常微分方程数值解与malab

实验4-常微分方程数值解1.求解常微分方程数值方法介绍（1）一阶微分方程

求方程(1)的数值解,就是计算(精确)解在一系列离散点的近似值.通常取相等的步长h,于是xn=x0+nh(n=1,2,…).

(a)欧拉方法基本思想是在小区间[xn,xn+1]上用差商代替方程(1)左端的导数而方程右端函数f(x,y(x))中的x取[xn,xn+1]上得某一点,公式为（2）实验4-常微分方程数值解(b)Runge-Kutta方法基本思想是用小区间[xn,xn+1]上的若干个点的导数的线性组合代替方程(2)右端的,一般形式为

(3)满足并使(3)的局部截断误差

-------L级p阶Runge-Kutta公式实验4-常微分方程数值解

(2)常微分方程组和高阶方程的数值方法欧拉方法和Runge-Kutta方法可直接推广到求常微分方程组,如对欧拉公式为Runge-Kutta公式有类似的形式.对高阶方程

(5)需先降阶化为一阶常微分方程组,降阶方法不唯一.简单、常用的方法是令y1=y,将(5)化为实验4-常微分方程数值解

2.

Runge-Kutta方法的MatLab实现对微分方程(组)的初值问题Runge-Kutta方法用MatLab命令实现:[t,x]=ode23(@f,ts,x0,options)%用3级2阶Runge-Kutta公式[t,x]=ode45(@f,ts,x0,options)%用5级4阶Runge-Kutta公式命令的输入f是待解方程写成的函数M文件:functiondx=f(t,x)Dx=[f1;f2;…;fn];实验4-常微分方程数值解

2.

Runge-Kutta方法的MatLab实现举例：仿真模拟著名的Lorenz系统混沌图其中，先建立一个函数M文件

functionxdot=lorenz(t,x)sigma=10;r=28;row=8/3;xdot=[-sigma*x(1)+sigma*x(2);(r-x(3))*x(1)-x(2);x(1)*x(2)-row*x(3)];

实验4-常微分方程数值解

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Runge-Kutta方法的MatLab实现画出Lorenz系统图clearall;clf;options=odeset('RelTol',1e-5,'AbsTol',1e-5);tspan=[0,100];x0=[1,2,3];[t,x]=ode45('lorenz',tspan,x0,options);l=length(x(:,1));a=1;b=l;figure(1)plot3(x(a:b,3),x(a:b,1),x(a:b,2),‘b’);gridon;%画出三维相图xlabel('z');ylabel('x');zlabel('y');figure(2)subplot(311);plot(t,x(a:b,1));%画三分量演化图subplot(312);plot(t,x(a:b,2))subplot(313);plot(t,x(a:b,3))

实验4-常微分方程数值解

2.

Runge-Kutta方法的MatLab实现作业报告：著名的Duffing系统（描述弹簧系统性质）其中类似的，分别画出F=1，2，3，4，6等时的相图翻阅一些参考书，你能得到一些什么结论？

实验4-常微及分方射程数交值解3.实例问题缉私芳艇追耳击走返私船海上扩边防举缉私蛛艇发斤现距d公里敲处有屈一走匹私船耳正以急匀速a沿直父线行职驶,缉私荒艇立婚即以止最大嚷匀速犬度v追赶,在雷捕达的非引导预下,缉私避艇的附方向屋始终左指向播走私宗船.问缉捧私艇竖何时沈追赶研上走璃私船?并求话出缉趁私艇尾追赶够的路按线.SS0dM(x,y)（1）建毅立模很型走私支船初皆始位裙置在垫点(S0,0慕),行驶怜方向玻为x轴正膨方向,缉私岁艇的今初始卖位置瓶在点(0唯,M0),在时批刻t：走私贴船的镰位置顶到达射点:(俭S0+a签t,明0)缉私症艇到携达点M(池x,米y)S0dM(x,y)S（2）模坛型求竞解（a）求铁解析幅解令：令：（2）模型何求解(a优)求解钩析解当y=疏0时:走私承船a=本0.巷4千米/秒，分别厕取v=倘0.怀6,忍0总.8滋,娱1.绍0千米/秒时，缉私株艇追纺赶路现线的抓图形。cl惊ea夕r踩al皱l;cl茅f;a=里0.偶4;细v=紫[0棚.6绕0阻.8但1挺.0聪];抹%取不拼同的无速度r=五0.然4.剃/v父;填t=遣20伐*r漆./爸(a厉*(型1-珠r.伏^2时))间%追上舱的时亚间fo唇r络i=哭1:疫3y=邻20滴:-欺0.掌01汽:0裹;x(页:,靠i)岗=-章0.说5*馋(-鹅40壳*r锅(i屈)+脊20摔^(叫-r准(i久))即*(版r(妖i)脂-1汉)*川y.刃^(著1+泉r(项i)季)+筹20烧^r执(i厕)*射(r新(i尖)+订1)灰*y辨.^叛(1丑-r族(i讨))掘)/快(1购-r犹(i洗)^嘴2)聪;pl挑ot泻(x球(:向,i怖),础y)趋;a厚xi魂s(植[0温3蛋0剪0霜20份])矛;嫌ho棋ld症o厚nen椒d追赶雀时间步分别累为：T=60兆.0戚00斤0,33菊.3沟33放3,23盖.8姿09垮5（秒）2)当时，缉私绸艇不辛可能慰追赶帅上走难私船。3），，当时，，缉私墙艇不其可能挤追赶邀上走武私船。（b）用MA杏TL司AB软件胳求解穗析解MA皇TL柴AB软件5.亡3以上庸版本纲提供甚的解坚常微蔬分方广程解削析解豆的指皮令是Ds灿ol心ve,完整浓的调运用格醒式是:ds池ol次ve('逃eq槽n1慎',针'e仙qn双2'呀,气..皇.)其中‘eq冒n1旁’,棒‘e毛qn伯2’妻,鞠..呈.是输桃入宗健量,包括绪三部改分:微分木方程隶、初肾始条件纱、指乒定变壶量,若不季指定和变量,则默蕉认小我写字乒母t为独崭立变罗量.书P-郑69微分痰方程锻的书怖写格液式规晶定:当y是因幕变量捡时,用“Dn企y”表示y的n阶导网数.例没求捧微分之方程的通伏解。ds盼ol爹ve('Dy=x摆+x碧*y兵',岛'x存')An银s=-临1+熔ex帐p(歼1/抹2*船x^盘2)诉*C脖1ds裁ol愉ve蚊('胳Dx娱=1评/2障*(榴(y涨/2忌0)抹^r脸-(卷20倡/y柳)^剂r)糠',祸'x亦(2府0)追=0骑',类'y舟')An玻s=炕1/智2*猛20叛^(筒-r词)*床y^宜(r侄+1尝)/谈(r工+1龟)+晓1/赤2*丝式20划^r叼/(背r-挺1)京*y溪*(屋1/琴y)嚷^r有-2搜0*除r/望(r雁^2效-1漆)S0dM(x,y)（c）用MA钢TL省AB软件尸防真当建截立动针态系粗统的组微分燃方程护模型盲很困枪难时,我们剖可以瘦用计境算机止仿真良法对袍系统减进行涛分析副研究.所谓卫计算院机仿宋真就讲是利汁用计夜算机嫌对实新际动身态系统的省结构鸽和行放为进淹行编伏程、岔模拟锹和计父算,以此来预朵测系榆统的任行为俊效果.追赶抛方向贼可用苏方向障余弦惹表示肚为：%两点健形成忧的向铺量的景方向询余弦时间积步长但为，则在叠时刻时：仿真会算法：第一锡步：殖设置斥时间肃步长,速度a,辟v及初研始距迫离d，第二寻步：计算纹动点居缉私蒜艇D在时讲刻时的各坐标，计算拘走私禾船R在时点刻时的体坐标，第三射步：机计算映缉私芦艇与链走私换船这眉两个智动点更之间亚的距守离：根据盆事先斑给定胀的距乔离，僻判断寄缉私访艇是膊否已违经追耗上了牌走私导船，洁从而拖判断退出败循环需还是糖让时奖间产奖生一那个步压长，勒返回胡到第拍二步码继续虑进入诉下一素次循卖环；第四摇步：奴当从升上述澡循环箩退出雾后，坐由点柏列和可分渠别绘制成扑两条冲曲线书即为胁缉私淘艇和速走私作船走娃过的借轨迹交曲线遗。缉私凉艇初稠始位奔置，走私转船初飘始位贡置追击与问题玩的数嘴值模悠拟(P坟-6泉6)cl亡ea树r;逐cl拼f;d=爽12饮0;朴v=停90厚;a觉=8膛0;遵s0银=8伸;%给出迟初始义条件T=遇10复;d闭t=驱0.艰00雁1;拆%选取愤时间亚区间T(可以纠偏大兆一点),时间弦微元dtt=嘉0:链dt芳:T馋;%离散遣时间慨表tn=节le若ng咬th版(t罪);据%离散机时间召表t长度x(逐1)虾=0御;y期(1爪)=异d;句s(慎1)么=s肠0;欺%初始谁位置楼、初节始距傅离fo培r趟i=座1:傍nx(姐i+什1)蜜=x荡(i首)+段v*dt*(天s0深+a融*t桃(i肺)-钱x(斤i)帮)/许sq袭rt碍((郑s0闯+a眨*t岗(i近)-任x(茫i)粒)^健2+调y(萌i)珍^2迁);y(焦i+孤1)众=y岗(i晚)+贪v*dt*(计-y尊(i正))户/s黎qr威t(营(s茶0+绣a*蝇t(控i)键-x宵(i迹))赛^2毛+y甚(i册)^虎2)蜻;%递推负算式扬、d=淘sq披rt梯((另s0惩+a旨*t屿(i罢)-编x(喷i)陷)^妈2+昆y(蛋i)器^2颂);术%文t(羊i)时刻扭的距详离if某d逢<0娇.1i*dtbr罢ea福ken纲d%判断电是否凑已追键上，絮并显剩示追顶上时够的时爆间s(此i)太=s稼0+凤a*迷t(嫌i)鉴;en粉dpl木ot古(x醒,y)%c防om站et焦(x抹,y洽);（e）结果当分析用求似解析伍解的潜方法迫算得捆的解穗是最恢为精傅确的;用数聪值方僚法计私算的启结果叹依赖皇于迭以代终蝇值的筐设定,减小挺迭代叛终值延可以券提高举计算迫精度;用计走算机惊仿真法笼计算悉的结搭果依唯赖于敞时间活迭代具步长怕的选援取和程序谈终止丘条件挥的设赌定,修改肝终止荡条件鹊的设黑定和减小幸时间招迭代摩步长谈可以戏提高呀计算乡丰精度,减小珠误差.实验4-常微集分方闹程数决值解4.刚性裁现象远与刚舰性方六程刚性弄现象振动货系统械或包通含电造容、揉电感机、电旋阻的朋电路郊系统窄的数银学模骄型一轻般为接：给定岗一组喝参数k=凶20陆00徒.5谎,畅r=乌10踏00饭,汗a=贿1,狐b光=-先19窄99巧.5克,f苍(t沙)=咽1.则(*灵1)的解熊为稳态厕解快瞬琴态解苏慢瞬失态解对快测瞬态贡解:时间脑常数t1=1椅/2惯00愈0=紫0.务00朋05焰,计算派到t=饭10丽t1=0慨.0驾05时,该项爆已衰召减到;对慢括瞬态营解:时间待常数t2=2梦,计算示到t=炮10梁t2=2秋0时它候才衰污减到.用数批值方颜法求圾解时,精度懒要达郊到,至少既要算扫到t=坚20适,需要14描28当6步,这样皮大的监计算街量是省由快乒瞬态破解和很慢瞬些态解喷的衰丛减速皮度相角差悬弃殊造蚊成的,这现秋象称首为刚戏性现需象,相应险的微挪分方可程称抵为刚宣性方手程.实验4-常微恩分方杂程数霞值解4.刚性叶现象挂与刚落性方乐程刚性裙方程振动悔、电馆路及杯化学全反应忽中出腥现刚葱性现炉象的崭方程凶可表沃示为滋：（*2）其中x,篮f是n维向健量,晕A是nx碌n矩阵.当A的特灰征根的实钳部蛛均嚷为负哨数时,方程名通解斑中对魄应于的值追大的碑项为肠快瞬励态解,值小灭的项颂为慢杨瞬态陵解,称曲为刚性帐比.s>乒10的方册程便坊可认示为是萍刚性犹方程,实际案问题盐中可盖出现s达堪的情克况.刚性安是问副题本祸身的左性质,与解社法无巷关.但正耗是由搁于这冷种性与质,用数湖值方乖法求北解时脆需要场计算弊到最摧慢瞬殿态解检衰减承成可兔忽略身的小礼量为法止,使得烧积分昂区间斥很长,而为逮保证蚂计算渣的稳壶定性,当最意快瞬居态解樱的酿很胖大时,又必铃须使伍步长优充分芝小,这就劈燕出现恒了在钞大区碧间上耗用小倚步长传计算签的困屯难情元况.实验4-常微纵分方价程数俩值解4.刚性踪蝶现象哗与刚使性方梢程Ma扯tL舞ab求解Ma筒tl炒ab中求企解常额微分旱方程与的命秒令od啦e2券3,张o材de境45花.由于痕其步万长是析按稳碎定性好要求抽和指书定的猾精度赛加以绸调整刷的,所以锁用它毯们解撞刚性鞭微分监方程腰时步胜长会史自动坚变小,对于枪大的描区间坑会导裁致计愿算时滨间很辈长.Ma触tl春ab中有街专门震求解牵刚性龄方程协的命跳令od骑e2澡3s哪,雾od顿e1球5s丙,用法徒与od脉e2阔