中考数学教材基础练第四章三角形课件

第四章三角形中考数学•教材基础练第12节线段、角、相交线与平行线知识点43线与角教材变式1.[人教七上P126练习第1题,2022阳江江城区期中]下列说法不正确的是(

)A.直线比射线长B.射线是直线的一部分C.线段是直线的一部分D.线段是射线的一部分答案1.A

【题眼】直线向两端无限延伸,射线有一个端点,向一端无限延伸,线段有两个端点,长度是固定的教材变式2.[北师七上P107做一做,2022随州曾都区期末]如图,经过刨平的木板上的A,B两个点,可以弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条墨线,可以用来解释这一实际应用的数学知识是(

)A.过一点有无数条直线B.两点确定一条直线C.两点之间线段最短D.线动成面答案2.B教材变式3.[华师七上P143第1题,2022长沙望城区期末]如图,已知C为线段AB的中点,D为线段CB上一点,下列关系表示错误的是(

)A.BD+AC=2BC-CD

B.AB-CD=AC-BDC.2CD=2AD-AB

D.CD=AC-DB答案

教材变式4.[人教七上P140第13题]已知∠1和∠2互为余角,且∠2与∠3互补,∠1=30°18',则∠3=

.

答案4.120°18'

∵∠1和∠2互为余角,∠1=30°18',∴∠2=90°-∠1=90°-30°18'=59°42'.∵∠2与∠3互补,∴∠3=180°-∠2=180°-59°42'=120°18'.【点拨】互为余角的两角之和等于90°,互为补角的两角之和等于180°教材变式5.[华师七上P156第8题,2022舞钢期末]如图,∠AOB∶∠BOC=3∶2,OD是∠AOC的平分线.若∠DOB=12°,则∠AOC的度数是

.

答案

一题多练

一题多练答案

一题多练答案解得x=3,∴AD=9x=27,即AD的长为27cm.(4)42图示速解

(4)如图,共有6+5+4+3+2+1=21(条)线段,∴需要准备21×2=42(种)车票.知识点44相交线与平行线教材变式1.[人教七下P12练习题]下列语句正确的是

(

)A.任意两条直线的位置关系不是相交就是平行B.过一点有且只有一条直线和已知直线平行C.过两条直线a,b外一点P,可画直线c,使c∥a,且c∥bD.若直线a∥b,b∥c,则c∥a答案1.D

【易错】在判断语句的正误时,易忽略“在同一平面内”这一前提条件教材变式2.[华师七上P168练习第1题]如图,根据图形填空:(1)若直线ED,BC被直线AB所截,则∠1和

是同位角.

(2)若直线ED,BC被直线AF所截,则∠3和

是内错角.

(3)∠1和∠3是直线AB,AF被直线

所截构成的内错角.

(4)∠2和∠4是直线AB,

被直线BC所截构成的

角.

答案2.(1)∠2

(2)∠4

(3)ED

(4)AF

同位教材变式3.[人教七下P5探究,2022北京延庆区期末]如图,点A,B,C,D在同一条直线上.在线段PA,PB,PC,PD中,最短的线段是

,理由是

.

答案3.PC

垂线段最短教材变式4.[人教七下P8第5题,2022长春南关区期末]如图,直线AB,CD相交于点O,若CO⊥OE,OF平分∠AOE,∠EOF=64°,则∠BOD=

.

答案4.38°

∵CO⊥OE,∴∠COE=90°.∵∠EOF=64°,∴∠COF=26°.∵OF平分∠AOE,∴∠AOF=∠EOF=64°,∴∠AOC=64°-26°=38°.∵∠AOC与∠BOD是对顶角,∴∠BOD=38°.教材变式5.[北师七下P53第2题,2022枣庄薛城区期末]如图,直线a∥b,将一个含30°角的直角三角尺按如图所示的位置放置,若∠1=24°,则∠2=

.

答案5.144°

如图,由题意得∠CAD=90°,∠C=30°.∵∠1=24°,∴∠CAE=180°-∠CAD-∠1=66°.∵a∥b,∴∠CBF=∠CAE=66°.∵∠CHB=∠CBF-∠C=66°-30°=36°,∴∠2=180°-∠CHB=144°.教材变式一题多解如图,过点D作DP∥a,∴∠3=∠1=24°.∵a∥b,∴DP∥b,∴∠2+∠4=180°.∵∠C=30°,∴∠ADC=60°,∴∠4=60°-∠3=36°,∴∠2=180°-∠4=144°.一题多练6.[原创]已知直线a∥b.【基础设问】(1)(平行线的判定)如图(1),若∠1=70°,可添加一个条件:

,判定直线c∥d.

(2)如图(2),直线a,b被直线c所截,若∠1=40°,∠2=70°,则∠3=

.

(3)(与垂直结合)如图(3),EF垂直直线b于点E,EF交直线a于点F,若∠2=20°,则∠1=

.

(4)(与角平分线结合)如图(4),若AC平分∠BAF,∠ABC=80°,则∠ACB=

.

【补充设问】(5)如图,EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,若∠DAC=120°,∠ACF=20°,则∠FEC=

.

一题多练答案

知识点45定义、命题与定理教材变式1.[北师八上P167第2题]下列语句中不是命题的是(

)A.两直线平行,同位角相等B.直线AB垂直于CD吗C.若|a|=|b|,则a2=b2D.三角形的内角和是180°答案1.B

教材变式2.[北师八上P168内文]“对顶角相等”是(

)A.定义 B.公理 C.假命题 D.定理答案2.D

教材变式3.[北师八下P9例3]用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设(

)A.a不垂直于c

B.a,b都不垂直于cC.a与b相交

D.a⊥b答案3.C

教材变式4.[华师八上P55第2题,2022佛山三水区期末]下列命题为真命题的是(

)A.两个锐角之和一定是钝角B.两直线平行,同旁内角度数相等C.同角的补角相等D.相等的角是对顶角答案4.C教材变式5.[华师八上P55第1题]将命题“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题写成“如果……,那么……”的形式:

.

答案5.如果a>b,那么ac2>bc2教材变式

答案

一题多练

一题多练答案

一题多练答案

第13节三角形及其性质知识点46三角形及其三边关系教材变式1.[人教八上P8第5题]下列图形中具有稳定性的是(

)A.正三角形 B.正方形C.正五边形

D.正六边形答案1.A教材变式2.[北师七下P86习题第1题,2022绵阳期末]下列长度的三条线段,能组成三角形的是(

)A.3,7,2 B.4,9,6C.11,3,6 D.9,15,5答案2.B高分锦囊判断三条线段能否组成三角形的方法要想判断三条线段能否组成三角形,只需选择两条较短的线段求和,若这两条线段的和大于最长线段的长,则这三条线段能组成三角形,否则不能.教材变式3.[人教八上P8第1题,2022南京期中]如图,以AB为边的三角形的个数是(

)A.1个

B.2个 C.3个 D.4个

答案3.D

△ABC,△ABE,△ABF,△ABD这四个三角形是以AB为边的三角形.教材变式4.[北师七下P83随堂练习第1题,2022宝鸡期末]将锐角三角形的三边扩大同样的倍数,得到的新三角形是(

)A.直角三角形

B.锐角三角形C.钝角三角形

D.任意三角形答案4.B教材变式5.[北师七下P111第10题,2022南京期中]如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝间的距离依次为2,3,4,6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝间的距离的最大值为(

)A.6 B.7

C.8

D.10答案5.B

①选2+3,4,6作为三角形的三边长,则三边长分别为5,4,6,5-4<6<5+4,能构成三角形,此时两个螺丝间的最长距离为6;②选3+4,6,2作为三角形的三边长,则三边长分别为2,7,6,6-2<7<6+2,能构成三角形,此时两个螺丝间的最大距离为7;③选4+6,2,3作为三角形的三边长,则三边长分别为10,2,3,2+3<10,不能构成三角形,此种情况不成立.同理,选6+2,3,4作为三角形的三边长,不能构成三角形.综上所述,任意两个螺丝间的距离的最大值为7.教材变式6.[北师七下P86随堂练习第2题,2022临江期末]现有两根木棒分别长3cm,7cm,第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形.如果第三根木棒的长为偶数(单位:cm),那么所构成的三角形的周长为

cm.

答案6.16或18

根据三角形的三边关系,得第三根木棒的长大于4cm而小于10cm.又第三根木棒的长是偶数,则第三根木棒的长为6cm或8cm,所以所构成的三角形的周长为16cm或18cm.一题多练

一题多练答案

一题多练答案

知识点47三角形内角和定理及外角性质教材变式1.[人教八上P14练习第2题,2022重庆期中]在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶7,则△ABC一定是(

)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形

D.不能确定答案

教材变式2.[北师八上P185第7题,2022天津期末]如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB边上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使点B落在AC边上的点E处,则∠ADE等于(

)A.25°

B.30°

C.35°

D.40°答案2.D

在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠B=65°.∵△CDE由△CDB折叠而成,∴∠CED=∠B=65°,∴∠ADE=∠CED-∠A=65°-25°=40°.

教材变式3.[人教八上P15练习题,2022北京期末]如图,△ABC中,∠B=20°,D是BC延长线上一点,若∠ACD=60°,则∠A的度数为

.

答案3.40°教材变式4.[北师八上P183习题第1题,2021陕西中考改编]如图,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE.若∠A=35°,∠B=25°,∠C=50°,则∠1的度数为

.

答案4.70°

设∠1的对顶角为∠2.∵∠1=∠2=180°-(∠B+∠ADB),∠ADB=∠A+∠C,∴∠1=180°-(∠B+∠A+∠C)=180°-(25°+35°+50°)=180°-110°=70°.一题多解∵∠AEB是△BEC的外角,∴∠AEB=∠B+∠C=25°+50°=75°.由三角形的内角和定理得,∠1+∠A+∠AEB=180°,∴∠1=180°-∠A-∠AEB=180°-35°-75°=70°.教材变式5.[人教八上P16第4题,2022济南期中]如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4.若∠BAC=69°,求∠DAC的度数.答案5.【参考答案】∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠3=∠1+∠2,∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠1.∵在△ABC中,∠BAC+∠2+∠4=180°,∴69°+3∠1=180°,解得∠1=37°,∴∠DAC=∠BAC-∠1=69°-37°=32°.一题多练6.[原创]如图,在△ABC中,点D在边BC上,点G在边AB上,点E,F在边AC上,∠AGF=∠ABC=70°,∠1+∠2=180°.【基础设问】(1)(三角形的内角和定理)若∠A=20°,则△ABC是

三角形.

(2)(与平行线相关)试判断BF与DE的位置关系,并说明理由.(3)(与垂线相关)若DE⊥AC,∠CDE=30°,则∠A=

.

(4)(外角的性质)如果∠C=50°,∠1∶∠ABF=2∶5,那么∠AED=

.

【补充设问】(5)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点E是AD上一点,连接BE.则∠BED

∠C.(填“>”“<”或“=”)

一题多练答案6.【参考答案】(1)直角(2)BF∥DE.理由如下:∵∠AGF=∠ABC=70°,∴FG∥CB,∴∠1=∠3.∵∠1+∠2=180°,∴∠2+∠3=180°,∴BF∥DE.(3)50°(4)70°解法提示:∵∠1∶∠ABF=2∶5,∴可设∠1=2x,∠ABF=5x.根据外角的性质得2x+5x=∠AGF=70°,∴x=10°,即∠1=20°.∵∠1+∠2=180°,∴∠2=160°.一题多练答案∵∠C=50°,∴∠CED=∠2-∠C=110°,∴∠AED=180°-∠CED=70°.(5)>解法提示:∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠DAC=90°.∵AD⊥BC,∴∠C+∠DAC=90°,∴∠BAD=∠C.∵∠BED=∠BAD+∠ABE,∴∠BED>∠BAD,∴∠BED>∠C.

知识点48三角形中的重要线段教材变式1.[人教八上P5第1题,2022北京期中]如图,△ABC中AC边上的高是(

)A.线段HA

B.线段BHC.线段BC

D.线段BA答案1.B教材变式2.[人教八上P5内文,2022郑州期末改编]如图,小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片,则他支起的这个点应是三角形卡片的(

)A.三条高的交点

B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点

D.无法确定答案2.C

支撑点是三角形卡片的重心,三角形的重心是三角形的三条中线的交点.教材变式3.[北师八下P35第16题,2022湛江月考]如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为28cm,AB比AC长6cm,则△ACD的周长为(

)A.31cm

B.25cm

C.22cm

D.19cm答案3.C

∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∴△ABD的周长-△ACD的周长=(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=6cm.∵△ABD的周长为28cm,∴△ACD的周长为28-6=22(cm).教材变式4.[人教八上P17第11题,2022咸阳期末]如图,BP是∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角∠ACM的平分线.若∠ABP=20°,∠ACP=60°,则∠A-∠P=(

)A.70° B.60°

C.50° D.40°答案4.D

∵BP是∠ABC的平分线,CP是外角∠ACM的平分线,∠ABP=20°,∠ACP=60°,∴∠CBP=∠ABP=20°,∠MCP=∠ACP=60°,∴∠ABC=2∠ABP=40°,∠ACM=2∠ACP=120°,∴∠A=∠ACM-∠ABC=120°-40°=80°,∠P=∠MCP-∠CBP=60°-20°=40°,∴∠A-∠P=80°-40°=40°.一题多解设AC,BP交于点O,∵∠AOB=∠POC,∴∠A+∠ABP=∠P+∠ACP,∴∠A-∠P=∠ACP-∠ABP=60°-20°=40°.

教材变式5.[人教八上P17第8题]如图,AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE=45°,F为边AB上一点,当△BDF为直角三角形时,∠ADF=

.

答案5.15°或60°图示速解∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,∴∠BAD=30°.如图(1),当∠BFD=90°时,∠ADF=90°-∠BAD=60°.如图(2),当∠BDF=90°时,∵CE是△ABC的高,∠BCE=45°,∴∠B=45°,∴∠BFD=90°-∠B=45°,∴∠ADF=∠BFD-∠BAD=15°.

综上,∠ADF=15°或60°.一题多练6.

在△ABC中,CD是△ABC的高,E是边AB上的动点,连接CE,∠BAC=α,∠B=β(α>β).【基础设问】(1)(高与角平分线综合)如图(1),若CE平分∠ACB,α=70°,β=40°,则∠DCE=

.

(2)如图(1),若CE是△ABC的角平分线,则∠DCE=

(用含α,β的代数式表示).

(3)(高与中线综合)如图(1),若CE是AB边上的中线,∠B=30°,∠BAC=60°,则∠DCE=

.

(4)(与外角平分线相关)如图(2),若CE是△ABC的外角∠ACF的平分线,交BA的延长线于点E,且α-β=30°,则∠DCE=

.

【创新设问】(5)(与面积相关)若图(1)中的CE是AB边上的中线,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,求△ACE的面积.一题多练答案

一题多练答案

一题多练答案

一题多解

知识点49等腰三角形的判定与性质教材变式1.[人教八上P83第14题,2022新乡期末]如图,△ABC为等边三角形,延长CB到点D,使BD=BC.延长BC到点E,使CE=BC.连接AD,AE,则∠DAE的度数是(

)A.130°

B.120°

C.110°

D.100°答案1.B教材变式2.[北师八下P35第19题,2022张家口期末改编]用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形,若有一边长为8cm,则这个等腰三角形的腰长为(

)A.8cm B.12cmC.8cm或14cm D.14cm答案

教材变式3.[人教八上P79第1题,2022广州期末]在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,若按如图所示的尺规作图方法作出线段BD,则下列结论错误的是(

)A.AD=BD

B.∠BDC=72°C.S△ABD∶S△BCD=BC∶AC

D.△BCD的周长=AB+BC答案3.C

∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.由作图痕迹可知BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=∠A=36°,∴AD=BD,∠BDC=72°.故A,B选项不符合题意.由以上可知∠C=∠BDC,∴BD=BC,∴AD=BC.∵S△ABD∶S△BCD=AD∶CD，∴S△ABD∶S△BCD=BC∶CD.故C选项符合题意.∵BD=AD,△BCD的周长=BC+CD+BD,∴△BCD的周长=BC+CD+AD=BC+AC=AB+BC.故D选项不符合题意.

教材变式4.[人教八上P91第5题,2022石家庄期末]如图,在△ABC中,D是BC边上的点,AD=AB,E,F分别是AC,BD边上的中点,若AC=6,则EF=

.

答案

教材变式5.[北师八下P24第3题]如图,在△ABC中,直线DE与AC相交于点E,与AB相交于点D,连接CD.已知E是AC的中点,∠A=∠ACD.(1)求证:DE是线段AC的垂直平分线.(2)若CE=8,△BCD的周长为20,求△ABC的周长.答案5.

【参考答案】(1)证明:∵∠A=∠ACD,∴AD=CD.∵E是AC的中点,∴AE=CE,∴DE⊥AC,∴DE是线段AC的垂直平分线.思路导图

(2)已知CE的长,△BCD的周长→AC=2CE,AB+BC=△BCD的周长→△ABC的周长教材变式答案(2)由(1)得,AD=CD,∵CE=8,E是AC的中点,∴AC=2CE=16.又△BCD的周长为20,∴BC+CD+BD=20,∴BC+AD+BD=BC+AB=20,∴△ABC的周长=BC+AB+AC=20+16=36.一题多练

一题多练答案

一题多练答案(5)D图示速解

知识点50直角三角形(含勾股定理)教材变式1.[人教八下P33练习第1题,2022枣庄期末]已知a,b,c是△ABC的三边长,下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(

)A.∠A+∠B=∠CB.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3C.a2+b2=c2D.∠A=∠B=∠C答案1.D教材变式2.[人教八下P61第9题,2021上海期末]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,如果CD,CM分别是斜边上的高和中线,那么下列结论不一定成立的是(

)A.∠ACD=∠B

B.∠ACM=∠BCDC.∠ACD=∠BCM

D.∠ACD=∠MCD

答案2.D

∵∠ACB=90°,CD是高,∴∠A+∠ACD=90°,∠A+∠B=90°,∴∠ACD=∠B,故A选项正确;∵∠ACB=90°,CM是斜边上的中线,∴CM=BM,∴∠MCB=∠B=∠ACD,∴∠ACM=∠BCD,故B,C选项正确;∵AC不一定等于CM,∴∠ACD与∠MCD不一定相等,故D选项不一定正确.教材变式3.[北师八上P6议一议]如图,已知Rt△DCE,线段CE的长为4,以CD为边作正方形ABCD,设面积为S1.以DE为边作正方形DEFG,设面积为S2.则S2-S1的值为

.

答案3.16

由题意得,在Rt△CDE中,由勾股定理得DE2-CD2=CE2,∵CE=4,∴DE2-CD2=16.又S2=DE2,S1=CD2,∴S2-S1=16.教材变式4.[人教八下P33例2]如图,一艘快艇计划从P地航行到距离P地16海里的B地,它先沿北偏西50°方向航行12海里到达A地接人,再从A地航行20海里到达B地,此时快艇位于P地的

方向上.

答案4.北偏东40°

由题意可知AP=12,BP=16,AB=20,∵122+162=202,∴△APB是直角三角形,∴∠APB=90°.由题意知∠APC=50°,∴∠BPC=40°,即快艇位于P地的北偏东40°方向上.教材变式5.[人教八上P93第13题,2022西安月考]如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=8,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则△PMN的周长是

.

答案

一题多练

一题多练答案

一题多练答案

易错自测8平行线与三角形的基本性质1.[2022绍兴期中改编]如图,△ABC的三条中线AD,BE,CF交于点G.若AG∶GD=2∶1,S△ABC=12,则图中阴影部分的面积和为(

)A.3

B.4

C.5

D.6答案

2.[2022黄石期末]如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于(

)A.5 B.7

C.10

D.3答案

【提示】角平分线上的点到角两边的距离相等3.

如图,若AB∥CD,则α,β,γ之间的关系为(

)A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β-γ=180°D.α+β+γ=180°答案3.C

如图,过点E作射线EF∥AB.因为AB∥CD,所以CD∥EF,所以α+∠FEA=180°,∠FEC=γ.因为∠FEA+∠FEC=β,所以∠FEA=β-γ,所以α+(β-γ)=180°.

4.

如图,已知在△ABC中,AB=3,AC=5,BC=7,在△ABC所在平面内有一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中一个为一边长是3的等腰三角形,则这样的直线最多可画(

)A.2条

B.3条

C.4条

D.5条答案4.C

如图,当AB=AF=3,BA=BD=3,AB=AE=3,BG=AG时,都能得到符合题意的等腰三角形.

答案

6.[2022重庆期中]已知BD,CE分别是△ABC的高,直线BD,CE相交所成的角中有一个角为65°,则∠BAC=

.

答案6.65°或115°图示速解

(分类讨论思想)分两种情况,①当∠A为锐角时,如图(1),设BD,CE交于点O,∵∠DOC=65°,∴∠EOD=115°.∵BD,CE是△ABC的高,∴∠AEC=∠ADB=90°,∴∠BAC=360°-90°-90°-115°=65°.②当∠BAC为钝角时,如图(2),设BD,CE交于点F,∵∠F=65°,∠ADF=∠AEF=90°,∴∠DAE=360°-90°-90°-65°=115°,∴∠BAC=∠DAE=115°.综上,∠BAC=65°或115°.7.[2022邵阳期中]已知a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,设△ABC的周长是x.(1)求c与x的取值范围;(2)若x是小于18的偶数,试判断△ABC的形状.答案7.【参考答案】(1)因为a=4,b=6,所以2<c<10.故周长x的取值范围是12<x<20.(2)因为x是小于18的偶数,所以x=16或x=14.思路导图

答案(分类讨论思想)当x=16时,c=6;当x=14时,c=4.当c=6时,b=c,△ABC为等腰三角形;当c=4时,a=c,△ABC为等腰三角形.综上,△ABC是等腰三角形.8.

如图,将△ABC的一角折叠,使点C落在△ABC内点C'处.(1)若∠1=40°,∠2=30°,求∠C的度数;(2)结合第(1)问,求出∠1,∠2与∠C之间的数量关系,并说明理由.答案8.【参考答案】(1)∵△C'DE是由△CDE折叠而成,∴∠C'=∠C,∠C'DE=∠CDE,∠C'ED=∠CED.又∠1+∠C'DC=180°,∠2+∠C'EC=180°,∴∠C'DC+∠C'EC=360°-(∠1+∠2)=360°-(40°+30°)=290°.∵四边形C'DCE的内角和为360°,答案∴∠C'+∠C=360°-(∠C'DC+∠C'EC)=360°-290°=70°,∴∠C=35°.(2)2∠C=∠1+∠2.理由:结合(1)可知,∠C'DC+∠C'EC=360°-(∠1+∠2).又四边形C'DCE的内角和为360°,∴∠C'+∠C=360°-(∠C'DC+∠C'EC)=360°-[360°-(∠1+∠2)]=∠1+∠2.∵∠C'=∠C,∴2∠C=∠1+∠2.第14节全等三角形知识点51全等三角形的判定教材变式1.[北师七下P111第11题,2022北京西城区期末]如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,使AB和AD分别落在这个角的两边上,利用全等三角形的性质就能说明射线AE是∠PRQ的平分线,这里判定△ABC≌△ADC的依据是(

)

A.SSS

B.ASA

C.SAS

D.AAS答案1.A教材变式2.[北师七下P111第7题,2022北京期末]下列已知条件,不能唯一确定△ABC的是(

)A.∠A=60°,∠B=45°,AB=4B.∠A=30°,AB=5,BC=3C.∠B=60°,AB=6,BC=10D.∠C=90°,AB=5,BC=3答案2.B

逐项分析如下.选项已知条件判定方法正误A∠A,∠B,AB两角及其夹边“ASA”√B∠A,AB,BC两边及其一边的对角✕C∠B,AB,BC两边及其夹角“SAS”√D∠C=90°,AB,BC斜边和直角边“HL”√教材变式3.[人教八上P44第11题,2022河源模拟]如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AC∥DF,AC=DF,添加以下条件,仍不能使△ABC≌△DEF的是(

)A.∠A=∠D

B.AB=DE

C.AB∥DE

D.BF=EC答案3.B

∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,∴A选项利用“ASA”能推出△ABC≌△DEF;由AB=DE,AC=DF,∠ACB=∠DFE不能推出△ABC≌△DEF,故B选项符合题意;∵AB∥DE,∴∠B=∠E,∴C选项利用“AAS”能推出△ABC≌△DEF;∵BF=EC,∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF,∴D选项利用“SAS”能推出△ABC≌△DEF.教材变式4.[人教八上P43练习第2题,2021扬州期末]如图,点C,F在线段BE上,∠ABC=∠DEF=90°,BC=EF,请添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF.(1)根据“ASA”进行判定,需添加的条件是

;根据“HL”进行判定,需添加的条件是

;

(2)请从(1)中选择一种,加以证明.答案

教材变式一题多解

一题多练5.[2022北京一模改编]如图,点B,E,C,F在一条直线上,BE=CF,∠B=∠DEF.只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF.【基础设问】(1)(SAS)当添加

时,根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF.

(2)(AAS)当添加

时,根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF.

(3)(ASA)当添加

时,根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF.

(4)(SSS)若将“∠B=∠DEF”改为“AC=DF”,则当添加

时,根据“SSS”可判断△ABC≌△DEF.

(5)(HL)若将“∠B=∠DEF”改为“∠A=∠D=90°”,则当添加

时,根据“HL”可判断△ABC≌△DEF.

【补充设问】(6)如图,△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上,这样的三角形叫做格点三角形.在图中,有

个格点三角形(不与△DEF重合)与△DEF全等.

一题多练答案5.【参考答案】(1)AB=DE(2)∠A=∠D(或AC∥DF等)(3)∠ACB=∠DFE(或AC∥DF等)(4)AB=DE(5)AB=DE(或AC=DF)(6)3图示速解

(6)如图,有3个三角形与△DEF全等,分别是△BAC,△CNB,△FMD.知识点52全等三角形的判定与性质教材变式1.[北师七下P96第6题]如图是由4个相同的正方形组成的网格,则∠1与∠2的和为(

)A.45°

B.60°

C.90°

D.100°答案1.C

如图,易得△ABC≌△FDE,∴∠1=∠BAC.∵∠BAC+∠2=90°,∴∠1+∠2=90°.教材变式2.[人教八上38例2,2022三门峡期中]如图,已知AB=CD,BC=AD,∠B=23°,则∠D=(

)A.67° B.46°C.23° D.不能确定答案2.C

连接AC,∵AB=CD,BC=DA,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴∠D=∠B=23°.教材变式3.[北师七下P104第4题,2022中山一模]如图,在△ABC中,∠B=∠C=65°,BD=CE,BE=CF,则∠DEF=(

)A.75°

B.70°C.65°

D.60°答案3.C

∵BD=CE,∠B=∠C,BE=CF,∴△DBE≌△ECF(SAS),∴∠BDE=∠FEC.∵∠BDE+∠BED=180°-65°=115°,∴∠BED+∠FEC=115°,∴∠DEF=180°-(∠BED+∠FEC)=180°-115°=65°.教材变式4.[人教八上P44第8题,2022贵港期中]如图,AB=CD,且AB⊥CD,作CE⊥AD,BF⊥AD,垂足分别是E,F,若CE=m,BF=n,EF=k,则线段AD的长是(

)A.m+n-k

B.m-n+kC.m+k

D.n+k答案4.A

∵AB⊥CD,CE⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C,∴易证得△ABF≌△CDE(AAS),∴AF=CE=m,DE=BF=n.∵EF=k,∴DF=ED-EF=n-k,∴AD=AF+DF=m+(n-k)=m+n-k.教材变式5.[北师八下P7第3题,2022崇左期末]如图,在△ABC中,AB=AC=16cm,∠B=∠C,BC=10cm,点D为AB的中点,如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.当△BPD与△CQP全等时,点Q的运动速度可能为

cm/s.

答案

一题多练6.[2022东莞期中改编]如图,在△ABC中,AD⊥BC,点E在AD上,连接BE,CE,且AC=BE.【基础设问】(1)若∠DAC=∠DBE,求证:△ADC≌△BDE.(2)若∠ABC=45°,求证:DE=CD.(3)若∠ACE=∠DBE,AE=3,CE=4,BC=9,则DE=

.

(4)若BE是△ABD的中线,且AB=4,BE=3,则BD的取值范围是

.

【补充设问】(5)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,△DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1,若这两个三角形全等,则x的值为

.

一题多练答案

一题多练答案

一题多练(5)3

∵△ABC与△DEF全等,∴3+5+7=3+3x-2+2x-1,解得x=3.图示速解

一题多解

第15节相似三角形知识点53相似三角形的判定教材变式1.[北师九上P121第16题]如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是(

)答案1.C

选项C中,阴影部分的三角形与原三角形有两对边成比例,但成比例的两边的夹角不一定相等,故两三角形不一定相似.教材变式

答案2.C

因为△ACD和△ABC有一公共角,所以要使△ACD∽△ABC,则需再有一角对应相等,如∠ACD=∠B,∠ADC=∠ACB,故A,B正确;或需有公共角的两边对应成比例,如AD∶AC=AC∶AB,即AC2=AD·AB,故D正确,C错误.故选C.教材变式3.[人教九下P42第3题,2022淄博期末改编]下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(

)答案

高分锦囊在网格中判定两个三角形相似的方法对于判断网格中有关三角形是否相似,一般方法是根据网格特点,利用勾股定理求出三角形各边的长度,再分析两个三角形的三边是否成比例,若成比例,则这两个三角形相似,否则这两个三角形不相似.教材变式4.[人教九下P36练习第2题,2022德州一模]在△ABC中,∠ACB=90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,使△ACD∽△CBD,根据下列选项中的作图痕迹判断,正确的是(

)答案4.C

只有当CD是AB的垂线时,△ACD∽△CBD.∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠BDC=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD,∴△ACD∽△CBD.根据作图痕迹可知,C选项中,CD是AB的垂线,符合题意.一题多练5.[原创]如图,已知D,E是△ABC的边AB,AC上的点,连接DE.【基础设问】(1)若DE∥BC,求证:△ADE∽△ABC.(2)若AB=7.4,AD=3,AC=6,AE=3.7,求证:△ABC∽△AED.(3)(与线段关系结合)连接BE,若BE⊥AC于点E,ED⊥AB于点D,BE·DE=BD·CE,求证:△BCE∽△BED.(4)(与等腰三角形结合)若AB=AC,点F在边BC上移动(点F不与点B,C重合),且满足∠DFE=∠ABC,求证:△BDF∽△CFE.【补充设问】(5)(与折叠结合)如图,在矩形ABCD中,BD=6,CD=3,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C的对应点为E,BE交AD于点F.求证:△ABF∽△EBD.一题多练答案

一题多练答案

知识点54相似三角形的判定与性质教材变式

答案

教材变式

答案

教材变式

答案

教材变式

答案

教材变式5.[北师九上P102第4题,2022周口月考]如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A出发,沿AB以2cm/s的速度向点B移动,点Q从点B出发,沿BC以4cm/s的速度向点C移动.如果两点同时出发,那么经过

s,△PBQ与△ABC相似.

答案

高分锦囊混淆“相似”与“∽”的含义,其中以“相似”表示的两个三角形没有确定对应关系,而以“∽”表示的两个三角形对应关系唯一确定.本题中,由于没有明确△PBQ与△ABC相似的对应关系,因此要分两种情况求解,否则容易出现漏解的错误.教材变式6.[北师九上P121第13题,2022长春期末]如图,在△ABC中,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD,∠CBD=∠A,过点D作DE∥AB,交BC的延长线于点E.(1)求证:△ECD∽△EDB.(2)求DE的长.答案思路导图教材变式答案

教材变式7.[北师九上P108第4题,2022邵阳期末]如图,在△ABC和△DEC中,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=6,BC=3,CD=5,CE=2.5,连接AD,BE.(1)求证:△ACD∽△BCE;(2)若∠BCE=45°,求△ACD的面积.答案思路导图

教材变式答案

一题多练

一题多练答案

一题多练答案

一题多练答案

知识点55相似三角形的实际应用教材变式1.[人教九下P58第8题,2021北京东城区期末]如图,在圆形花圃中有两条笔直的小径,分别记为AC,BD,设交点为P,点C,D之间有一座假山.为了计算C,D之间的距离,小明已经测量了线段AP和PD的长度,只需再测量一条线段的长度,就可以计算C,D之间的距离.小明应该测量的是(

)A.线段BP

B.线段CPC.线段AB

D.线段AD答案1.C

如图,连接AB,CD,∵∠DCP=∠ABP,∠DPC=∠APB,∴△APB∽△DPC,∴AP∶DP=AB∶DC.∴只需再测量线段AB的长度,就可以计算C,D之间的距离.教材变式2.[人教九下P40例5,2022四平期末]如图,小红把梯子AB斜靠在墙壁上,梯脚B距墙2米,小红上了两节梯子到D点,此时D点距墙1.8米,若BD长为0.6米,则梯子的长为

米.

答案

教材变式3.[北师九上P103方法1,2022西安三模]某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度,如图,在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得EC=4米,将标杆向后平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,G,E,C,A在同一直线上),这时测得FG=6米,CG=60米.请你根据以上数据,计算大雁塔的高度AB.答案思路导图教材变式答案

一题多练4.

如图,有一块锐角三角形余料ABC,边BC=12cm,高AH=8cm,要把它加工成矩形零件,使矩形零件的一边DE在BC边上,其余两个顶点G,F分别在边AB,AC上.【基础设问】(1)求证:△AGF∽△ABC.(2)当加工的矩形零件的两边EF∶GF=2∶3时,则这个矩形零件的面积为

cm2.

(3)当矩形零件DEFG与△ABC的面积比为4∶9时,此时矩形零件DEFG的两边EF∶GF=

.

(4)若这个矩形零件的长是宽的2倍,则宽是多少?【创新设问】(5)当边FG的长为多少时,矩形DEFG的面积有最大值?此时最大值是多少?一题多练答案

【题眼】相似三角形的对应高之比=相似比一题多练答案

一题多练答案

第16节锐角三角函数及其应用知识点56锐角三角函数的相关计算教材变式

答案1.A

教材变式

答案2.B教材变式

答案

教材变式4.[人教九下P65第1题]如图,在6×2的网格中,每个小正方形的边长都是1,网格中小正方形的顶点叫做格点,点A,B,C在格点上,连接AB,BC,则sin∠ABC=

.

答案

图示速解

教材变式一题多解

教材变式

答案

一题多练

一题多练答案

一题多练答案

图示速解

知识点57解直角三角形的实际应用教材变式

答案

教材变式

教材变式答案

教材变式3.[人教九下P77第2题,2022成都模拟]如图,AB是一垂直于水平面的建筑物.某同学从建筑物底端B点出发,先沿水平方向向前行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,最后沿水平方向向前行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°≈0.45)(

)A.22.4米

B.21.7米

C.27.4米

D.28.8米答案

教材变式4.[北师九下P21第3题,2022石家庄一模]如图(1)是一个手机支架,由底座、连杆和托架组成(连杆AB,BC,CD始终在同一平面内),AB垂直于底座且长度为9cm,BC的长度为10cm,CD的长度可以伸缩调整.如图(2),∠BCD=143°保持不变,转动BC,使得∠ABC=150°,假如AD∥BC时手机支架为最佳视线状态,则此时CD的长度约为(参考数据:sin53°≈0.80.cos53°≈0.60)(

)A.8cm B.7.7cmC.7.5cm D.5.6cm教材变式答案

教材变式

答案

教材变式6.[人教九下P75例4,2022长春期中]如图,从热气球C处测得两物体A,B的俯角分别为29.5°和45°.如果这时气球的高度CD为80米,且点A,D,B在同一直线上,求物体A,B之间的距离.(结果精确到1米.参考数据:sin29.5°≈0.49,cos29.5°≈0.87,tan29.5°≈0.57)答案

教材变式