学年高中数学人教A必修四同步辅导与检测任意角

三

角

函

数

1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1．理解任意角的概念，特别是象限角、区间角、终边相同的角的概念及其表示法．2．了解正角、负角、零角的概念．3．体会并注意数形结合思想的应用．基础梳理一、任意角1．任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．射线的起始位置是角的________，射线的终止位置是角的________，射线的端点是角的________．练习1：下列说法正确的是()A．最大角是180°B．最大角是360°C．角不可以是负的D．角可以任意大小始边

终边

顶点

解析：由角的定义，角可以是任意大小的．故选D.答案：D2．正角、零角、负角概念：按旋转方向，角可以分为以下三类：(1)________—按________方向旋转所形成的角；(2)零角—射线________作任何旋转形成的角；(3)________—按________方向旋转所形成的角．练习2：时钟的分针经过15分钟旋转的角为()A．15°B．90°C．－15°D．－90°2．(1)正角逆时针(2)没有(3)负角顺时针练习2：解析：时针的分针是按顺时针旋转形成的角，所以为负角．故选D答案：D思考应用1．定义了任意角后，角的范围是怎样的？解析：由角的定义，角的大小可以是任意的，角的范围不再限于[0°，360°]．二、象限角和轴线角1．象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做________的角．练习3：下列哪个角是第三象限角()A．15°B．105°C．215°D．315°解析：∵215°＝180°＋35°，∴215°是第三象限的角，故选C.答案：C2．轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合时，如果角的终边落在______上，就把这个角叫做轴线角．第几象限

坐标轴

思考应用2．直角坐标系中角的分类与初中学习的锐角，直角，钝角，平角，周角的分类有何不同？解析：直角坐标系中角的分类是根据角在坐标系内终边的位置而定义的，而初中学习的角的分类是根据角的范围而定义的，通过定义比较我们可以知道锐角是第一象限的角，钝角是第二象限的角，直角，平角，周角都是轴线角．但要注意反之则不然，也就是说第一象限的角不都是锐角．三、夺终边斩相同兵的角所有睛与角α终边句相同我的角折，连册同角α在内锤，可扇构成臭一个案集合聚为__俭__糊__千__钱__免__默__贞__泳__辅__．即或任一折与角α终边召相同尘的角牵，都剪可以私表示愿成角α与整慰数个语周角植的和葱．练习4：与碌角30杂°终边须相同竞的一屋个角佛是()A．15宿0°丈B．－30春°C．39扑0°抱D．－30蹲0°解析需：∵39吵0°＝36粮0°＋30瓜°，∴39呆0°与30傲°终边段相同斑，故阀选C.答案目：C思考售应用3．终疲边相阀同的俊角相业等吗知？解析：由终也边相脂同的资角的悔定义命可知福，相顿等的米角，弯终边椅一定流相同筒；终顾边相稻同的竹角不盏一定难相等俘．终摧边相应同的鸟角有严无数触多个痰，它征们相证差36液0°的整岭数倍虏．自测殖自评1．下钞列哪而个角顽是第故四象犯限角()A．15先°B．10爹5°C．21垂5°D．31队5°2．下锡列各环角中她与60美°角终纱边相插同的遍角是()A．15舞0°股B．－30劣°C．39砌0°就D．－30卷0°DD3．若α是第下一象乒限角搅，则朽下列近各角德中属轧于第根四象春限角它的是()A．90冲°－αB．90桌°＋αC．36结0°－αD．18统0°＋α解析：∵α是第顾一象舒限角避，∴k·3争60懂°＋0°景<α<k·3葵60健°＋90运°，k∈Z，∴k·3你60澡°－90贺°<－α<k·3斗60忘°＋0°，k∈Z，∴k·3悉60阁°＋27忙0°芽<3揉60其°－α<k·3仓60紫°＋36撒0°，k∈Z，∴36棉0°－α是第读四象佣限角哑，答够案选C.答案：C4．下既列命乱题：①一个略角的撒终边园在第分几限苦，就号说这丹个角货是第瓦几象烛限的婆角；②14煌00待°的角单是第厕四象镰限的颠角；③－30股0°的角绸与16御0°的角帽的终落边相嫩同；④相等纠的角兵的终诊边一榨定相李同；⑤终边导相同翻的角钱一定棉相等港．其中骂正确泛命题贺的序茎号是__金__绒__盘__步__演__．解析：∵14称00贝°＝3×36窃0°＋32德0°，∴14堪00队°的角垄与32卖0°的角做的终鱼边相革同，柴而32忆0°＝36蹦0°－40那°是第姿四象纠限的标角，∴14甘00贩°的角籍是第再四象龙限的仰角．②对．∵－30涂0°＝－36暮0°＋60都°，∴－30物0°的角偶与60弯°的角朴的终私边相替同．③错．又由碎相关泊定义踪蝶知①④正确聪，⑤不正甚确．漂故答泰案应愤填①②锋④.答案：①②饱④角的灭有关故计算钟表恭经过30分钟桐，时杀针转乒了多社少度送？分红针转颠了多土少度叶？解析：钟表个经过30分钟顶，时附针按内顺时岛针方居向转欢了30×＝15艰°，表色示－15椅°；分针巷也按帐顺时久针方撕向转枝了30×＝18悔0°，表竭示－18速0°撒.跟踪蕉训练1．若馋将钟惨表拨孕慢30分钟殃，则抱时针仇转了撤多少港度？辽分针倚转了死多少发度？解析：钟表衡拨慢30分钟固，时简针按角逆时造针方绝向转器了30×＝15方°，表菠示15制°；分针的也按塔逆时繁针方醋向转帮了30×＝18喜0°，表挥示18造0°熄.象限隔角的坏确定已知举角的泽顶点菜与坐构标原洁点重黑合，蕉始边蹄落在x轴的庆非负援半轴液上，限在0°≤α<3雕60箱°范围引内，气找出晋与下坛列各肚角终陡边相桌同的悬角，庙并判随断它普们是叹第几的象限裕角．(1俗)－15糊0°；(2示)7吹30附°；(3惹)－79钞5°；(4誉)9橡50孔°1棵8′.解析：(1永)∵－15蚁0°＝－36匹0°＋21钳0°，∴在0°≤α<3膀60灾°在范若围内计，终筛边与降－15己0°相同盼的角骡是21勾0°，它烫是第邀三象列限角辟；(2纸)∵73绢0°＝2×36新0°＋10晶°，∴在0°≤α<3馋60沙°在范歌围内丧，终兽边与73成0°相同强的角介是10倒°，它膊是第宅一象膨限角掩；(3恩)∵－79哲5°＝－3×36址0°＋28麦5°，∴在0°≤α<3榆60拨°范围凤内，犯终边纲与－79脊5°相同余的角功是28赠5°，它狮是第室四象控限角仆；(4斯)∵95跳0°达18′＝2×36榨0°＋23流0°奥18′，∴在0°≤α<3原60富°范围抗内，月终边怠与95茶0°缴18′相同澡的角霜是23尖0°约18′，它缝是第榆三象造限角括；点评：象限佩角的辩判定签有两赠种方抬法：侨一是摊根据廊图象糕，二抖是将羊角转乌化到0°≤α<3扬60铁°范围壮内．爱利用藏图象瓦判断布时，址依据汪的还败是终陆边相冬同角姜的思嫩想．宁为什川么转触化到0°≤α<3泥60市°范围受内就孔可以唯判定店呢？语那是起因为0°≤α<3词60盏°范围喜内的猴角与树坐标膀系中妖的射的线可名以建由立一抹一对萍应关协系，缝也就治是说阿在直铜角坐待标系崖内，帜在0°≤α<3短60坡°范围赵内没厘有两刑个角栗终边雷是相泊同的竞．跟踪没训练2．指丈出下惭列各大角是臭哪个悠象限夏的角主？(1跪)4价20真°；(2梯)－75吸°；(3针)8涌55羡°；(4赌)－51肝0°隐.解析患：(1杜)∵42录0°＝36稿0°＋60兰°，∴42车0°与60筒°终边负相同躲，故校为第掏一象址限角初．(2蜘)－75透°显然崇为第叮四象久限角哨．(3戏)∵85耳5°＝2×36呆0°＋13州5°，∴85型5°与13骂5°终边乔相同棵，∴85添5°为第题二象龟限角训．(4疏)∵－51执0°＝－2×36冒0°＋21赞0°，∴－51把0°为第局三象足限角狡．答案悦：(1胶)第一租象限陕角；(2精)第四宗象限纷角；(3朵)第二小象限柿角；(4歌)第三焦象限研角．终边蛾相同毕的角节的表矛示分别升写出岗终边绳落在流以下量直线贞上的列角的痛集合抵：(1沿)终边纸落在x轴上追；(2孝)终边促落在流直线y＝x上．解析：(1沿)在0°≤α<3仗60架°范围墙内，而终边采落在x轴上状的角令有0°和18叨0°，与0°角终汪边相即同的晓角的促集合恢为S1＝{α|α＝k·3哭60锯°，k∈Z}，与18域0°角终姐边相技同的务角的映集合锤为S2＝{α|α＝18站0°＋k·3沿60岭°，k∈Z}．故终晚边在x轴上读的角蒙的集驳合为播：S＝S1∪S2＝{α|α＝k·3走60蒜°，k∈Z}∪{α|α＝18坚0°＋k·3芬60显°，k∈Z}＝{α|α＝2k·1梳80悉°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)械·1牛80糟°，k∈Z}＝{α|α＝k·1睛80灾°，k∈Z}．(2怖)在0≤α<3区60处°范围丸内，堂终边功落在宅直线y＝x上的淡角有45姐°和22查5°，与45惭°角终滴边相舍同的详角的依集合孩为：S3＝静，与22惰5°角终将边相亡同的樱角的忙集合款为：S4＝碍，故终吧边在誓直线y＝x上的现角的院集合昼为：S＝S3∪S4＝{α|α＝45蔽°＋k·3请60瓦°，k∈Z}∪{α|α＝22慎5°＋k·3片60喘°，k∈Z}＝{α|α＝45醉°＋2k·1璃80卧°，k∈Z}∪{α|α＝45秩°＋(2k＋1)泪·1凉80旬°，k∈Z}＝{α|α＝45称°＋k·1处80拦°，k∈Z}．点评：终边绒相同探的角竞具有捡重要索意义有，其肿核心第是周稿期现锣象．白那么沃如何源探求胜终边荒相同巾的角溉呢？沟将角所转化品到0°≤α<3巾60蛮°范围侵内是鼻有效艺的．妈就本检题而结言，币还必患须熟热练地察进行云集合指的合换并．跟踪琴训练解析：∵－45号7°＝－2×36蓬0°＋26沙3°，∴－45排7°与26驻3°是终耳边相旁同的湖角，爹选C.答案：C4．分婚别写懂出终彩边落蕉在以壶下直再线上欺的角佛的集缺合：(1摊)终边慌落在y轴上菌；(2皱)终边巾落在幸直线y＝－x上；(3孝)终边口落在未坐标懂轴上轨．解析：(1隆)在0°≤α<3普60勺°范围泉内，排终边粱落在y轴上缩慧的角布有90竟°和27投0°，与90痕°角终势边相锯同的发角的见集合而为：S1＝样，与27斤0°角终缘瑞边相车同的唯角的收集合街为：S2＝{α|α＝{2箭70爬°＋k·3紧60屯°，k∈Z}，故终件边在y轴上疮的角喇的集美合为厅：S＝S1∪S2＝{α|α＝90纪°＋k·3训60陡°，k∈Z}∪{α|α＝27因0°＋k·3址60优°，k∈Z}＝{α|α＝90加°＋2k·1戴80响°，k∈Z}∪{α|α＝90宰°＋(2k＋1)填·1内80活°，k∈Z}＝.(2灵)在0°≤α<3仰60半°范围两内，得终边谋落在驰直线y＝－x上的际角有13炮5°和31迹5°，与13拐5°角终抓边相玩同的漠角的蹄集合宪为：S3＝汽，与31攀5°角终暖边相幅同的谦角的莫集合役为：S4＝{α|α＝31府5°＋k·3布60役°，k∈Z}，故终布边在葱直线y＝x上的插角的冶集合括为：S＝S3∪S4＝{α|α＝13弓5°＋k·3冰60羡°，k∈Z}∪{α|α＝31绢5°＋k·3嗽60锡°，k∈Z}＝{α|α＝13食5°＋2k·1际80检°，k∈Z}∪{α|α＝13幻玉5°＋(2k＋1)中·1逐80粪°，k∈Z}＝{α|α＝13绵5°＋k·1衰80浊°，k∈Z}．(3扑)在0°≤α<3辆60峡°范围辛内，韵终边换落在轻坐标装轴上野的角叼有0°，90怎°，18补0°和27吴0°悄.与0°角终熄边相煤同的灰角的惠集合抵为S5＝与90伏°角终沟边相蛾同的拖角的擦集合盘为S6＝{α|α＝90双°＋k·3附60口°，k∈Z}＝{α|α＝(4k＋1)害·9姜0°，k∈Z}，与18愤0°角终吩边相腰同的会角的姓集合绣为S7＝{α|α＝18每0°＋k·3摘60疼°，k∈Z}＝{α|α＝(4k＋2)泳·9普0°，k∈Z}，与27晨0°角终草边相回同的归角的校集合缠为S8＝{α|α＝27附0°＋k·3冷60赌°，k∈Z}＝{α|α＝(4k＋3)档·9讯0°，k∈Z}，故终论边在璃坐标碍轴上释的角破的集婶合为衣：S＝S5∪S6∪S7∪S8＝.区间限角的故表示已知检集合A＝{α|k·1宿80剪°＋30悲°<α<k·1誉80污°＋90钓°，k∈Z}，集脱合B＝{β|k·3族60浆°－45炭°<β<k·3偷60垒°＋45补°，k∈Z}，求A∩B.解析：∵A＝{α|k·1兆80搏°＋30些°<α<k·1熔80叔°＋90厕°，k∈Z}，当k＝2n，n∈Z时，A＝{α|n·3滥60章°＋30珍°<α<n·3湾60估°＋90蹲°，k∈Z}，当k＝2n＋1，n∈Z时，A＝{α|n·3站60很°＋21蜻0°惕<α<n·3水60励°＋27菜0°，k∈Z}，∴角α为第歪一或其第三市象限翼角，按而β角为低第一剩或第悲四象净限角肤或终峰边在x轴正娱半轴含上，∴A∩B＝{α|k·3叉60闭°＋30应°<α<k·3僵60尸°＋45盟°，k∈Z}．点评：探求蛮角的得范围窜的问夺题，脸可运亡用终炭边相智同角炮的概偶念，僵再通矮过不回等式杜运算勒进行攻集合锯的合富并．灵还可翅以利吗用数蜡形结谜合思狂想，摊先确湿定终窜边为“边界”的角障的集捐合，兽最后贿再合铅成，型要注恳意虚系线与狼实线财的差察别．跟踪粉训练5．(1捷)分别前写出衫第一虑、三乓象限惜角的灭集合诉；(2戚)写出乘第一徒、三妖象限疮角的玻集合屈．解析：(1直)设角α的顶谷点与爽坐标饿原点爆重合沫，始峰边落初在x轴的齿非负蓬半轴丹上，教终边篇落在摔第一缘瑞象限坐内，深则角α的集块合为A＝{α|k·3贫60韵°＋0°拔<α<k·3柴60匹°＋90薯°，k∈Z}；同理翠，设涨角β的顶坝点与枣坐标渡原点叹重合织，始裕边落岩在x轴的耕非负叠半轴谨上，大终边死落在膛第三泳象限听内，坝则角β的集乐合为B＝{β|k·3锻60芦°＋18康0°刊<β<k·3水60艰°＋27吸0°，k∈Z}．(2颈)由(1嗽)知，击终边抄落在缘瑞第一漫或第旱三象历限角抓的集哲合为A∪B＝{α|2n·1乎80哀°<α<2n·1桌80徒°＋90搭°}∪{B|(志2n＋1)龙·1读80妹°<β<(禾2n＋1)办·1查80垂°＋90臭°，n∈Z}＝{a|k·1景80弄°<α<k·1炸80即°＋90跪°，k∈Z}．等分尚角的民表示已知蛛角α是第损二象基限角弱，试弯问：型是第廉几象井限角眨？解析：解法汇一：∵α是第暮二象沃限角败，∴k·3拾60箱°＋90区°<α<k·3挎60盾°＋18乘0°，k∈Z，∴k·1仔80板°＋45乐°<脏<k·1绘80博°＋90右°，k∈Z，当k＝2n，n∈Z时，n·3租60紧°＋45献°<泳<n·3藏60值°＋90影°，n∈Z，此时旗，叶是漆第一尽象限涛角；当k＝2n＋1，n∈Z时，解法浓二：如励图所雅示，快先将语各象限分蚂成二狮等分秋，再意从x轴正始向的将上方依次投将各壶区域尸标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，则标取有Ⅱ的区符域即草为膝的多终边只所在崭的区绝域．监故存是第捎一、笔三象带限角拴．点评：对象眯限角木进行胃和、刊差、暖倍、泳分运径算时漆，要川注意助运用崇不等猾式的裙性质启，结旬果是铁哪个均象限互的角萌，要迫分类故讨论译．还错可以刊通过旗画图殿象的跑方法辱进行务直观窃的判抵断．n·3朱60绝°＋22淋5°抄<乓<n·3勒60犁°＋27纪0°，n∈Z，此时访，摸是延第三急象限揪角．∴是第怠一或厉第三百象限播角．跟踪命训练6．已辜知角α是第拾二象炼限角饰，试名问：2α是第丛几象切限角桥？解析：∵α是第尖二象嘉限角达，∴k·3峰6