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文档简介
关于定积分的分部积分法第1页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三第一节定积分的概念
一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积
图6-1所围成的平
面图形称为曲边梯形,如图6-1.求其面积的四个步骤:
(1)分割
任取分点把底边分成个小区间.(2)取近似(3)求和
(4)取极限
第2页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三要计算这段时间内所走的路程.
(3)求和
二定积分的定义2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,
上的连续函数,
(1)分割任取分点,
(2)取近似
(4)取极限设函数上有定义,
任取分点
=1,2,…,n),记
…,第3页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三在每个小区间上任取一点
作乘积
的和式:
上述和式的极限存在,则称此极限值为函数
在区间
上的定积分,
(此时,也称)记为根据这个定义,两个实际问题都可用定积分表示为:曲边梯形的面积
变速运动路程
第4页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三三定积分的几何意义图形在轴之上,积分值为正,有
图形在轴下方,积分值为负,即则积分值就等于曲线在轴上方的部分
与下方部分面积的代数和,如图6-2所示,有图6-2四定积分的性质
性质1性质2
性质3
性质4第5页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
性质5
则性质6
则至少存在一点使得例估计定积分的值.
解先求在[-1,1]上的最大值和最小值.得驻点
在驻点及区间端点处的函数值,
故最大值最小值
由估值定理得,
第6页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
习题6-11.利用定积分的几何意义,说明:2.利用定积分的几何意义,求下列定积分.3.利用定积分估值定理,估值定积分
的值.
第二节微积分基本公式一、变上限的定积分第7页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
通常称函数Φ为变上限积分函数或变上限积分.定理1
如果函数
则变上限积分
推论连续函数的原函数一定存在.例1
计算
解因为
故
第8页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
例2
求下列函数的导数:解⑴
⑵设
例3求
解
二、牛顿——莱布尼茨公式定理2设函数第9页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
则有上式称为牛顿——莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式.
为方便起见,
常记作
例4求定积分解1第10页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
习题6-21.计算2.计算下列各定积分第三节定积分的换元法例1求
解法1
第11页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
于是解法2设于是一般地,定积分换元法可叙述如下:,且当
例1求
于是第12页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
例2求
于是,例3求于是第13页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
例4求
由定积分换元法,得于是第14页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三于是例6求
例7证明
证比较两边被积函数,可以看出,于是第15页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
习题6-3
1.计算下列定积分2.利用函数的奇偶性计算下列定积分:3.证明
第四节定积分的分部积分法这就是定积分的分部积分法.例1
第16页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
例2求
例3求
这样依次进行下去.第17页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三当n为奇数时,当n为偶数时,这个公式称为递推公式.例4求习题6-4计算下列定积分第18页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
第五节广义积分一、无究区间上的广义积分定义1设函数
我们把极限上的广义积分,记为若极限存在,称广义积分收敛;若极限不存在,则称发散.
类似地,可以定义在
上的广义积分为上的广义积分定义为其中c为任意常数,当右边的两个广义积分都收敛时,
广义积分
才是收敛的,否则是发散的.第19页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三例1计算广义积分解
例2讨论
的敛散性.
解
所以发散.例3计算广义积分
解例4
讨论的敛散性
.解
⑴当p>1时,
(收敛);⑵当p=1时
(发散);第20页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
⑶当p<1时,
(发散),综上,
二、无界函数的广义积分取ξ>0,
称极限
的广义积分,记为若该极限存在,则称广义积分
收敛;若极限不存在,则称
发散.
类似地,当的无穷间断点时,即上的广义积分定义为:第21页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
当无穷间断点
位于区间内部时,则定义广义积分
为:上式右端两个积分均为广义积分,当这两个广义积分都收敛时,才称
是收敛的,否则,称是发散的.上述无界函数的积分也称瑕积分.例5求广义积分
解因为被积函数的无穷间断点,于是例6证明广义积分当p<1时收敛,当p≥1时发散.证
⑴p<1时,
(收敛);⑵当p>1时,
(发散);
第22页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三⑶当p=1时,
(发散).因此,当p<1时,此广义积分收敛,其值为当p≥1时,广义积分发散.复习题六一、填空题的极小值为___.的取值范围为___
;第23页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
二、单项选择题为连续函数,则积分
A.与
,s,t有关;
B.与t,
C.与s,t有关;
D.仅与
有关.A>0; B≥0; C<0;D≤0.A.充分条件; B.必要条件; C.充分必要条件;D.无关条件.为连续函数,则下列各式正确的是()第24页,讲稿共27页,2023年5月2日,星期三
A.<2; B.<1 ; C.>1 ; D.>2. A.0; B.2; C.1; D.-1.A.0; B.1; C.2;
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