常用离散分布

关于常用离散分布第1页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三例

抛一枚均匀硬币,令

则随机变量X服从(0-1)分布.其分布律为则称X服从(0-1)

分布或两点分布.记为X~b(1,p)第2页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布刻画.说明第3页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

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二项分布

记为X~b(n,p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时，b(1,p)为0-1分布.第4页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三二项分布的图形第5页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

试验次数为n=4,“成功”即取得合格品的概率为p=0.8,

所以,X~b(4,0.8)思考：若Y为不合格品件数，Y？Y~b(4,0.2)

一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,

每次一件,则取得合格品件数X服从二项分布.第6页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

例2.4.1

设X~b(2,p)，Y~b(4,p)，已知P(X1)=8/9，求P(Y1).解:

由P(X1)=8/9

，知P(X=0)=1/9.

由此得：P(Y1)=1P(Y=0)所以1/9

=P(X=0)=(1p)2，从而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.第7页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三若随机变量X的概率分布为则称X服从参数为的泊松分布,

记为X~P().4泊松分布第8页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三第9页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三泊松分布的图形第10页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.第11页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中

,泊松分布是常见的.第12页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三例2.4.5

商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l=8的泊松分布。为了以90%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？

解由附录的泊松分布表知

只要在月底进货12件(假定上个月没有存货)，就可以90%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销。第13页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三泊松定理定理2.4.1(二项分布的泊松近似)在n重伯努里试验中，记pn

为一次试验中成功的概率.若npn

，则第14页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三二项分布

泊松分布n很大,p

很小上面我们提到单击图形播放/暂停ESC键退出第15页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

例2.4.7有10000名同年龄且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险。每个投保人在每年初交纳200元保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人获10000元的赔偿费。根据生命表知这类人的年死亡率为0.001。试求保险公司在这项业务上（1）亏本的概率；（2）至少获利500000元的概率。第16页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三记为X~h(n,N,M).超几何分布对应于不返回抽样模型

：N个产品中有M个不合格品，

从中抽取n个，不合格品的个数为X.2.4.3超几何分布第17页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三记为X~Ge(p)

X为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.

几何分布具有无记忆性，即：

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)2.4.4几何分布第18页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三负二项分布(巴斯卡分布)记为X~Nb(r,p).X为独立重复的伯努里试验中，“第r次成功”时的试验次数.第19页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三注意点（1）

二项随机变量是独立0-1随机变量之和.

n重伯努利试验可看作由n个相同的、独立进行的伯努利试验组成，若将第i个伯努利试验中成功的次数记为Xi~b(1,p)(i=1,…,n),n重伯努利试验成功的总次数X=X1+X2+…+Xn

，它服从b(n,p).第20页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三注意点（2）

负二项随机变量是独立几何随机变量之和.

做一系列的伯努利试验，如果将首个成功出现时的试验次数记为X1，第二个成功出现时的试验次数（从第一次成功之后算起）记为X2，…，第r个成功出现时的试验次数记为Xr,

则Xi独立同分布，且Xi

~Ge(p).此时有X=X1+X2+…+Xn~Nb(r,p).第21页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三1.

（0–1）分布，其分布律为

解：第22页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三2二项分布设X服从参数为n、p

的二项分布，其分布律为有第23页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三3泊松分布设X

服从参数为的泊松分布，其分布律为X的数学期望为

第24页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三又可算得=故第25页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三常用离散分布的数学期望

几何分布Ge(p)的数学期望=1/p

0-1分布的数学期望=p

二项分布b(n,p)的数学期望=np

泊松分布P()的数学期望=第26页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三常用离散分布的方差

0-1分布的方差=p(1p)

二项分布b(n,p)的方差=np(1p)

泊松分布P()的方差=