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文档简介

关于定积分求面积1第1页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三2

用定积分解决实际问题，应先明确

两个问题：第一，定积分能解决哪类问题？(共性)第二，用定积分解决这类问题方法的关键是什么？第2页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三3一、微元法第一个问题：用定积分所解决问题的共性：

2.这个在[a,b]上分布的整体量等于其所有1.都是求在[a,b]非均匀分布的一个整体量，如：面积、体积、曲线弧长；作功、引力、总成本、总利润等等；第3页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三4子区间局部量的总和(可和)，具体地讲：设F(x)可微第4页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三5第二个问题：用定积分解决问题的关键

——在找出整体量的微元：微元法解决问题的步骤1.写出实际问题整体改变量的微元表达式：2.用定积分求出整体改变量：第5页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三6二、定积分的几何应用1.平面图形的面积（Area）用微元法求面积

第6页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三7例1求由所围图形的面积.(如图)思考:求面积前需要做那些准备工作?第7页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三8解从图中可以明显看出所求面积分为两部两块面积的微元分别为：分:第8页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三9第9页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三10

用微元法求面积

求面积前需要做的准备工作有:第10页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三11(1)

最好能作出草图,弄清边界曲线的方程;

(2)

根据所选方法确定积分变量及总量微元;(3)

确定积分区间,为此常需要求出边界曲线交点的坐标.(如图)第11页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三12例2再求由所围图形的面积.(如图)第12页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三13

解那种方法好？第13页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三14例3求星形线所围面积，它的参数方程为：直角坐标方程第14页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三解由对称性只需求出(1/4)面积即可。第15页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三例4用微元法推导由极坐标给出的曲线C：用微元法先推导—

极坐标系下求面积的表达式or所围的面积,并求心脏所围图形的面积.第16页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三17解心脏线的对称性是明显的，因此第17页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三18例5求双纽线：所围封闭图形的面积。第18页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三19解(当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过分析求出面积？)分析使用公式：

解这个问题的难点在确定积分限。注意到每两个零点曲线封闭一次.变化过程中，第19页，讲稿共22页，2023年5月2日，星期三20由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重复出现在第一、三象限,且图形关于原点对称，故有进而得第20页，讲稿共22页，2023年5

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