高考数学数列放缩讲义

数列放缩

【命题规律】

数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题(压轴题)，有所降

温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考

虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常

见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢.

【核心考点目录】

核心考点一：先求和后放缩

核心考点二：裂项放缩

核心考点三：等比放缩

核心考点四：£>,<(»/(〃)型不等式的证明

/=1

核心考点五：自",<(>)/(〃)型不等式的证明

1=1

核心考点六：f[<(>此型不等式的证明

1=1

核心考点七：立“,<(>)〃型不等式的证明

/=1

【真题回归】

1、(2022•全国•高考真题)已知函数/(x)=xe“'-e"

⑴当a=1时，讨论/(x)的单调性；

(2)当x>0时，/UX-1,求a的取值范围；

1+1+1,,,、

⑶设"N*，证明：7F77T?77+=＞皿〃+1).

S\

2、(2022.全国.高考真题)记S“为数列｛%｝的前〃项和，已知4=1,1是公差为;的等差

数列.

(1)求何｝的通项公式；

111c

(2)证明：—+—++—<2

«!«2«„

3、(2021•天津・高考真题)已知｛%｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.他,｝是公比

大于0的等比数列，4=4也=48.

(I)求｛4｝和低｝的通项公式;

(II)记％=%,+，,，

⑴证明归-%｝是等比数列：

(ii)证明二百［<2夜(“eM)

*=1vq-c2k

4、(2021•全国•高考真题(文))设｛”“｝是首项为1的等比数列，数列也,｝满足勿=等.已

知％,34,9%成等差数列.

(1)求｛4｝和帆｝的通项公式；

q

⑵记s”和1分别为｛叫和他｝的前"项和.证明：Tn<^-.

【方法技巧与总结】

常见放缩公式：

(1)1x=----(«>2)；

nyn—\)n〃一1n

/八1111

(2)-y>--=--------；

n+nn+\

1441

(3)——-------<---------=2

n24n24/72-12n-12n4-1

-;(r-2)

(5)。+口<1+1+—!—+^—++--^-―<3；

In)1x22x3(九-

1_22

(6)=2(-\/几-1+>2)

VH而+而\ln—T+G

(7)----广>—y=----/=2(—\//?4-J—+1)；

n+y/n+l

1_2

(8)

总展k©-G+S；

2〃2"T11

(9)______________________________________________

(2"-1)2-(2"-1)(2"-1)(2"-1)(2"-2)-(2"-1)(2"-'-1)2"一1一1T

（〃之2）；

〃+n-1

(10)L=3<一

Vrt+1+Vn-1

n+\-\Jn-2-fii

<«>2）；

222

(11)

Vz?J〃2..+y/n-n2n>[n-\4-(72-1)>/H(\fn+-1)

=*+〃N2)・,

yjn-17n

122___2_

(12)1—<

2"-l(l+l/'-lC；+C：+C；-广9+1)〃n+1

12"-'11/小

(13)2〃一1〈仅1_1乂2”—1)2"T_]"'环^(”刊.

22

(14)2(4〃+1—x/n)=__<=2(7n—J〃-1).

\ln+\+\ln\lnyn+\ln—\

(15)二项式定理

①由于2〃—l=(l+l)〃—l=C+C：++C；；)-1>C；,+C"=(n>3),

于是“(前T2

(«>3)

®2">2n+l(n>3),

2"=(1+1)"=C；+C：++C：T+C：>C；+2C：=2〃+1；

2">n2+n+2(n>5),

2"=(1+1)"=C：+C：+C；++C；2+c7+C：>2C®+2C'„+2C；="2+〃+2

(16)糖水不等式

若匕>a>Q，〃>0,则92>幺；若。>a>m>0,则伫叫〈区

b+tnbb-mh

【核心考点】

核心考点一：先求和后放缩

例1.(2022•全国•模拟预测)己知S“为等比数列｛4｝的前"项和，若4%,2%,%成等差

数列，且方4=8%-2.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)若4=(〃+2)"卢2)，且数列他｝的前〃项和为小证明：京(，《

例2.(2022•江苏南京•模拟预测)记数列｛q｝的前〃项和为5,,,已知q=-2,

S,用+2S“=(-2厂

(1)求｛“”｝的通项公式；

⑵记数列｛同｝的前〃项和为7.，证明：图47；<3间.

例3.(2022・重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知数列｛。“｝满足4=1,｛4｝的前"项和为",

且加g=2-S”(〃eN)

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设2=：”,,，记刀,=瓦+%++b„,证明：7；,<1.

例4.(2022•黑龙江・海伦市第一中学高三期中)在各项均为正数的数列｛勺｝中，《=3,且

匕|=%(%+6凡).

(1)求｛凡｝的通项公式；

(2)若〃=""八,数列出｝的前〃项和为7“，证明：T„<-.

(q+1)(矶+1)4

例5.(2022・山西临汾•高三阶段练习)在各项均为正数的等比数列｛为｝中，S,,为其前〃项和,

q=l,a3,2邑，为成等差数列.

⑴求包｝的通项公式；

⑵若仇=bg，0+1),数列L?"+21的前〃项和为5,证明：卜

m+]a„+2\82

例6.(2022・浙江•慈溪中学高三期中)已知数列｛q｝的前〃项和为S“，若

丛+邑+邑++-^=n2+n,

345n+2

(1)求数列｛q｝的通项公式;

11113

⑵证明:铲『铲.不£

核心考点二：裂项放缩

例7.(2022.天津市新华中学高三阶段练习)己知5„为数列｛〃“｝的前n项和，且5„=吗1

数歹|J｛〃｝前“项和为且々=2,%=Tn+2.

⑴求｛%｝和｛〃,｝的通项公式；

⑵设c„=(-1)"^,设数列匕｝的前〃项和为。，求P2n；

⑶证明：盲所即7

例8.(2022.山东.济宁市育才中学高三开学考试)已知数列｛“”｝的前八项和为S”，且

4s“=(2〃-1)-+1,ai=l.

(1)求数列｛“〃｝的通项公式；

,13

(2)设瓦’数列｛加｝的前"项和为7小证明

4-1,〃为奇数

例9.(2022•天津一中高三阶段练习)已知数列｛q｝满足4=2,4,用2q+2,〃为偶数记

(1)证明：数列｛»｝为等比数列，并求出数列｛2｝的通项公式；

⑵求数列｛《,｝的前2〃项和S?,,.

(3)设%=(〃+])bg,心,记数列匕｝的前〃项和为人求证：Tn<^.

例10.(2022.全国.成都七中高三开学考试(理))记数列｛%｝前"项和为S,,,

2

2Sn+n=2nan+n.

(1)证明：｛%｝为等差数列;

⑵若4=1,记为数列｛%｝的前〃项积，证明：Z建彳<2.

A

例U.（2022•河南•模拟预测（理））若数列｛q｝满足4=1,a,l+l-a„^2n.

⑴求｛凡｝的通项公式；

111c

（2）证明：一+—++—<2.

a,a,a„

核心考点三：等比放缩

例12.（2022.重庆八中高三阶段练习）记S.为数列｛叫的前〃项和，已知4=2,｛3%-2S“｝

是公差为2的等差数列.

（1）求｛4｝的通项公式；

111,

（2）证明：一+—+…+—<1.

a\a2an

例13.（2022.广东.高三阶段练习）已知数列｛%｝的首项为1,S“为数列｛%｝的前〃项和,

s“+i=qS,+i,其中

⑴若2a2,4，%+2成等差数列，求｛%｝的通项公式；

⑵设数列也｝满足，且打=?数列他，｝的前〃项和为小证明：

74"-3"，

方>亍L（〃eN）.

例14.（2022.天津.南开中学高三阶段练习）记S“是公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项和,

已知％+3%=$5，4%=$4,数列｛%｝满足2=32T+2"T（〃22）,且…-1.

⑴求｛%｝的通项公式，并证明数列｛争+4是等比数列；

⑵若数列｛%｝满足c,=（T）”'"■琉不°,求｛g｝的前"项和的最大值、最小值.

,一…1113

⑶求证：对于任忌正整数"，T~+~T++7-<71

b\b2b„2

例15.（2022•浙江大学附属中学高三期中）记S“为数列｛%｝的前"项和，已知q=2,

｛3%-2S,,｝是公差为2的等差数列.

（1）求证｛q+1｝为等比数列，并求｛%｝的通项公式；

（2）证明：—+~++__<|.

4%«„

例16.（2022•浙江•模拟预测）已知正项数列｛q｝满足4=1,当"22时，^-<,=2n-l,

｛4｝的前"项和为S”.

⑴求数列｛%｝的通项公式及5.；

⑵数列也｝是等比数列，q为数列出｝的公比，且4=0=4,记％="“，证明：

2,7

-<c,+c2+-+c„<-

例17.（2022・江苏•泗洪县洪翔中学高三开学考试）已知数列｛%｝的前〃项和为s“，4=3,

S“=2+%.

（1）证明：数列｛¥-2｝为等比数列；

⑵记数列5的前〃项和为7“，证明：T„<1.

核心考点四：，>,<(»/(〃)型不等式的证明

/=1

例18.(2022•山东省实验中学模拟预测)己知函数/。)=匕叱.

X

⑴求函数y=/(x)的最大值；

⑵若关于x的方程lnx=xe'-e?+"7有实数根，求实数k的取值范围;

，—口In2In3InnIrr-n-\/、八

(3证明：▽+▽++—<—~—»eN,n>2).

23-n~4(”+1)''

例19.(2022•全国•高三专题练习)设各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为5.，满足

S；-(/z2+n-3)5„-3(/?2+n)=O,M€^.

⑴求外的值：

⑵求数列｛4｝的通项公式：

(3)证明：对一切正整数“，有

1।1।।1.2+收勺1।1)

q+2%J4+2a“M+2441册4n+\)'

例20.(2022•上海•模拟预测)在数列｛q｝中，q=5,1=3%-4〃+2,其中〃eN，.

⑴设用=4-2〃，证明数列｛4｝是等比数列;

(2)记数列｛%｝的前n项和为S,,，试比较S„与“2+2022的大小.

例21.(2022•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=xe，e

⑴当。=1时，讨论了(X)的单调性：

(2)当x>0时，求〃的取值范围；

1+,1■+-+；-1>ln(«+1)

(3)设“eN*,证明:712+1G+2yjn2+n

例22.(2022・湖南♦周南中学高三阶段练习)已知函数/(力=匕皿

⑴求函数y=/(x)的最大值;

In2In3\nn2n2-n-\

(2)证明n：3"+亨+2

+h4(〃+l))

例23.(2022•全国・高三专题练习)已知单调递减的正项数列｛4｝,〃22时满足

a：+1)+(%+1)-2a“qi(a“a,,T+«„+l)=0.q=g，S,为｛4｝前〃项和.

(1)求｛《,｝的通项公式；

(2)证明：5„>l-^=y.

例24.(2022・广东•铁一中学高三阶段练习)记S“为数列｛%｝的前〃项和，己知(个是首

项为3,公差为1的等差数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

111a„-l1

(2)证明：当〃22时，—+—++—

a+

»2%%n,

例25.(2022・全国•高三专题练习)已知数列｛《,｝和0｝满足4=伉，且对任意都有

(1)求数列｛。“｝和出”｝的通项公式;

(2)证明:+^-<111(1+«)<—+—+—+...+—

瓦b、Ab,"b、b2b,b„'

例26.(2022•福建•莆田第五中学高三期中)数列｛可｝满足4+2生++陷,=4-黄，

〃wN*.

⑴求数列｛%｝前〃项和7.；

(2)证明：对任意的“eN*且“N2时，(1+!+?++-|-7；,<2+21nn

I23n

例27.(2022•天津河西高三期中)设｛m｝是首项为1的等比数列，数列｛加｝满足M=等,

已知卬，3a2,9〃3成等差数列.

⑴求｛〃〃｝和｛加｝的通项公式；

⑵记S〃和力7分别为｛初｝和｛加｝的前〃项和.证明：Tn<苣.

⑶求证：£(白尸<]

/=13d4

核心考点五：n«,<(»f(n)型不等式的证明

1=1

例28.(2022•全国•高三阶段练习(理))已知函数f(x)=2(x+l)l三x+l)-d-2x.

(1)判断函数的单调性；

ln(n+l)

(2)已知数列｛4｝,«„an[neN'),求证:ln[(w+2)7；]<l-1.

例29.(2022•黑龙江•大庆一中高二阶段练习(理))已知曲线Cntx2-2nx+/=0,(n=l,2,

从点P(-1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn>0)的切线In,切点为Pn(xn,yn).

⑴求数列｛m｝与｛中｝的通项公式；

任x„

(2)证明：士・鼻・毛—<---cos—

3y„

例30.(2022•浙江温州•高二期末)已知数列他“｝,也｝满足4=2,伉=4,且2〃=%+%”,

(1)求生，见，。4及4也也;

(2)猜想｛4｝,｛〃』的通项公式，并证明你的结论;

4C与一“2〃-1

(3)证明：对所有的〃eN",

44t>2n-\

核心考点六：\>,.<(>迫型不等式的证明

1=1

例31.(2022・湖北•宜城市第二高级中学高三开学考试)已知数列｛"“｝满足4=1,

q+i=7=一-(其中〃eN")

%+也+1

(1)判断并证明数列｛q｝的单调性；

35

(2)记数列｛a,,｝的前〃项和为S“,证明：1<S2O21<-.

例32.(2022•天津市第九十五中学益中学校高三开学考试)已知｛%｝为等差数列，前"项和

为S.(〃eN*),也｝是首项为2的等比数歹U,且公比大于0,b2+4=12也=q-24,5“=1电.

⑴｛《,｝和也｝的通项公式；

(2)求数列｛%,也｝的前8项和n；

⑶证明：方(询〃25

例33.(2022•山西•高三阶段练习)已知函数/(xXsinx-x+L，.

6

(1)证明：对\/》［0,+00),/。)20恒成立：

1||3

(2)是否存在〃eN*,使得也〈风不+如力+…+sin上合成立?请说明理由•

1XJ)NX4fjyti।乙)

核心考点七：n«,<(»*型不等式的证明

1=1

例34.(2022.广东.广州大学附属中学高三阶段练习)已知数列｛%｝,4=1,S“为数列｛q｝的

前〃项和，且5“=g(〃+2)a”.

(1)求数列｛4｝的通项公式：

⑵已知当%>0时.，不等式sinxvx恒成立，证明：

l+sin—Yl+sin—f1+sin—…1+sin—<e2.

I4人生人I

例35.(2022.湖南省临澧县第一中学高三阶段练习)已知数列｛4｝吗=13.为数列｛4｝的前

〃项和，且S”=；(〃+2)%.

⑴求数列｛为｝的通项公式；

⑵求证：sina„-a„<0；

(3)证明：f1+sin—1+sin—V1+sin—|1+sin—<e2.

例36.(2022•广东•红岭中学高三阶段练习)设数列｛%｝满足q=0,4a„+1=4%+2枷,+1+1,

令2="44+l.

(1)试证明数列｛〃｝是等差数列，并求数列出“｝的通项公式；

(2)是否存在常数c,使得数列｛24+c-3"｝是等比数列？请说明理由.

⑶令T"=丁片;：飞-'，是否存在实数。，使得力,历万<+1)对一切〃w电都

“2X"4X"XD2n

成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

例37.(2022・安徽•合肥一中高三阶段练习)已知函数〃x)=ln(l+3x)-奴(aNO)

(1)讨论了(》)的单调性；

(2)证明：++〈加㈠为自然对数的底数，neN').

【新题速递】

1.(2022・重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知数列｛4｝满足4=1,｛%｝的前n项和为S“，且

2。向=2-S“(〃eN)

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设记北=4+4++%证明：T„<\.

2.(2022・福建•宁德市民族中学高三期中)已知S”为数列明的前“项和，是公差

为1的等差数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

1,1I11

(2)证明：三4---+----++-----<-.

36%%%a“a“.、2

3.(2022•全国•高三专题练习)定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间

都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相

邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如｛1,5｝的

一阶和数列是“，6,5｝,设它的〃阶和数列各项和为

(1)试求｛1,5｝的二阶和数列各项和邑与三阶和数列各项和S3,并猜想S.的通项公式(无需证

明)；

1,、11

⑵若*一啕0-3卜陛30「3)，求色，｝的前〃项和7”，并证明：-5"，4一1

4.(2022•天津市武清区杨村第一中学二模)已知｛"“｝是等差数列，｛2｝是等比数列，且

%=1力1=2,a4b3=2d也=a\+a3.

(1)求数列｛%｝,也｝的通项公式；

⑵记｛2｝的前"项和为s“，证明：S,,4aj"(〃eN*)；

⑶记g=(-1)"%"”也eN*),求数歹lj｛c“｝的前2〃项和.

7»+1

5.(2022•河南・南阳中学三模(文))已知数列｛“"｝的前”项和为S“，2S„=3«„-4,

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵设勿=log、牛，7”为数列三|一|的前"项和.证明：14(<2

4曲%J

6.(2022•浙江•模拟预测)已知数列｛%｝满足：4=4=2,a„+l=^+^+-+^-(»>2).

(1)证明：a„>n,neN,;

111,八

(2)证明：—+—+—<10,/zeN".

qa2a„

7.(2022•全国•高三专题练习)数列｛叫满足4用=«,q=g,”eN".

(1)证明：。<点—a；4：；

⑵若数列圾｝满足跖=40一2，设数列他｝的前〃项和为S,,,证明：s“<3

anan+\4

8.(2022.天津一中高三阶段练习)已知｛可｝为等差数列，前〃项和为S“也｝是首

项为2的等比数列，且公比大于0,4+4=12,优=%-2《，*=1助.

⑴求｛4｝和低｝的通项公式;

⑵若数列匕｝满足：%=一%不,求数列£｝的前〃项和7.；

an,an+l,

bbn

(3)若数列｛4｝满足：4,=7七+「7,证明：Z4<2〃+1.

Dn+1一I/=!

9.(2022・上海市实验学校高三阶段练习)设数列｛%｝的前"项和为$“，且S”=2a"-2""，

数列他,｝满足勿=log,其中〃eN*.

⑴证明(会｝为等差数列，求数列｛%｝的通项公式;

(2)求使不等式(1+彳11+丁1+--2%:对任意正整数”都成立的最大实数

加的值；

(3)当“eN*时，求证:4+4+…+受+C.卫

瓦462〃-1&+I%?+1

10,(2022・陕西•模拟预测(文))已知等比数列｛4｝(〃£“)为递增数列，且

=4,5。3=2%+2a4.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设6.,,4〃=-H2(/"e*Nr»)\,数列(也\｝的前〃项和为S“，证明：5„<6,

11.(2022・河南•民权县第一高级中学高三阶段练习(理))已知数列｛q｝的前八项和为S”,

4=3,4=4,S„+l+2S,,.)=3S„-2(«>2).

(1)证明：数歹U｛4-2｝是等比数列，并求数列的通项公式；

2"~l11

⑵记a=-----,数列他｝的前"项和为《，证明：—^^.<7-

4,%123

12.(2022•全国•高三专题练习)已知数列｛叫中％=1,j“=Jl+吮(“22).

(1)求包｝的通项公式；

⑵若q,=%,T，数列‘I的前〃项和为】，证明：…

13.(2022・全国•高三专题练习)证明：那令.•・,*〈后n扃.

14.(2022•浙江•高三专题练习)已知各项为正的数列｛可｝满足：4=!，

⑴设a>0,若数列［log/j+l］｝是公差为2的等差数列，求”的值；

(2)设数歹"2|的前”项和为S,,,证明5WS“<4”+:.

%3

15.(2022•湖南・长沙一中高三阶段练习)已知数列｛4“｝满足的2。“=2-2。“，〃eN*.

(1)证明：数列上《-)是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

।2

⑵记邛+怎+T；.证明：当〃时,­S„>a„--.

7；=q%La“，〃GN*,5“=eN*+t

16.(2022・全国•高三专题练习)已知公差不为0的等差数列｛4｝满足:4=1且出，%，«14

成等比数列.

(1)求数列｛〃,｝的通项公式4和前"项和S,,；

(2)证明不等式1—=(J+l+J+L+告<2-!("..2且“€”*)

L〃十1ijiH

17.(2022・全国•高三专题练习)已知数列｛4｝中，q=g,2,neN*),

数列他｝满足〃=’(weN*).

(1)求数列圾｝的通项公式；

IT<2__!_

(2)设数列［”2J的前〃项和为兀证明",厂总工.

参考答案

【真题回归】

1、(2022•全国•高考真题)已知函数f(x)=xe麻一e”.

⑴当a=l时，讨论"X)的单调性；

⑵当x>0时，求a的取值范围；

111,,,、

(3)设“eN*,证明：/丁+/,++I,>ln(n+l).

VI+1V22+2y/n2+n

【解析】⑴当"=1时，/(”)=(I)J则/'(司=比',

当x<0时，/z(x)<0,当x>0时，>0,

故/(X)的减区间为(-8,0)，增区间为(0,+8).

(2)设'(*)=祀”七+1,则人(0)=。，

又“⑺=(1+办)e5—e*,设g(x)=(l+ax)em_e*,

则g'(x)=(2a+〃，)e"-ev,

若”>；，则g'(0)=为-l>0,

因为g'(x)为连续不间断函数，

故存在与e(O,+(»),使得Vxe(O,x()),总有g'(x)>0,

故g(x)在(0,%)为增函数,故g(x)>g(O)=O,

故人(x)在(0，%)为增函数，故"工)>无(0)=-1，与题设矛盾.

avvav+l(l+(ir)v

若0<awg,JlllJ^(x)=(1+ar)e-e=e"-e,

下证：对任意x>0,总有ln(l+x)<x成立，

证明：设S(x)=In(1+x)—x,故S，(x)=]------1=<0,

故S(x)在(0,+e)上为减函数，故S(x)<S(O)=O即ln(l+x)<x成立.

由上述不等式有夕+吸+的_e*<-eA=e2m-el<0，

故/Z(x)40总成立，即/?(%)在(0,+8)上为减函数，

所以〃(x)</i(O)=O.

当aW0时，有"(x)=eftt-eA+axeM<1-1+0=0,

所以/?(力在(0,+s)上为减函数，所以Mx)<〃(0)=0.

综」；a~^,'

i

a=Lx

(3)取2,则Dx>°,总有胧2—e*+l<0成立,

令r=,则，>1/=e，,x=21n/,

故2〃n，v/一1即21n，＜，一l对任意的恒成立.

t

所以对任意的”eN*,有

整理得到：ln(«+l)-lnn<-==

\Jn~+〃

故一/H—/,+H—/「>In2—In1+In3—In2++In(〃+1)—In/?

Vl2+1V22+2Vn2+«

=ln(n+l),

故不等式成立.

2、(2022•全国•高考真题)记S“为数列｛q,｝的前〃项和，已知4=J是公差为g的等差

数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

111c

(2)证明：一+—++一<2.

%4％

S.।

【解析】(1)〈4=1,・・.E=q=l,・・・~L=l,

q

又•••〔$｝是公差为g的等差数列，

•^=1+1(„-1)=212.s_(〃+2)[

,•«„3()33，

.,.当“22时，S“=("+1)41,

3

.„ce+(〃+l)4T

•*an--，一I-2'

整理得：=(〃+1)%_|,

an+1

BP—=—r,

%"T

a、a,an.a„

an=a｝x—x^-x...x—^x—2-

a\a2an-2an-\

,34n〃+1+

=lx—X—X...X-----X-----=------L

12n-2n-\2

显然对于九=1也成立，

.•.{%}的通项公式见=若"；

3、(2021•天津・高考真题)已知｛%｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.｛4｝是公比

大于0的等比数列，4=4也-d=48.

(I)求｛%｝和低｝的通项公式；

(II)记％=与+器”心

(i)证明归-%｝是等比数列；

(ii)证明方屏1<2夜("cN’)

*=1VCk~C2k

【解析】(I)因为｛4｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

8x7

所以q+4+,•♦+%=8qH——-x2=64,所以q=1,

所以=4+2("-1)=2〃一

设等比数列出｝的公比为4,(4>0)，

所以4-62=642-44=4(42-4)=48,解得q=4(负值舍去)，

所以b,=bqi=4",”eN，：

(II)(i)由题意，弓=邑+,=4"+*,

所以C；-C2,=卜"+.J_k”+*卜2・4”，

gr：pI2/Arq'"I—。2”+2~2,4_A

所以如一华产。，旦Wf4,

所以数列依-cj是等比数列;

一22

(ii)由题意知，学立(2〃1)(2〃+1)_4n-14n

2.4”-2-22n2-22rt

2n_1n

02—/布

所以心,强异

，n/左123n

设7空?而■=/3+尹F'

贝=*尹恭…+£，

两式相减得;7,=1+3+9-+击->----p-—12_苫-,

1--

4、（2021.全国.高考真题（文））设｛4｝是首项为1的等比数列，数列｛〃｝满足4=等.已

知q,3%,9《成等差数列.

（1）求｛%｝和也｝的通项公式；

（2）记S“和7；分别为｛叫和也｝的前〃项和.证明：Tn<^-.

【解析】（1）因为｛%｝是首项为1的等比数列且％,3a2,9%成等差数列，

所以6%=6+9%，所以6a“=q+9%",

即9q2-64+1=0,解得g=；,所以4=（；）”',

所以〃=詈n

r'

（2）［方法一］:作差后利用错位相减法求和

12〃-1n

(=§+?++尹+泊

1(11

5丘+"+

„S123n>If1111A0--1--2-1

?+予++司-5臼+可+?++F尸方^+城+坟++

0-11-12-1

设r=q+」+」+⑧

“3°3132

C111C111

m.l10--1-----2-----〃-1--小

贝口「_2,2,2,,2.⑨

3"3132333〃

3

n——

11_2

由⑧-⑨得步=-g+才+三++=

3”

3

n

所以「=J1——2n

4x3'-22x3"-'2X3”T

因此北-5=nn

故。吟q.

［方法二］【最优解】：公式法和错位相减求和法

1x(1-")

证明：由（1）可得s“==初-6

,12n-1n

方=§+3++km’①

12n—\n厂、

++丁+尹②

-(1-—)

21111n_33〃_n«-1JL

①一②得(7；=§+予+于++三一诃--I],9

3〃T23"3向

3

所以z,=>W)-/,

所以5:刻-中-合if=-合＜。，

所以。吟.

［方法三］:构造裂项法

由(I)知a=〃(g)，令q,=(a〃+P)[g],且々=%-c〃+[,即

"6)=(a〃+£)(g)_[a(〃+l)+0(gj,

3333

通过等式左右两边系数比对易得。二］夕二所以cn=—n+—

24

33n

则(=白+H++h„=A-%+1=:―+―L下同方法二.

423

[方法四1：导函数法

设f(x)=x+x2+X3++炉=-^-----

1-X

n

1-X)]x(l-X)'_1+^|(n+l)x"

由于

\-xOf(5

l+M+i-(〃+l)x"

则f(x)=1+2x+3/++6”

(17)2

又b“=n〃T

所以(=4+仇+&++^„=1l+2x1+3x

+〃•

3乎r

冏’下同方法二.

【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，

考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根

据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.

(2)的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；

方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得S,,Z,然后证得结论，为最优

解;

方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造%=(。”+6)[£|,使d=%-c,M，求

得1的表达式，这是错位相减法的种替代方法，

方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.

【方法技巧与总结】

常见放缩公式:

(1)、—17<7---11=---1----1-/(n>C2、)；

n[n-i)nn-1n

11]___1_

(2)>-------

n2+n〃+1

14^4_(1______1_\

(3)n24n24n2-1\2n-12/14-1J

.imiiiii/

(4)^'=C"V=7^7)iV<7i<7(^T)~-7(r-2);

(5)I1+-j<1+1+^—+—!—++7-^—<3；

In)1x22x3(n-\)n

1_2o___

(6)</-----f==2(-\Jn-\+G)(n>2)

\fn\fn+\fn\jn-\+册''

(7)-J==厂2广>—f=-2.=2(-\/~n+J/+1)；

InIn+<n\ln+1n+T'7

272

d2n-1+，2/+1

(缪-1)2一(2"T)(2〃-1)(2"-1)(2"-2)-(2W-1)(2W-1-1)~21-1T-1

]_________]]_r_1__J_]Vn+T+Vn^T

J(〃-1)〃”(几+1)1G+1-J--l\y/n-\y/n+l)2\fn

1222

(11)___—______________—_______________________________________

\[r^J?•〃+J〃・〃2〃-1+(二-1)«,(几一l)n(«+,〃_1)

111222

(12)-------=--------------v----------------------=-----------=-------------

2"-1(1+1)"-1d+C+d-1n(n+l)nn+1

12"-'11/c\

(13)-----------<,7----------