届高考文科数学一轮复习考案.直线与圆圆与圆的位置关系

§7.3直线与圆、圆与圆的位置关系

真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳

考点考纲解读1直线与圆的位置关系能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.2圆与圆的位置关系能根据给定的两个圆的方程判断两圆的位置关系.3直线和圆的方程的应用能用直线和圆的方程解决一些简单的问题,初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选

从近几年高考来看,涉及本节内容的试题主要考查直线与圆,圆

与圆的位置关系,考查用代数方法处理几何问题的思想,题型以选择

题、填空题为主,属中档题.可以预测2013年高考考查的热点问题是

利用直线与圆的位置关系求弦长问题.求圆的方程或求参数范围问

题,同时着重考查数形结合思想的应用.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.常用研究方法:①判别式法;②考查圆心到直线的距离与半径的大

小关系.2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种:若d=

,则d>r⇔相离⇔Δ<0;d=r⇔相切⇔Δ=0;d<r⇔相交⇔Δ>0.3.直线和圆相切(1)过圆上一点的圆的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2的以P(x0,y0)为切点

的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

一、直线与圆的位置关系考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选当点P(x0,y0)在曲线外时,(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2表示切点弦的方程.(2)一般地,曲线Ax2+Cy2-Dx+Ey+F=0的以点P(x0,y0)为切点的切线方

程是:Ax0x+Cy0y-D·

+E·

+F=0.当点P(x0,y0)在曲线外时,Ax0+Cy0y-D·

+E·

+F=0表示切点弦的方程.这个结论只能用来做选择或者填空题,若是做解答题,只能按求切线

方程的常规过程去做.(3)过圆外一点的切线方程:一般求法是设点斜式,利用圆心到切线的距离等于半径求斜率.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选二、圆与圆的位置关系判定方法:设两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为r1、r2,|O1O2|=d.①d>r1+r2⇔外离⇔4条公切线;②d=r1+r2⇔外切⇔3条公切;③|r1-r2|<d<r1+r2⇔相交⇔2条公切线;④d=|r1-r2|⇔内切⇔1条公切线;⑤0<d<|r1-r2|⇔内含⇔无公切线.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选三、圆系方程1.经过两个圆交点的圆系方程:经过圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x

+E2y+F2=0的交点的圆系方程是:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+

F2)=0(不表示后一个圆).若λ=-1,可得两圆公共弦所在的直线方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=

0.2.经过直线与圆交点的圆系方程:经过直线l:Ax+By+C=0与圆x2+y2+

Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

(不表示直线l).考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有

(

)(A)2条.

(B)3条.

(C)4条.

(D)6条.【解析】由题意可知,过原点且与圆相切的直线共有2条,此时与两

坐标轴的截距都是0;当圆的切线与两坐标轴截距相等且不为零时,

此切线过一、二、四象限,易知满足题意的切线有2条,综上共有4条.【答案】C考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A、B两点,则线

段AB的中垂线方程为

(

)(A)x+y-3=0.

(B)x-y-3=0.(C)x-y+3=0.

(D)x+y+3=0.【解析】AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2,又C1(3,0),C2(0,3),

C1C2的方程为x+y-3=0,即线段AB的中垂线方程为x+y-3=0.【答案】A考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.化圆C:x2+y2-2x-4y+4己=0脉的圆刺心到紫直线良3x+4y+4肆=0劝的距蓄离d=.【答氏案】炼3【解析】圆心(1,2)到直线3x+4y+4=0距离为

=3.考纲躺解读命题唐预测知识鞠盘点典例惕精析技巧锋归纳真题羊探究基础鸦拾遗例题调备选4.米直线y=kx+3摩与圆喷(x-3)2+(y-2)2=4形相交用于M,N两点合,若茂|MN|≥2,则k的取值乘范围关是.【解析】圆心(3,2)到直线的距离d=

,则由|MN|≥2

及圆的半径为2,得d=

≤1,解得-

≤k≤0.【答案】[-

,0]考纲摩解读命题今预测知识圈盘点典例节精析技巧康归纳真题解探究基础团拾遗例题腰备选题型米1直线扁与圆遗的位纲置关孔系例1庙已肠知动链直线l:y=kx+5悉和圆C:(x-1)2+y2=1摆,试食问k为何械值时隔,直线l与圆C相离悉、相晌切、族相交横.【分侧析】返联立深方程洞,消毙去一勉个未渔知数歼(如y),良可得渠关于x的二蹦次方铲程,乒再利用株判别害式Δ<0铸,Δ=0低和Δ>0摔,求k的取躲值范内围.吴或者虹利用玻圆心鞋到直访线的距离撞与半厘径的益大小截关系否,求对参数k的取赔值范涌围.考纲已解读命题及预测知识赢盘点典例钻精析技巧犁归纳真题固探究基础炒拾遗例题赔备选【解析】(法一)(代数法)联立方程

消去y整理得:(k2+1)x2+(10k-2)x+25=0,则Δ=(10k-2)2-4(k2+1)×25=-40k-96,∴当直线l与圆C相离时,有-40k-96<0,故k>-

;当直线l与圆C相切时,有-40k-96=0,故k=-

;当直线l与圆C相交时,有-40k-96>0,故k<-

.考纲奇解读命题叫预测知识丸盘点典例挂精析技巧浩归纳真题玻探究基础匆拾遗例题腰备选(法弓二)烈(几些何法果)圆C:(x-1)2+y2=1倚的圆凡心为C(1柜,0红),郑半径r=1沫.设直什线l与圆黑心C的距抢离为d,则d=.当d>r,即>1侮,即k>-时,貌直线l与圆C相离贫;当d=r,即=1要,即k=-时,时直线l与圆崇相切叹;当d<r,即<1糟,即k<-时,盐直线l与圆老相交典.【点轨评】浸研究帜直线五与圆另的位鉴置关作系有免两种脚方法仔:代疼数法景和几乏何法贝,可根据郑题设云选用威适当锹的方矮法.考纲俩解读命题钞预测知识课盘点典例摇精析技巧悔归纳真题哨探究基础忍拾遗例题丧备选变式闭训练熄1院已知乓圆C:(x-1)2+(y-2)2=2鸟5,隐直线l:(托2m+1今)x+(m+1沾)y-7m-4=竹0(m∈R动).【解析】(1)l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.∵m∈R,∴由

得

即l恒过定点A(3,1).∵圆心C(1,2),|AC|=

<5(半径),∴点A在圆C内,从而直线l与圆C恒交于两点.(2)弦长最小时,l⊥AC,由kAC=-

,得kl=2,∴l的方程为2x-y-5=0.(1捞)证丢明:诸不论m取什轻么实明数,挎直线l与圆侄恒交悄于两县点;(2押)求盲直线l被圆C截得枣的弦监长最抬小时驰的方淡程.考纲贩解读命题睁预测知识盆盘点典例武精析技巧涛归纳真题坐探究基础话拾遗例题泊备选题型撑2圆的旨切线饺或弦轻长问插题 例2已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1扇)若售直线l过点P且被柳圆C截得赖的线墨段长包为4,求l的方快程;(2话)求妄过P点的此圆C的弦骑的中雁点的足轨迹度方程龟.【分析】(1)利用弦长求出直线l的斜率;(2)利用垂径定理找等量关

系求解.考纲调解读命题键预测知识是盘点典例杆精析技巧凉归纳真题兄探究基础默拾遗例题义备选【解竟析】匆(1归)(斥法一革)如辫图所配示,莫|AB|=毁4,D是线命段AB的中填点,CD⊥AB,盆|AD|=皇2,|AC|=酷4,顿在R克t△AC河D中,啦可得俘|CD|=距2.氏圆C的标我准方注程为卷(x+2秃)2+(y-6)2=1拍6,掌圆心C为(-2,追6)越,半枯径r=4辫.当直陶线l的斜物率存企在时言,设欺所求惠直线l的斜峰率为k,则肚直线l的方泥程为y-5=kx,即kx-y+5榴=0疼.由点C到直圣线AB的距选离得丽:=2均,得k=,此时令直线l的方态程为脱3x-4y+2音0=青0.又直羞线l的斜蜡率不仍存在责时,付也满约足题董意,感此时l的方秒程为x=0邀.考纲谣解读命题致预测知识读盘点典例渗精析技巧肚归纳真题窄探究基础遥拾遗例题陪备选∴所发求直鉴线l的方璃程为件3x-4y+2泽0=欣0或x=0铸.(法推二)蔑当直描线l的斜效率存虫在时枝,设聪斜率匹为k,则判直线l的方赵程为y-5=kx,即y=kx+5搬.差由消去y得(币1+k2)x2+(祝4-2k)x-11飞=0桨.①设方顿程①御的两摄根为x1,x2,则由弦院长公剂式得=4,解脱得k=,此时恰直线劝方程饮为3x-4y+2滑0=船0.考纲笋解读命题悼预测知识晓盘点典例脸精析技巧月归纳真题弱探究基础愈拾遗例题董备选【点舍评】社涉竞及弦仆长或亿弦的胃中点轿问题南,通竭常利稍用弦潮的中闯点、豪端点县和圆心构均成的尚直角吊三角点形来暮求解贴.又斜率k不存在时也满足题意,此时直线方程为x=0.∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CD⊥PD,∴

·

=0,∴(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.考纲非解读命题柏预测知识颈盘点典例堡精析技巧蚊归纳真题敲探究基础秋拾遗例题础备选变式且训练端2够已知洗圆O的方死程为x2+y2=1挡,直谎线l1过点A(3惧,0下),窗且与切圆O相切.(1扩)求徒直线l1的方拾程;(2露)设克圆O与x轴交芦于P,Q两点巾,M是圆O上异遮于P,Q的任搂意一定点,停过点A且与x轴垂躬直的刑直线烘为l2,直草线PM交直矮线l2于点P',掏直线QM交直照线l2于点Q'.呆求证井:以P'Q'为尚直径息的圆C总过凶定点邀,并年求出萄定点父坐标负.考纲争解读命题佣预测知识丧盘点典例培精析技巧铃归纳真题构探究基础考拾遗例题挤备选【解析】(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆C:x2+y2=1相切,设直线l1的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d=

,解得k=±

,∴直线l1的方程为y=±

(x-3).(2)由已知P(-1,0),Q(1,0).又直线l2过点A且与x轴垂直,∴直线l2方程为

x=3,设M(s,t),则直线PM方程为y=

(x+1).考纲役解读命题氧预测知识羞盘点典例喇精析技巧恨归纳真题赵探究基础渔拾遗例题舅备选解方程组

得P‘(3,

).同理可得,Q’(3,

).∴以P‘Q’为直径的圆C‘的方程为(x-3)(x-3)+(y-

)(y-

)=0,又s2+t2=1,∴整理得(x2+y2-6x+1)+

y=0,若圆C‘经过定点,只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得x=3±2

,∴圆C‘总经过定点(3±2

,0).考纲篇解读命题炊预测知识动盘点典例祸精析技巧匪归纳真题乌探究基础乳拾遗例题昆备选题型止3圆与漫圆的缩慧位置薄关系例3赛圆O1的方军程为x2+(y+1滑)2=4斩,圆O2的圆亭心为O2(2佳,1屿).(1牲)若门圆O2与圆O1外切抹,求概圆O2的方立程;(2食)若锻圆O2与圆O1交于A、B两点棋,且靠|AB|=引2,求荷圆O2的方损程.【分析】(1)利用两圆外切求出圆O2的半径;(2)利用圆O1的圆心到两

圆公共弦AB所在直线的距离、圆O1的半径、

|AB|构造直角三角形,求出圆O2的半径.考纲孕解读命题泽预测知识箱盘点典例数精析技巧仿归纳真题虎探究基础床拾遗例题雕备选【解浊析】暮(1术)设斯圆O2的半槐径为r2,由归于两码圆外凶切,闪∴|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2呈(-1)巨,故宗圆O2的方耻程是壶(x-2)2+(y-1)2=4揭(-1)2.(2深)设舞圆O2的方呼程为镰(x-2)2+(y-1)2=,又馒圆O1的方率程为x2+(y+1各)2=4屠,此两则圆的姑方程陕相减吊,即搅得两予圆公休共弦AB所在才直线棍的方惠程:野4x+4y+-8=0.∴圆木心O1(0总,-1)母到直毯线AB的距停离为==,解得=4环或=2棋0.故圆O2的方游程为坝(x-2)2+(y-1)2=4选或(x-2)2+(y-1)2=2吗0.考纲抢解读命题攀预测知识血盘点典例堤精析技巧掘归纳真题跨探究基础哪拾遗例题扩备选【点敬评】死判断仁两圆窜位置被关系歪的方狭法有戚两种费:一永是代月数法紧,即淡解由隙两圆方程架组成钢的方婆程组询,若曲方程布组无抄实数卡解,怪则两桂圆相浩离或科内含细,若胞方程高组有两初组相刺同的是实数拴解,疼则两钻圆相私切,顽若方芳程组悄有两叠组不津同的等实数潜解,抗则两圆殊相交很;二灰是几逗何法乓,即威通过陆讨论意两圆促的圆单心距词与两讯圆半茫径之吹间的关系冤来判县断两足圆的删位置篮关系掘.考纲许解读命题跪预测知识腔盘点典例吉精析技巧艰归纳真题蚀探究基础裕拾遗例题贤备选变式眉训练艘3惑(1油)若安圆x2+y2=4总与圆x2+y2+2ay-6=壶0(a>0恼)的地公共虎弦长益为杰2,则a=.(2抖)若妙☉O:x2+y2=5纵与☉O1:(x-m)2+y2=2尖0(m∈R擦)相新交于A、B两点咸,且渡两圆在课点A处的益切线柔互相犹垂直炉,则套线段AB的长黑度是.【答估案】谎(通1)出1狠(青2)砌4【解析】(1)两圆方程作差,易知弦所在直线方程为:y=

,由已知半弦长为

,半径为2,故

=1,∴a=1.(2)由题意,☉O1与☉O在A处的切线互相垂直,则两切线分别过另一

圆的圆心,所以O1A⊥OA.又∵|OA|=

,|O1A|=2

,∴|OO1|=5,而A、B关于OO1轴对称,所以AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍,即|AB|=2×

=4.考纲尊解读命题僚预测知识策盘点典例涂精析技巧恐归纳真题冷探究基础肾拾遗例题按备选1.咏判断珠直线嗽与圆院的位捉置关缸系一娘般有赏两种源方法脆(1运)几血何法午:比暑较圆蕉心到直线得的距起离与片圆半劲径的哀大小歼;(蹲2)币代数状法:伏讨论干圆的掏方程姜与直周线方诉程的实数追解的墨组数乡丰.注脉意:进两种芝方法兔中优顾先考挽虑使订用几汉何法维.2程求过描圆外疼一点香(x0,y0)的舒圆的传切线粪方程分的方们法:招(1屈)几甚何法亲:当耐斜率呈存在时,敌设为k,切浸线方号程为y-y0=k(x-x0),硬即kx-y+y0-kx0=0舒.由智圆心滑到直勾线的歼距离等狸于半寸径,扔即可醋得出桑切线方方程料;(程2)炼代数谨法:切当斜泛率存踏在时递,设熊切线窃方程为y-y0=k(x-x0),贺即y=kx-kx0+y0,代布入圆恋方程淋,得烘一个菌关于x的一搞元二视次方程激,由Δ=0济,求云得k,切顾线方谊程即祝可求元出.考纲象解读命题身预测知识乏盘点典例肠精析技巧则归纳真题给探究基础雹拾遗例题齐备选3.驻以P(x1,y1)、Q(x2,y2)为翼直径啦端点温的圆概的方增程为绒(x-x1)(x-x2)+钥(y-y1)(y-y2)=翼0.4.猫圆的忧弦长赵的常捷用求芽法:券(1迫)几扫何法墓:设丘圆的俗半径紫为r,弦停心距袋为d,弦润长为l,则土()2=r2-d2;(绵2)迹代数泪法:树运用扁韦达苹定理宾及弦镜长公劣式:星|AB|=|x1-x2|=·.5.数判家断两粗圆的糠位置盘关系斧时常舞用几翼何法疼,宰即利贴用两鱼圆圆厘心之啄间的纽奉距离与两攻圆半屯径之路间的疯关系灵,敲一般发不采虹用代勺数法摸.若蕉两圆巷相交封,则蓝两圆秃公共弦犬所在卖直线物的方火程可碍由两傻圆的灭方程哈作差透消去x2、y2项得决到.考纲膏解读命题趁预测知识浮盘点典例休精析技巧席归纳真题授探究基础慕拾遗例题鼓备选1.快(2停01绣1年玩江西晚卷)斩若曲月线C1:x2+y2-2x=0瓣与曲艳线C2:y(y-mx-m)=笛0有赠四个不同净的交便点,厚则实墙数m的取甜值范疫围是(增)(A型)(-,).碍(B聋)(-,0榴)∪(0卖,).(C袄)[-,].绩(援D)片(-∞,-)∪(,+∞).【解析】配方得,曲线C1:(x-1)2+y2=1,即曲线C1是圆心为C1(1,0),半径

为1的圆,曲线C2则表示两条直线:x轴与直线l:y=m(x+1),显然x轴与圆

C1有两个交点,于是直线l与曲线C1相交,故圆心C1到直线l的距离d=

<r=1,解得m∈(-

,

),又当m=0时,直线l与x轴重合,此时只有两个交点,应舍去.故选B.【答绒案】妈B考纲绵解读命题柔预测知识须盘点典例暗精析技巧远归纳真题线探究基础准拾遗例题困备选2.颠(2笼01剧1年奴重庆绘卷)果设圆C位于诱抛物和线y2=2x与直橡线x=3莫所组北成的排封闭逝区域(互包含武边界首)内竟,则通圆C的半套径能窗取到泪的最学大值撒为.【解析】由题意知,半径取得最大值的圆的圆心必在x轴上,设圆心

为(a,0)(0<a<3),则半径为3-a,于是圆的方程为(x-a)2+y2=(3-a)2,将抛物

线方程y2=2x代入圆方程得(x-a)2+2x=(a-3)2,即x2-2(a-1)x+6a-9=0,由Δ=

4(a-1)2-4(6a-9)=0,即a2-8a+10=0,a=4±

,∵0<a<3,∴a=4-

,故圆C的半径能取到的最大值为3-a=

-1.【答案】

-1考纲姓解读命题怜预测知识蛙盘点典例矩精析技巧眼归纳真题猴探究基础滴拾遗例题葬备选例1监已灰知点M(3筋,1纷),葡直线ax-y+4腔=0演及圆劝(x-1)2+(y-2)2=4姿.(1锻)求津过M点的姿圆的台切线件方程税;(2搏)若诞直线ax-y+4栋=0珍与圆徒相切迎,求a的值威;(3念)若断直线ax-y+4鸭=0叉与圆魔相交轿于A,B两点离,且勺弦AB的长盯为2,求a的值下.考纲巨解读命题尘预测知识滴盘点典例税精析技巧亿归纳真题甲探究基础盖拾遗例题懒备选【解爬析】和(1滴)由唐题意递可知M在圆铅(x-1)2+(y-2)2=4润外,其故切役线有耕两条栽.当斜愉率不扮存在践时,胆显然度直线x=3扣与圆佣相切革.当斜拣率存摇在时御设切婆线为y-1=k(x-3)牵,即kx-y-3k+1坐=0拐.由=2剥,∴k=,∴泼所求获的切懒线方应程为x=3摩或3x-4y-5=模0.(2飞)由ax-y+4踩=0类与圆窃相切额知=2畅,∴a=0初或a=.(3脖)圆车心到摊直线证的距搜离d=,又AB=2,r=2售,∴由r2=d2+()2,可朋得a=-.考纲俭解读命题拜预测知识绿盘点典例乎精析技巧碧归纳真题黎探究基础昨拾遗例题蹲备选例2丙已敞知以臣点C(t,)(t∈R捎,t≠0)剥为圆棍心的皂圆与x轴交地于点O、A,与y轴交侵于点O、B,其励中O为原僻点.(1声)求拨证:桑△AO章B的面米积为归定值肺;(2多)设威直线位2x+y-4=占