)在区间[3f+1]上的最大值与最小值的差不超过加2,求。的取值范

围.

38.己知函数y=g(x)与/(x)=3、的图象关于y=x对称.

(1)若函数g(扇+2*+1)的值域为R,求实数/的取值范围；

(2)若0<XI<X2且|g(XI)|=|g(X2)I，求4X1+X2的最小值.

39.设函数，。)=空三(。6/?)是R上的奇函数.

(1)求。的值，并求函数/(x)的反函数(x)解析式；

(2)若人为正实数，解关于x的不等式广i(x)>)牛.

40.己知函数f(x)=高，其中常数入>0.

(1)求人=1时，函数y=/(x)的反函数；

(2)求证：函数y=/(x)的图象关于点P(0,早)成中心对称.

x-b

41.已知函数/(x)=log"^q^(a>0,aWl,6W0).

(1)求函数/(x)的定义域；

(2)判断函数/(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)求/(x)的反函数/I(x)的解析式.

42.已知集合4=32--5X+2W0},函数y=22-3计3反函数的定义域为凡

(1)若。=-1,求/A8；

(2)若求实数a的取值范围：

(3)若方程log2(ax2-3x+3)=2在/内有解，求实数。的取值范围.

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反函数精选题42道

参考答案与试题解析

一.选择题(共16小题)

1.设〃ER,若f(x)=log2(x+a)的反函数的图象经过点(3,1),贝！J4=()

D.-1

【解答］解：若>=10g2G+〃)的反函数的图象经过点(3,1),

则函数y=log2(x+a)的图象经过点(1,3),

即k>g2(Q+1)=3,

解得：4=7,

故选：A.

2.函数尸产'J2°的反函数是()

(-%2,%<0

2,%0(2，%N0

A•产(cxvob-y=\-^,x<0

'2x,x>0

(2x,x>0

【解答】解：一%2,工20时，由y=2无，解得x=/y,把x与歹互换可得：y=

x<0,由^=-9,解得x=—Q,把x与y互换可得：y—尸.

二函数夕={_%2,xvo的反函数是y=12.

一7-x>xVO

故选：B.

3.设函数y=/(x)与尸=2、的图象关于直线y=x对称，则/(2)=()

B.V2

【解答】解：由题意可得y=/(x)与y=2x互为反函数，指数函数的反函数为同底的对数函数,

2*=2,可得x=l

所以f(2)=1,

故选：C.

4.若函数y=/(x)与函数y=log2X互为反函数，贝叶(1+log或3)=()

A.9B.11C.16D.18

第5页(共20页)

【解答】解：因为函数y=/(x)与函数y=log”互为反函数,

所以f(x)=2X,

1+loa3l09

所以f(l+Zog夜3)=2^=2x2sg或3=2x2^=2x9=18,

故选：D.

5.定义在R上的函数/(x)有反函数/F(x),若有/(x)》(-x)=2恒成立，则，1(2020-x)+f'(x-2018)

的值为()

A.0B.2C.-2D.不能确定

【解答】解：(x)(-x)=2,.•./(/)4/(-/)=2,

令2020-x—m,x-2018=",.'.m+n—2,

可令/'(f)—m,/(-r)—n,由反函数的定义知，

'(»7),-t=f1(n)

(m)+/1(n)=0,

即：/'(2020-x)+/"1(x-2018)的值是0,

故选：A.

6.已知函数/(x)为R上的单调函数，/'G)是它的反函数，点/(-2,3)和点8(2,1)均在函数/(x)的

图象上，则不等式『I(3、)|<2的解集为()

A.(0,1)B.(1,3)C.(-1,1)D.(0,3)

【解答】解：依题意，点/(-2,3)和点8(2,1)均在函数/(x)的图象上，

：.f(x)为其定义域内的减函数，

.V1(x)为其定义域内的减函数，

(3D|<2Q-2</i(3D<2,

又点4(-2,3)和点8(2,1)关于y=x的对称点H(3,-2),(1,2)在/i(x)图象上，

所以/(3)=-2,/(I)=2,

：.-2<f](3X)V2Q1V3Y3,解得0<x<l,

故选：A.

7.设函数/(x)=/£与g(x)=b/〃x的图象关于直线x-y=0对称，其中a,b€R且。>0,则a,6满足()

b

A.a+b=2B.a=b=\C.ab=lD.-=1

a

【解答】解：设Z(x,是函数/(x)=e"图象上任意一点，

则它关于直线x-y=0对称的点4i(e。"》)在函数g(x)=6加x的图象上，

ax

所以x=blne=abx9

第6页(共20页)

即ab=l,

故选：C.

8.函数尸sinx,x€或，堂的反函数为()

A.y=arcsinx,xE[-1,1]B.y=-arcsinx,xE[-1,1]

C.y=n+arcsiiir,xE[-1,1]D.y=n-arcsinx,xG[-1,1]

【解答】解：由于xC吟，为时，-WsiarWl,而arcsitw,xe[-1,1],表示在区间[―£,堂上，正弦值等于x

的一个角，

故函数y=sinx,xC怎，手]的反函数为y=n-arcsinx,x€[-1,1],

故选：D.

9.函数》=)乒一1(x<0)的反函数是()

A.y=J(x+(xN-1)B.y=—^/(x4-1)3-1)

C.y=^/(x4-1)3(x20)D.y=—y/(x+l)3(x，0)

【解答】解：由—1GWO)得

所以尸-120,且(y+1)3=~

因为所以工=-J(y+1)3且42-1,

所以反函数为y=-J(x+1)3G2-1)

故选:B.

10.已知/(%)=-，4一%2的反函数为fT(%)=。4一X2,则/(X)的定义域为()

A.(-2,0)B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,2]

【解答】解：由于/(X)=-反，的反函数为广1。)=74^2,

・・,原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域；

・•・泣冷・•廨唯/J

・・・0WxW2；

故/G)的定义域为[0,2].

故选：D.

11.设函数歹=/(x)存在反函数y=/r(x),且函数y=x-/(x)的图象过点(1,3),则函数y=7.i(x)+3的图

象一定经过定点()

A.(1,1)B.(3,1)C.(-2,4)D.(-2,1)

第7页(共20页)

【解答】解：•.7=x-/(x)的图象过点(1,3),

；.3=1-/⑴，

即/⑴=-2,

即函数y=/(x)的图象过点(1,-2),

则函数y=/(x)的反函数(x)过(-2,1)点，

函数(x)+3的图象一定过点(-2,4),

故选：C.

12.己知函数/(%)=(言的反函数图象的对称中心是(-1,3),则实数。的值是()

A.2B.3C.-3D.-4

【解答】解：函数f(x)=占刍:的反函数图象的对称中心是(-I,3),所以原函数的对称中心为(3,-1),

函数化为/(乃=$、=-1+二~7,所以。+1=3,所以a=2.

X-u—1X—CL—1

故选：A.

13.若定义域为R的奇函数夕=/(x)有反函数夕=/r(x),那么必在函数y=/7(x+1)图象上的点是()

A.(-f(/-1),-Z)B.(-f(f+1),-t)

C.(~f(/)-1,-t)-t)

【解答】解；•.丁(x)定义在R上的奇函数，.••/•(-/)=-/(/),V(-/(/))=-t,即(-/(力，-t)在y

।(x)的图象上，

•.>=/'(x+1)图象是由y=/r(x)的图象向左平移1个单位得到的，

A(-f(f)-1,-力在y=/r(x+1)图象上.

故选：C.

14.如果函数[(x)=|/g|2x-1||在定义域的某个子区间(k-I,RD上不存在反函数，则上的取值范围是()

A.2)B.(1,

13

C.[-1,2)D.(-1,—2〕U[2，2)

【解答】解：只要找到在某一个区间长度为2,且满足不单调的区间，那么在这个区间上就不存在反函数：定义域

为x€R且也就是说这个子区间的右端点在0至咕或者左右端点在弋到1,都满足，

.,.001+1<舞口;<k-1<1即-1-/或者|<k<2

故选：D.

15.若函数y=/(x)是函数了=3工的反函数，则/(手的值为()

第8页(共20页)

1L

A.-log23B.-logs2C.-D.y/3

9

【解答】解：•••函数y=/(x)是函数y=3》的反函数，

'•y—f(x)=logs，r,

11

•V=bg3]=-log32

故选：B.

16.己知函数/(x)—10g2X的反函数为g(x),则g(1-x)的图象为()

【解答】解：函数/(x)=10g2X的反函数为g(X)=23

贝Ijg(1-x)=21X=2-(i)x,当x=0时，g(1)=1,

再利用单调性可知图象为C.

故选：C.

二.填空题(共17小题)

17.设常数〃€R,函数/(x)=log2(x+a).若/(x)的反函数的图象经过点(3,1),则“=7.

【解答】解：常数a€R,函数/(x)=log2(x+a).

/(x)的反函数的图象经过点(3,1),

，函数/(%)=log2(x+a)的图象经过点(1,3),

/.Iog2(1+。)=3,

解得。=7.

故答案为：7.

18.已知函数/(x)=l+logar,y=f1(x)是函数y=/G)的反函数，若歹=广(x)的图象过点(2,4),则a

的值为4.

【解答】解：・・，=/[(x)的图象过点(2,4),

第9页(共20页)

，函数y=/(x)的图象过点(4,2),

又f(x)=1+logaX,

工2=1+log〃4,即。=4.

故答案为：4.

,3

19.已知/(、)=/4=1,其反函数为/i(x),若/i(x)-a=/G+a)有实数根，则a的取值范围为广，+8).

【解答】解：因为(X)-47与y=/(x+a)互为反函数，

若y=/r(x)-a与y=f(x+a)有实数根，

贝i」y=/(x+a)与^=》有交点，

所以，尤+a-1=x,

即a=x^-x+1(x—2+

20.若函数/'(X)=V2x+3的反函数为g(x),则函数g(x)的零点为_V3_.

【解答】解：根据题意，函数/(x)=727+3,则/(0)=V3,

若函数/(x)=后不可的反函数为g(x),则g(V3)=0,

则函数g(x)的零点为百；

故答案为：V3.

21.函数/(x)=/,(x<-2)的反函数是_y=-V%,(x>4)—.

【解答】解：函数/(x)=f,(x<-2),则户4.

可得x=-7j7,

所以函数的反函数为：y=-\[x,(x>4).

故答案为：y=—«，(x>4).

f2x(x<0),,1

22.已知函数/(x)=,,八的反函数是(x),则/I%)=-1

{log2x(0<x<1)2

【解答】解：由题意，xWO,2*=4，.，.x=-1,

第10页(共20页)

故答案为-1.

23.函数/(x)=x2-1(x<0)的反函数/i(x)=_一V，+1(x>-1)

【解答】解：,・•函数/(x)=x2-1(x<0),

・、值域为(-1，+8),

・••反函数/1(x)=—Vx+1(x>-1),

故答案为：一正不I(x>-1)

24.函数/(x)的反函数是/一1(x)=/-1G20).

【解答】解：由可得：x=y2-1,y^O,

/./(x)=/%+1的反函数是:/1(x)=f-1(x20),

故答案为：fx(x)=，-1G20).

5/r

25.设/i(x)为fQx)=*-1cosx+*,xW［0,冗］的反函数，则y=/(x)4/一1(x)的最大值为一彳一

【解答】解：(x)=.-1cos%+*是［0,IT］上的单调增函数，且尸(%)为/(x)=R*cos%+皋xe［0,TT］

的反函数，

：.f(X)和/I(X)的单调性相同，

71

，当工=n时，f(X)的琅大值为5,

且当x=£时/e=r?-S，cos(?)+S=?'

.•.y=/(x)4/1(x)的定义域为［0,今，

且当X=*时/-1(.)=n,

；•»=/(X)+f'(X)的最大值为/(*)+/T(方)=*+兀=苧・

故答案为：

4

26.已知函数/(x)=得(。羊/)图象与它的反函数图象重合，则实数。=7.

【解答】解：由；；=超(.4勤，解得x=《=SW3),把x与y互换可得：>-竽==萼拈

•.•函数/(x)=需(«*1)图象与它的反函数图象重合，

/.-4=3,解得a--3.

第11页(共20页)

故答案为：-3.

27.已知函数/(x)的图象经过(1,1)点，则/F(3)=2.

【解答】解：函数/G)=/-1的图象经过(1,1)点，

可得：1=a-1,

解得：a=2.

：.f(x)=2X-1

那么：/F(3)的值即为2、-1=3时，x的值.

由2,-1=3,解得：x=2.

：.f1(3)=2.

故答案为2.

28.函数y=/+i(xW-1)的反函数为y=一《=1(x22).

【解答】解：由歹=F+1-1),^x2=y-1,-x=_Jy-1(y22),

x,y互换得：y=—y/x-1(x22),

，函数y=/+i(x<-1)的反函数为y=--1G22),

故答案为：y=-V%—1(x22).

29.己知函数/(x)={；：'：20-o'则/「(-9)1=-2.

—比2,Y>0

一,

{2-x-l,x<0

2

.•・x20时，y=-xtx=V~y»x，y互换，得/T(x)=xWO,

xVO时，y=2x-1,x=-log2(尹1)，x,y互换得/i(x)=-log2(x+1),x>0,

・••尸(乃=尸*。，

(一，。。2(%+1)，X>0

"1(-9)=3,f'[f[(-9)]=/'(3)=-2.

故答案为：-2.

30.已知函数/(x)=x2-3tx+l,其定义域为[0,3]U[12,15],若函数y=/(x)在其定义域内有反函数，则实数

t的取值范围是(-8,0]u「2,4)U(6,81U「10,+8).

【解答】解：函数f(x)=f-3tx+l的对称轴为工=等

3t

若万W0,即/W0,则y=/(x)在定义域上单调递增，所以具有反函数；

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若y>15,即f》10,则y=fCx)在定义域上单调递减，所以具有反函数；

当3W当<12,即2&W8时，由于区间[0,3]关于对称轴号的对称区间是卬-3,3小

42

3t<12(3t-3>15

于是当3t或3t，即向2,4)或怎(6,8]时，

T-3(2<12

函数在定义域上满足17对应关系，具有反函数.

综上，色(-8,0]U[2,4)U(6,8]U[10,+8).

31.己知指数函数的图象过点(2,4),则其反函数为y=103,(0,+8).

【解答】解：设指数函数了=/，a>0且21；

其图象过点(2,4),所以次=4,解得。=2；

所以函数y=2x,xGR；

所以它的反函数是y=log2x,xe(0,+8).

故答案为：y=log2x,xG(0,+8).

32.已知函数/(x)=2+log»x(。>0且)的反函数为(x).若广(3)=2,则。=2

【解答】解：(3)=2,.\/(2)=3,代入可得3=2+loga2,化为log,,2=l,解得a=2.

故答案为：2.

33.已知f(x)=/(3*-3-)的反函数为71(x),当x€[-3,5]时，函数F(x)=广(x-1)+1的最大值为例,

最小值为加，则A/+w=2.

【解答】解：由题意可得/(-x)=4(3一，-3")=-/(x),即函数/(x)在R上为奇函数，

当xC[-3,5],令t=x-l€[-4,4],则/(x-1)=/(/)=*(3-3")为奇函数且单调递增

所以反函数/I(/)也是单调递增的奇函数，

所以尸(x)=/1(/)是(t)向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心(0,1),

由互为反函数的性质可得〃+加=-3+5=2,

故答案为：2

三.解答题(共9小题)

1

34.设a>0,函数/(%)=]+.2>.

(1)若〃=1,求/(x)的反函数(x)；

(2)求函数y=/(x)•/'(-x)的最大值(用〃表示)；

(3)设g(x)=f(x)-f(x-1).若对任意xE(-8,o],g(x)2g(0)恒成立，求a的取值范围.

第13页(共20页)

【解答】解：(1)当。=1时，/(X)=占，

J1+ZZ

••・1+2,=*

即发="一1=字，则0<y<l,

1_y

.•.x=log2(------)；

y

1-x

故/(x)的反函数/I(x)=log2(^―),XE(0,I)

、111

(2)u：y=f(x)•/(-x)=IJ-------=——————,

>JJ1+Q,2%1+82一*1+砂+矶2%+2一%)

设歹=2"+2",易知，函数y=2"+2F在(-8,0)上单调递减，在(0,+°°)上单调递增，

则当x=0时，^=2'+2一、有最小值，最小值为2,

・••当x=0时，y=f(x)•/(-%)有最大值，

・_1_1

・Wl+a2+2a=^F；

11

(3)g(x)=f(x)-/(x-1)=7-7-y?——~~-1，令£=〃,2",VxG(-8,0],。>0,「.OV/Wa.

oJJ]+Q•，4l+a-2x—1

:'h⑺

当QW鱼时〃(/)在(0,旬上单调递减，所以=九⑷=。2工：+2

二•对任意xE(-8,0],g(x)2g(0)恒成立，且g(0)=LQ-[J]，

―Q]]—d4/—

；・2c-->----成山0<a<V2

CL+3Q+21+a1+/Q

当Q>\历时，^(x)>—7=—>2V2-3,令-3.1；------1厂=­不恒成立，舍去

2展+31+01+扣M+3a+2

综上，。的取值范围是(0,V2].

35.已知函数/(x)=2X-1的反函数是y=/i(x),g(x)=log4(3x+l).

(1)画出/(x)=2X-1的图象；

(2)解方程/i(x)=g(x).

【解答】解：(1)如图所示，

(2)由y=2“-1,解得：x=log2(y+1),

把x与y互换可得：歹=log2(x+1),

:.f(x)的反函数是歹=/i(x)=log2(x+1)(x>-1).

方程/i(x)=g(x)即k)g2(x+l)=log4(3x+l).

，(x+1)2=3X+1>0,

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解得：x=0或1.

36.已知函数/(x)为函数y=/(a>0,a#l)的反函数，/(5)>/(6),且/(x)在区间口，3旬上的最大值与

最小值之差为1.

(1)求。的值；

(2)解关于x的不等式，。gi(x-1)>Zogi(9a—x).

33

【解答】解：(1)V/(X)为函数y="的反函数，

(X)=10gaX,

又•.•k)ga5>loga6得:0<a<l,

由/(x)在区间［a,3a］上的最大值与最小值之差为1,

得：log"。-log"3a=1,解得：q=w；

(2)V0<a<l,

ex—1<3—x

AU-i>o'

37.已知函数f(x)=ln(”+a).

(1)设/I(x)是f(x)的反函数，当。=1时，解不等式I［(x)>0；

(2)若关于x的方程/(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素，求实数a的值：

(3)设。>0,若对任意/eg,1］,函数/(x)在区间［3f+1］上的最大值与最小值的差不超过/〃2,求。的取值范

围.

【解答】解：(1)函数y=/(x)—In(”+a),

・・・”+a=缜，Ax=/1(x)

当Q=1时、/1(x)=J1>0,解得X>0,

,6—1

，不等式/I(x)>0的解集为(0,+8)：

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(2)依题意有/G)+加(x2)=0,即历(^+x)=0,即o?+x=l的解集中恰好有一个元素,

当4=0时，X=l,符合题意；

当QWO时，△=1+4Q=0,解得〃=一9，

综上所述：Q=0或〃=一］

11

(3)a>0时，假设0Vxi〈X2时，一+a>x---Fa,

%i2

•'•In(—+a)>ln(一+。)，

X1%2

：.f(x)在(0,+oo)上单调递减，

・・・函数/(x)在区间口什1］上的最大值与最小值的分别为/(，)，/(什1),

、、11

.,*/(/)-/(Z+1)=ln(一+〃)-In(—7+。)02,

设g（力=7-tTT,%1],

WflVE2W1,

1]_(£2-力1)(口+以+1)

则g（力）-g（£2）=-r-

rl《1+1《2+1£122（£1+1）（£2+1）

v-<Zl</2^1，

.•・工2-力>0，。+，2+1>0，力/2>0，力+1>0,亥+1〉0，

.*.g(/1)-g(亥)>0,

即g(/1)>g(亥)，

ill

••g(/)=当―计］在［5,1］上为减函数，

124

・'・g(，)max=g(5)=2—=y

•,a-3

38.已知函数y=g(x)与/(x)=3、的图象关于>=%对称.

(1)若函数g(扇+2%+1)的值域为R,求实数〃的取值范围;

(2)若OVxiV、且|g(X!)|=|g(X2)I，求4制+工2的最小值.

【解答】答案：(1)由题意得g(x)=log3X.

2

因为g(k/+2%+1)=log3(kx+2%+1)的定义域为R,

所以^+2x4-1>0有实数解.

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当％=0时满足条件------------------------------------(2分)

当左W0时，欲函数g(依2+2X+1)的值域为R,

则代>°,即，所以04W1,即实数上的取值范围为［0,1］.---------(6分)

(2)由|g(xi)|=|g(X2)I，W|logUl|=|log3X2|.

因为0VX1VX2，所以0VX1V1VX2，

且一log3Xl=k)g3X2，所以log3X|+log3X2=10g3X1X2=0,

1

所以x\X2=1,所以4%i+%?=4%i+—，0V%iVI.

X1

因为函数y=4x+］在(0,办上单调递减，在8，1)上单调递增，

所以当/时，4XI+X2取得最小值为4.------------------------------------(12分)

39.设函数f(x)=^J(aeR)是火上的奇函数.

(1)求。的值，并求函数/(x)的反函数/I(x)解析式；

(2)若《为正实数，解关于x的不等式广10)>)空.

【解答】解：(1)因为函数/(乃=耳舒(。€/?)是/?上的奇函数.

所以/(0)=m=0,解得。=1，

设y=/'(x)=窘W，则e'=据，所以x=，n(辔)，

所以函数/(x)的反函数/T(x)="若，x6(-1,1)；

(2)由f—i(xK)可得213X-1+X：>KE(-111),

1+x1+x11

则:;>一;一，所以:;且a>0,所以1-l〈左，所以x>l-匕

1—xk1—xk

①若-1<1-左<1,即0V4V2,则原不等式的解集为(1-匕1),

②若即A22,则原不等式的解集为(-1,1).

40.己知函数f(x)=高，其中常数人>0.

(1)求人=1时，函数y=/(x)的反函数；

(2)求证：函数y=/(x)的图象关于点P(0,早)成中心对称.

【解答】(1)解：当入=1时，/(%)=先品=兰市-1，

因为1+3X>1=>0<7^<21V/Xx)VI，

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又丁=篇-1=3乂=需,

所以/(X)的反函数为广1(工)=/。93品，xe(-1,1),

(2)证明：显然，/(x)的定义域为R,

于是/(%)+八_乃=摇=品=鬻+第3=4—1，

所以，函数y=/(x)的图象关于点P(0,与1)成中心对称.

x