高一物理圆周运动经典例题

高一物理圆周运动经典例题

课题：圆周运动典型例题教学目的：1.掌握描述圆周运动的物理量及相关计算公式；2.学会应用牛顿第二定律解决圆周运动问题；3.掌握分析、解决圆周运动动力学问题的基本方法和基本技能；4.会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题。重难点：1.分析判断临界时的速度或受力特征；2.应用牛顿第二定律解决圆周运动的动力学问题。教学内容：【基础知识网络总结】1.变速圆周运动特点：(1)速度大小变化——有切向加速度，速度方向改变——有向心加速度。因此，合加速度不一定指向圆心。(2)合外力不全部提供作为向心力，合外力不指向圆心。2.处理圆周运动动力学问题的步骤：(1)确定研究对象，进行受力分析，画出运动草图；(2)标出已知量和需求的物理量；(3)建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合；(4)用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解。3.火车转弯问题：由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大。如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏。实用中使外轨略高于内轨，从而重力和弹力的合力提供火车拐弯时所需的向心力。铁轨拐弯处半径为R，内外轨高度差为H，两轨间距为L，火车总质量为M，则：(1)火车在拐弯处运动的“规定速度”即内外轨均不受压的速度vP；(2)若火车实际速度大于vP，则外轨将受到侧向压力；(3)若火车实际速度小于vP，则内轨将受到侧向压力。4.“水流星”问题：绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力。(1)杯子在最高点的最小速度vmin=(gL)1/2；(2)当杯子在最高点速度为v1>vmin时，杯子内的水对杯底有压力。若计算中求得杯子在最高点速度v2<vmin，则杯子不能到达最高点。若“水流星”问题中杯子中水的质量为m，当在最高点速度为v2>vmin时，水对杯底的压力为多大？5.斜面、悬绳弹力的水平分力提供加速度a=gtanα的问题：斜面体和光滑小球一起向右加速的共同加速度a=gtanα。因为F2=FNcosα=mg，F1=FNsinα=ma，所以a=gtanα。1.火车和汽车在拐弯处通常会建造外高内低的斜坡，以解决向心加速度和α的关系，这个关系可以表示为a=gtanα，其中tanα=h/L，a=v^2/R。2.在加速小车中，悬挂小球、圆锥摆和光滑锥内不同位置的小球都有a=gtanα的关系。3.典型的非匀速圆周运动是竖直面内的圆周运动，其特点是物体在圆周运动中速率不断变化。在最高点时，物体速率最小，在最低点时速率最大。在最低点，向心力向上，重力向下，因此弹力必须向上且大于重力。在最高点，向心力向下，重力也向下，因此弹力的方向不能确定，需要分三种情况进行讨论。4.第一种情况是竖直面内没有物体支撑的小球，在圆周运动中通过最高点，弹力只能向下。此时，临界条件是绳子或轨道对小球没有力的作用，在最高点速率为Rg。小球能通过最高点的条件是在最高点速率大于Rg，不能通过最高点的条件是在最高点速率小于Rg。5.第二种情况是弹力只能向上的情况，如车过桥。在这种情况下，弹力和重力的大小关系为mg-F=mv^2/R≤mg，因此速率不能大于gR，否则车将离开桥面，做平抛运动。6.第三种情况是弹力既可以向上又可以向下的情况，如管内转、杆连球和环穿珠。在这种情况下，速率大小可以取任意值。但可以进一步讨论：当速率大于gR时，物体受到的弹力必然向下；当速率小于gR时，物体受到的弹力必然向上；当速率等于gR时，物体受到的弹力恰好为零。7.例题：如图所示，质量为0.1kg的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中A绳长L_A=2m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角θ_1=30°，θ_2=45°，g=10m/s。求：（1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A、B两绳始终张紧？（2）当ω=3rad/s时，A、B两绳的拉力分别为多大？解析：（1）当B绳恰好拉直，但T_B=0时，细杆的转动角速度为ω_1，有T_Acos30°=mg，T_Asin30°=mω_1L_Asin30°，解得ω_1=2.4rad/s。当A绳恰好拉直，但T_A=0时，细杆的转动角速度为ω_2，有T_Bcos45°=mg，T_Bsin45°=mω_2L_Acos45°，解得ω_2=3.54rad/s。因此，当ω在2.4rad/s和3.54rad/s之间时，A、B两绳始终张紧。（2）当ω=3rad/s时，有T_Acos30°+T_Bcos45°=mg，T_Asin30°=mω^2L_Asin30°，T_Bsin45°=mω^2L_Acos45°，解得T_A≈0.73N，T_B≈0.94N。因此，A、B两绳的拉力分别为0.73N和0.94N。cos45=mg/TT=mω^2B/(sin45*L*A*sin30)Solveforω:ω^2=3.15(rad/s)Tokeepbothropestight:2.4rad/s≤ω≤3.15rad/sWhenω=3rad/s,bothropesaretight.T_A*sin30°+T_B*sin45°=mω^2L*A*sin30°T_A*cos30°+T_B*cos45°=mgSolveforT_A=0.27N,T_B=1.09N32.Asmallwoodenblockisplaced0.1mawayfromthecenterofatilteddiskthatisrotatinguniformlyarounditsaxiswithatiltangleof37°.Theblockisrotatingwiththediskandhasadynamicfrictioncoefficientof0.8withthedisk.Ifthemaximumstaticfrictionforcebetweentheblockandthediskisthesameastheslidingfrictionforceunderthesameconditions,whatisthemaximumangularvelocityofthedisktokeeptheblockfromslidingrelativetothedisk?Solution:Atthelowestpoint,theblockismostlikelytosliderelativetothedisk.Atthispoint,theangularvelocityofthediskisatitsmaximum.Therefore,μmgcos37°-mgsin37°=mω^2r.ω=g(μcos37°-sin37°)/r=10*(0.8*0.8-0.6)/0.1rad/s=2rad/s.Therefore,optionBiscorrect.3.Asmallballwithamassof0.2kgisconnectedtoaropewithalengthof0.8mthatisfixedatoneendatpointOonasmoothinclinedplanewithanangleofα=30°.Theballmovesinacircularmotionalongtheinclinedplane.Calculate:(1)TheminimumvelocityoftheballatthehighestpointA.(2)Theminimumvelocityoftheballatthelowestpoint.(3)IfthemaximumtensionthattheropecanwithstandisF_max=10N,whatisthemaximumvelocityoftheballatthelowestpointB?Solution:(1)TheequivalentgravityoftheballatthelowestpointisG=mgsinα.ThevelocityoftheballisminimumatthehighestpointA.v_Amin=gLsinα=2m/s.(2)Accordingtothelawofconservationofenergy,mgsinα*2L=1/2*mv_B^2-1/2*mv_A^2.Theminimumvelocityoftheballatthelowestpointisv_Bmin=sqrt(5m/s^2)=2.24m/s.(3)Ifthemaximumtensionoftheropeis10N,accordingtoNewton'ssecondlaw,F-mgsinα=mv_B^2/R.Solveforv_Bmax=6m/s.在一根长为L的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为m的小球B和C，如图所示。杆可以在竖直平面内绕固定点A转动。将杆拉到某位置放开，末端C球摆到最低位置时，杆BC受到的拉力刚好等于C球重的2倍。求：（g=10m/s²）（1）C球通过最低点时的线速度；（2）杆AB段此时受到的拉力。解析：（1）C球通过最低点时，受力如图且作圆周运动，$T_{BC}-mg=\frac{mv_C^2}{L}$，即$2mg-mg=\frac{mv_C^2}{L}$，得C球通过最低点时的线速度为：$v_C=gL$。（2）以最低点B球为研究对象，其受力如图所示，B球圆周运动的$T_{AB}-mg-2mg$，即$T_{AB}=m\frac{v_B^2}{L/2}$，且$v_{1AB}=\frac{2v_C}{3}$，得杆AB段此时受到的拉力为：$T_{AB}=3.5mg$。点评：此题涉及到两个物体，按常规要分别研究各个物体，分别列出方程。此时还不能求解，必须还要找到两个物体联系的量再列一个方程才能求解，因而，找到两个物体物理量间的联系是解题的关键。本题中两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同是个隐含条件。如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°。一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。（1）当$v=\frac{1}{6}gL$时，求绳对物体的拉力；（2）当$v=\frac{3}{2}gL$时，求绳对物体的拉力。解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为$u_{mg}$，则有$mgt\cos30°=m\frac{u_{mg}^2}{l\sin30°}$，解得$u_{mg}=\frac{3}{2}\sqrt{gl}$。（1）当$v<\frac{1}{6}gL$时，有$T\sin30°-N\cos30°=m\frac{v^2}{l\sin30°}$，$T\cos30°+N\sin30°=mg$，解得$T\approx1.03mg$。（2）当$v>\frac{3}{2}gL$时，小球离开锥面，设绳与轴线夹角为$\varphi$，则$T\cos\varphi=mg$，$T\sin\varphi=m\frac{v^2}{l\sin30°}$，解得$T=2mg$。如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内作匀速圆周运动。现在要判断下列说法的正确性：A.球A的线速度必定大于球B的线速度B.球A的角速度必定小于球B的角速度C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力对小球A、B受力分析，两球的向心力都来源于重力mg和支持力$F_N$的合力，其合成如图4所示，故两球的向心力$F_A=F_B=mg\cot\alpha$。比较线速度时，选用$F=mv^2/r$分析得$r$大，$v$一定大，故A答案正确。比较角速度时，选用$F=m\omega^2r$分析得$r$大，$\omega$一定小，故B答案正确。比较周期时，选用$F=m(2\pi/T)^2r$分析得$r$大，$T$一定大，故C答案不正确。小球A和B受到的支持力$F_N$都等于$mg\sin\alpha$，故D答案不正确。【重难点关联练习巩固与方法总结】1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10m/s时，车对桥的压力为车重的$3/4$。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为（）解析：由于汽车通过拱桥颗顶点时，车对桥的压力为车重的$3/4$，故汽车通过拱桥其他位置时，车对桥的压力一定小于车重，即$P<mg$。当汽车驶至桥顶时，车对桥的压力为0，即$P=0$。根据牛顿第二定律，车所受合力为重力$mg$，故$mg-P=mg$，解得$P=mg/2$。因此，汽车通过拱桥其他位置时，车对桥的压力为$mg/2$。根据牛顿第二定律和牛顿第三定律，车所受合力为重力$mg$，即$mg-F=ma$，其中$a$为车的加速度，$F$为桥对车的支持力。又因为车通过拱桥其他位置时，车对桥的压力为$mg/2$，故$F=mg/2$。代入上式，得到$a=g/2$。当汽车驶至桥顶时，$F=0$，故车所受合力为重力$mg$，即$mg=ma$，解得$a=g$。因此，汽车驶至桥顶时的速度为$\sqrt{2gh}$，其中$h$为拱桥的高度，代入数据计算可得速度为$20m/s$。2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为$m_A=2kg$，离轴心$r_1=2cm$，B的质量为$m_B=1kg$，离轴心$r_2=1cm$，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的$0.5$倍，试求（1）当圆盘转动的角速度$\omega$为多少时，细线上开始出现张力？（2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（$g=10m/s^2$）解析：（1）$\omega$较小时，A、B均由静摩擦力充当向心力，$\omega$增大，$F=m\omega^2r$可知，它们受到的静摩擦力也增大，而$r_1>r_2$，所以A受到的静摩擦力先达到最大值。$\omega$再增大，AB间绳子开始受到拉力。由$F_f=0.5mg$，得：$$\omega=\sqrt{\frac{g}{1.5(r_1-r_2)}}=\sqrt{\frac{10}{3}}rad/s$$（2）当A、B与盘面间不发生相对滑动时，它们受到的摩擦力$F_f=\mumg$的最大值为$0.5mg$，即$\mu=0.5$。由于A、B与盘面间的摩擦力提供了它们的向心力，故$F_f=m\omega^2r$，即$\mumg=m\omega^2r$。解得$\omega=\sqrt{\mug/r}$，代入数据计算可得最大角速度为$10rad/s$。2.当转速达到一定值后，再增加转速，B球所受的向心力靠增加拉力和摩擦力共同提供，而A球所受的向心力仅靠增加拉力提供。由于A球所受的向心力超过B球所受的向心力，当转速再增加时，B球所受的摩擦力逐渐减小直至为零。当转速再增加时，B球所受的摩擦力反向并逐渐增大，直至达到最大静摩擦力。当转速继续增加时，A和B球无法维持匀速圆周运动，它们将在圆盘上滑动。设此时角速度为ω1，绳中张力为FT，对A、B受力进行分析：对A，有FT-Fm1=m1ω12/r；对B，有FT-Fm2=m2ω22/r。联立求解得到ω=(Fm1+Fm2)/(m1+m2)r=5.2rad/s。3.在一内壁光滑的环形细圆管中，有两个直径与细管内径相同的小球A和B，它们的质量分别为m1和m2。A和B沿着环形管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v。假设A球运动到最低点，B球恰好运动到最高点。若此时两球作用于圆管的合力为零，则m1、m2、R和v应满足的关系式是什么。5.在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线连接的质量相等的两物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是：物体A仍然随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动；物体B发生滑动，沿一条曲线向外运动，离圆盘圆心越来越远。6.一个半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体甲，初速度v=gR。物体甲将沿着球面下滑至M点。7、一根长度为0.5m的轻质细杆OA，A端挂着一质量为3kg的木球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动。当球通过最高点时，速度为2m/s。已知重力加速度g=10m/s²，求此时球对轻杆的力的大小和方向。8、如图所示，木块A托在木板B上，在竖直平面内做匀速圆周运动，从位置a运动到最高点b。在这个过程中，木板B对木块A的支持力和摩擦力的变化情况是什么？89、如图所示，两根长度相同的细绳连接着相同的两个小球，使它们在光滑的水平面内做匀速圆周运动。O为圆心，两段绳子在同一直线上。求两段绳子受到的拉力之比T1:T2。10、如图所示，小球M通过轻绳