初等数论第二章课件

不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有第二章不定方程一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。

是数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就

开始研究不定方程，

因此常称不定方程为丢番图方程。中国是研究不定方程最早的国家，

公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，

公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。

这是一个三元不定方程组问题。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。

近年来，这个领域更有重要进展。

但从整体上来说，

对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。

另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、

代数几何、组合数学等有着紧密的联系，

在有限群论在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，

这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。第一节二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：②有解时决定解的个数。①判断何时有解。③求出所有的解。本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及有解时求出其全部解的最简单的不定方程———二元一次不定方程。注：定理的证明过程实际给出求解方程（1）的方法：注：赶利用夏辗转糠相除后法求惯（a,版b)时，奥前提阀为a,型b为正葬整数草，且a大于b，因此浊求解羞此方渗程时搅可以兔考虑拨用变畜量替滋换。3、下播面通羽过具患体例蔬子介弃绍一蜂种判顶定方贯程是之否有解，微及其泳求出品其解歌的直言接算潮法——整数鬼分离腾法或先五求出洽原方没程的携一个农特解棍，再相给出枕一切忆整数党解。注：碍这种蔽解不锈定方裹程的渴算法电实际吓上是芽对整大个不逮定方鬼程用辗必转相某除法后，依次李化为研等价启的不烤定方穗程，直至享得到一个在变量身的系尘数为辰正负1的方魂程为孩止。这样剃的不硬定方妥程可以秋直接滚解出溉。再依薯次反姐推上例去，视就得采到原夺方程痕的通烫解。为了笼减少唉运算颂次数酿，在僵用带臂余除他法时屈，总携取绝捉对值崭最小余数射。下面控我们玻来讨沾论当宪二元精一次凉不定猫方程钞（1）可贯解时袄，它的洲非负掀解和滋正解兰问题蹦。由通匹解公谈式知戒这可江归结湿为去祖确定参形数t的值跌，使x,歇y均为坛非负瓣或正剪。显见复，当a,缎b异号漂时，不定茄方程堂（1）可悠解时碎总有团无穷铜多组神非负吉解或填正解提，理由傲是：所以宇下面反只讨卵论a,乐b均为梦正整坦数的抢情形底，先来械讨论众非负遗解：下面胀讨论否正整予数解们：例7、求固方程5x+3y=5喇2的全迷部正期整数众解解：x=8挠,y=4是一孔组特街解，但方程呀的全交部解检为：x=8蜂+3t,y=4叛-5t正整竿数解唤满足8+迈3t>0,时4-少5t>0注：毁若只筋求方好程正涛整数罚解的填个数犯，可丈考虑炼以下迎不等饼式的整弟数解摘个数辫：第二腾节裳多春元一扬次不愚定方溜程注：真定理1的证屿明给魔出了n元一嫂次不捞定方塔程的竿解法衣过程魂：即求顿解方迁程组齐（由n-1个方据程组经成）解：乱原方怪程化翅为：进一迟步可龙求非蒜负整墓数解恰：由通誉解公次式给亡出非亩负整旨数解滩中m,讯k应满麻足第三之节沈勾股量数②再忆证满侧足条蒙件（2）的储解都短可以现表成到（3）的粪形式先。例1、求逆一个哨边长叼为整荒数的生直角公三角饰形，欢它的亮面积捞在数值筝上等烘于它书的周示长。例2、求融不定庭方程幅（*史）的田满足大条件0<z<2凡6的全否部互素立的解汽。baxyz12345235121314158173472425例3、求z=6亲5的满韵足方绳程（却*）吴的全魂部正突整数昆解。例5、假宵定(x,午y,隶z)是(*暂)的解岂，并职且(x,话y)=杰1，那滋么在x,配y中有一猪个是3的倍信数，威有一饮个是4的倍写数，尚在x,梅y,匠z中有将一个是5的倍取数。注意贷：定树理中链所说岭的在x,茧y中有巾一个赞是3的倍序数，扑有一个喉是4的倍文数，伯并不吩是说机在x,漏y中一裳个是3的倍扑数，剧另一个恋是4的倍吓数，气很可享能3的倍钻数与4的倍秤数是饿同一句个数忆。如（5,芹12谦,1廉3），侨又如喊（11门,6掀0,肃61）3、无遍穷递孤降法16搬59年，雨法国割数学愧家费桌马写诱信给下他的嗓一位混朋友光卡尔卡百维，称自放己创森造了蒜一种激新的暂数学灭方法.由于路费马哈的信并忍没有婶发表幼，人们萝一直男无从诵了解躲他的舞这一霜方法.直到18希79年，扩人们横在荷恨兰莱展顿大真学图赏书馆惠更凶斯的滔手稿逐中发现了方一篇轿论文舰，才堪知道笋这种快方法厘就是揉无穷担递降硬法.无穷递降宁法是株证明亚某些言不定该方程册无解歉时常罗用的怒一种日方法.其证明缠模式深大致虏是:先假封设方剥程存发在一花个最坊小正器整数金解，然后骡在这待个最浑小正酱整数首解的姜基础皇上找乔到一娘个更舅小的构造卵某种灵无穷本递降钥的过保程，再结躬合最捐小数犯原理皇得到矛盾虽，从找而证挂明命鲜题.无穷右递降那法在章解决牺问题观过程妹中主要侨有两匀种表花现形紫式:其一养，由事一组晃解出座发通走过构予造得到辰另一漠组解饱，并例且将吹这一则过程携递降研下去，击从而