高等代数第7章线性变换考研讲稿

第七章线性变换讲稿

§7.1线性变换的概念与判别

1.线性变换的定义:数域尸上的线性空间M的一个变换b称为线性变换，如果对修中任意的向量a,4和数域尸中的任意数

k,都有：cr(a+/)=cr(a)+cr(P),crpa)=。

2.线性变换的相等

(1)设b"都是数域尸上的线性空间忆的线性变换，那么b=r当且仅当对Vae%,有b(a)=r(a)。

(2)设都是数域P上的〃维线性空间忆的线性变换，因,。2,…，见是修的一组基，那么b=7当且仅当

CT(%)=«%)(4=1,2,…川。

3.线性变换的判别：设CT为数域P上线性空间P的一个变换，Va/e匕V左,/cP,那么：

(1)cr为忆的线性变换当且仅当cr(a+/)=cr(a)+cr(〃)，cr(Za)=hr(a)。

(2)cr为忆的线性变换当且仅当cr(Za+/£)=加(a)+/b(/?)。

例1.(华中师大2011,3(1))设口是数域，%是数域口上所有次数小于〃的多项式加上零多项式构成的线性空间,

令+〃x),证明7是忆上的线性变换。V=F[x\n

证明：首先说明7是P上的变换：事实上，任取由次数定理知〃x+l)—/(x)eP且唯一，因此T是P

上的变换。

再证明T是忆上的线性变换：任取/(x),g(x)e%,任取AJe尸，由次数定理有/(x)+/g(x)e%。

设“x)=4f(x)+/g(x),则〃(x+1)=歹(x+l)+/g(x+l),于是有：

T(V(x)+/g(x))=T(A(x))=/?(x+l)-A(x)=(4f(x+l)+/g(x+l))-(V(x)+/g(x))

=%(/(x+l)-/(x))+/(g(x+l)-g(x))=5(/(x))+/T(g(x))

因此T是忆上的线性变换。

4.线性变换的性质：设忆是数域尸上的线性空间，CT为忆的线性变换，X/a},a2,­,as,a^V,仁义,…,kfP。

(1)cr(0)=0,cr(-a)=-cr(a)

(2)线性变换保持向量的线性关系，即：若(7=左g+k2a2+•••+ksas,那么0"(。)=尢(7(%)+%2。(％)+…+%。3)。

(3)若a，。2,…,4线性相关，那么。(%)。(%)，…，0■(4)也线性相关。

(4)设线性变换CT为单射，如果名。2,…,a,线性无关，那么…，0■(4)也线性无关。

5.两种简便写法

设忆是数域P上的线性空间，b为忆的线性变换。

⑴设，血，…,4，…，九是修中的两个向量组，且:

B\入必+“力+…+钻

夕2=。2』+。22,2+…+。2/

(7-1)

CM2%

将式(7-1)简记为：

/、

GlC2\…Cm\

(2”2,…,4)=(%,C2C：2NO

及,…/)'(7-2)

(Gs。2s…Cms)

由式(7-1)可得：

b(笈)=H%)+G2b优)+…+GO伉)

。(夕2)=。2。(%)+。22。(%)+…+4。(八)

<(7-3)

••••••・•••••

b(凡)=(％)+(％)+…+%。(九)

由式(7-2)知式(7-3)可简记为：

。21…Cm\

C

(b⑷HA),…,4月“))=((7(%)口优),…，。仇))?2C；2m2(7-4)

（2）设囚,火，…,4是修中任意一组向量:

(7-5)

于是式（7-4）可写成：

C\\C2\Cm\

b（自外…，以“）=。（%,差，…，九）OfC：2CT

(7-6)

JisC2s…Cms>

C\\C2\。加'

若设C=C；2C；2•■-°;2，那么式（71）就被写成：

、C\sC2s…Cms）

—，乩）=（%-2,…，—）C(7-7)

式（7-1）就被写成：

b（凡夕2,…,A,）=b（（%，72,…，九）c）=b（%，72,…，兀）C(7-8)

于是由式（7-2）可得式（7-6）,

6.设%是数域尸上的〃维线性空间，CT为修的线性变换。求b（4）,b（/72）,…，（以“）的秩

方法：若b（⑷=6（凤）=…=b（£,"）=0,那么“回）°（22）,…,b（4）的秩为0,否则:

①取忆的一组基…求b（尸［）,0■（月2）,…,<T（&）在基以区,下的坐标〃|,〃2,…，必

②求〃i，小,…,％的一个极大线性无关组”,为，由线性空间之间的同构映射的性质知■（力）…,0（4）

就是。（自）,。（凤），…口（4）的一个极大线性无关组，因此向量组。（4）口（片）/一0（凡）的秩等于厂。

7.线性变换举例

（1）设忆是数域。上的任一线性空间，那么：

①忆的零变换o（o（a）=0,VaeP）是忆的线性变换；

②%的恒等变换或单位变换/（《a）=a,VaeFj是忆的线性变换；

③幕零线性变换：设（T是数域。上的线性空间忆的线性变换，如果存在正整数〃?，使得＜7加=。，就称b为忆的寻零线

性变换;

④嘉等线性变换：设O■是数域P上的线性空间忆的线性变换，如果。2=。，就称O•为忆的幕等线性变换。

（2）设「=尸"，任意取定数域P上的一个〃级方阵/，令:,则。为忆=尸"的线性变换。

(3)V=P[x],Z)(/(x))=/'(x)，V/(x)eP[x],则。为P=P[x]的线性变换。

（4）V=P"xn,4=（即）是忆中一固定矩阵，KX）=/X,VX€尸"、"是P=P'*"的线性变换。

8.可逆变换与可逆线性变换

1.线性空间的可逆变换：数域P上的线性空间忆的变换b称为可逆的，如果有P的变换7存在，使：8=2=1（/是P

的恒等变换）此时变换7称为b的逆变换，它是唯一的，记为7=（7-、

2.线性空间的可逆线性变换

1）可逆线性变换的定义：设忆是数域。上的线性空间，如果忆的变换b既是忆的线性变换又是忆的可逆变换，就称b为

V的可逆线性变换，此时a的逆变换b-也是忆的线性变换。

2）线性变换可逆的判别：设b是数域尸上的线性空间忆的线性变换，那么：

单射：任取箱a手。，一定有（r（a）wcr（£）,或若cr（a）=cr（4）一定有&=〃。

满射：对任意的夕eP,必存在aeP,使得b（a）=£。

1-1对应或双射：既是单射又是满射。

（1）cr可逆当且仅当cr是P到忆的1-1又寸应或双射。

证明：必要性：任取a/eP,如果b(a)=b(〃)，两端用作用：

(cr(a))=a~'(cr(^))ncr-lcr(a)=cr-lcr(^)=>z(a)==>a=/3

知CT是单射。

任取令q=crT(£),就有<r(a)=c(crT(£))=577(夕)="£)=尸，因此cr是满射。

综上可知。是P到忆的1-1对应或双射。

充分性：因o■是忆到忆的1-1对应或双射，因此任取万eP,必存在唯一的aeP,使得(r(a)=£。构造:

r:T->V,T(0)=a

由a的唯一性可知？为忆的一个变换，且：

crr(7?)=cr(r(^))=cr(a)=,or=/

因b是忆到忆的L1对应或双射，所以对。(夕)€修，必存在唯一的7cP,使得

b(y)=。(夕)=>丁(。(尸))=7*(。(乃)=夕

于是有：

Q(4)=s(T((T(y)))=r((Tr)cr(/)=rz(T(/)=(rz)cr(/)=rcr(/)=r(cr(/))=°=Tb=i

综上可知b可逆。

(2)若dim%=〃，是%的任意一组基，那么b可逆当且仅当。(%)0(%)「一。(％)也是忆的一组基。

证明：必要性：设40(囚)+左2b(%)+…+&,。(%)=0,因°是忆的线性变换，所以有：

b(占4+k2a2+­••+knan)=0=cr(O)

而O•可逆，因此b是忆到P的双射(或上式左右两端用err作用)，就得：

勺4+k2a2+…+knan=0

因/.a2,…,a”是「的一组基，所以线性无关，得左=h=…=k“=0=>4％),(7(%),…。(%)线性无关,

又。(4),<7(4),…。(%)ev，且dim/=n,因此<7(«)。(4)，…，0'(%)也是「的一组基。

充分性：任取/ek,因(7(4)0(。2)，…,。(%)是%的一组基，所以/可由…，0'(%)线性表出，

设夕=4。(因)+/2。(％)+…+/。(%)，因o•是忆的线性变换，所以有/=<7(/乌+/2a2+…+/“％),而

[%+12a2+-••+l„an€V,因此cr是满射。

任取a,夕eP,设。=.*。]+s2a2+…+s“a”，夕=4%+，2a2+…+'"%，如果。(1)=。(4)，那么有：

b(a)=sq(%)+S2<r(a2)+…+s°(a“)=o•(⑶=付(%)+/2b(4)+…+£/(%)

一(耳——因)+(52T2)b(%)+…+(s〃F)」(a.)=0

因<7(四),(7(%)，…。(4)是%的一组基，所以贝。|),<7(%),…,b(a“)线性无关,因此有：

s\-t\=S2-/2=.一=5〃_(=0n*=九$2=工2,…，s“=4na=，

知er是单射。

综上可知cr是忆到P的双射，因此<T可逆。

§7.2线性变换的运算、矩阵

(一)线性变换的运算

1.加法、乘法、数量乘法的定义：设忆是数域P上的线性空间，是P的两个线性变换，任取左€尸，Vae%。

(cr+r)(a)=cr(a)+r(a),(or)(a)=cr(T(a)),„(a)=Azr(a),(-cr)(a)=-cr(a)

(T+7、or、hr与-cr都是忆的线性变换。

2.运算规律：设忆是数域尸上的线性空间，G7,“都是忆的线性变换，左，/是尸中任意数。

1)加法：①交换律：cr+r=r+cr；②结合律：(b+r)+〃=cr+(r+〃)；③o+cr=cr；④cr+(-(r)=o。

2)数量乘法：①(kl)cr=k(lcr)；②lcr=cr。

3)加法与数量乘法：①(k+l)cr=kb+lcr；②％(cr+r)=Zcr+Ar。

4)乘法：①(or)〃=<7(r〃)；②不满足交换律，即or=Q"不一定成立；

③不满足消去律，即：由CTHO,OT=OW(Q=〃CT)不一定能推出7=勿；由OT=O不一定能推出b=O或7=0。

3.线性变换的多项式：设CT是数域P上的线性空间忆的线性变换，〃是正整数，为非负整数。

(1)o•的〃次暴：<r"=crcr…cr；

(2)及=，(，为忆的恒等变换或单位变换)；

(3)指数法则：/『=』,(〃)'=akl。

mmxmm

(4)b的多项式：g(x)=bmx+bm_xx~+•­•+blx+boeP[x],g(<r)=bma+bm_tcr~'+--+b^+bai

那么g(b)是V上的线性变换，g(cr)称为线性变换cr的多项式。

(5)若cr可逆，定义b-"=(bT)”。

注意：设ST都是数域P上的线性空间P的线性变换，〃是正整数，一般说来Hb"/'。

例2.(华东师大2016,四)给定线性空间V=尸上的两个线性变换:

(7(%,工2，、3)=(2%—X2,Xt+X2,X1—演)，r(xpx2,x3)=(x2+x3,x2—X3,玉+x2),GV

求2。+弓TCT。

解：

(2cr+r)(x1(x2>x3)=2<7(石,％2，七)+7(%,毛,%3)=(4玉-2xz,2x}+2x2,2xt-2x3)+(x2+x3,x2-x3,X1+x2)

=(4x,-x2+%3,2X]+3X2-X3,3X1+X2-2x3)«

211]仅01、

cr(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)-110,r(xx,x)=111,V(xpx2,x3)eK

0-Jp23b-1

00,

于是:

(211、、211、、001、

TO(占,々,*3)=7(。('[，/，演))=丁(玉,吃,工3)—110(Xi，%,/)-110111

00-1(00-11-10

777

211、001Y(203、

1

0111(演，》2，七)10=(2%+》2-X3，%2+X3,3XJ

00T人1-101

77、一10,

例3.(华东师大2016,四)设8是〃维线性空间修上的线性变换，a是忆中的向量，已知正整数〃[满足d"(a)H0,

<+1(a)=0,求证a,夕(a),…/"(a)线性无关。(北大教材第10题)

证明：设

m

kQa++•••+km(p(a)=0①

因e"用(a)=0,所以对任意正整数s,有°'i'(a)=0,于是用d"作用①式两端得：

d"H°a+M>(a)+…+幻，(。))="(0)=%序'"(。)+占。"”3)+--+(，+"'(。)=左"'3)=0

而”"(a)w0,因此得勺=0,代入①中得：

Ke(a)+…+%/"(a)=0②

用作用②式两端得：

mmm+xn

夕”"(左9(a)+&M(a)+…(a))=(p''(0)nkx(p[a^+k2(p(a)+-••+/：„,^a^=kx(p'(a)=0

因*"(a)H0,得左=0。如此下去就得&=•••=%,“=0。

综上可知由％oa+K0(a)+…+A,"9"'(a)=0=>%o=k[=…=k“,=0=>…线性无关。

4.线性变换构成的线性空间：设厂是数域P上的线性空间，令£(%)=｛。匕为忆的线性变换｝,那么上(%)按线性变换的加

法和数量乘法做成数域P上的线性空间。

(-)线性变换的矩阵

1.线性变换的矩阵：设%,。2，.一，%是数域。上的〃维线性空间忆的一组基，b是P的一个线性变换，则基向量的像

b®可以由基囚,见，…，氏线性表出：

。3)=%乌+〃2区+-,+%%

b3)=+a22a2+•••+an2a„

b(a“)—+-—+•••+”.

由式(7-2)与式(7-5)知式(7-7)可简记为:

4%2…«1„

a2\a22…a2n

N川an2,,,册〃

/、

%।%J

设/="；2…an2,将矩阵/称为b在基名,4,…,a”下的矩阵。

、％”a2n1•,a,„,>

注意：”的第/列（J=L2,…恰好是b（aj在基因,。2,…,％下的坐标。

2.线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及多项式的矩阵：设/,。2,•••，区,是数域尸上的〃维线性空间「的一

组基，Vcr,re£（r）,它们在基％a?，…，％下的矩阵分别为45,s为任意正整数。

（1）<7+7、OT、"与—cr在基G，%，％下的矩阵分别为，+5、45、4与一/。

（2）任取左eP,hr在基因，下的矩阵为心。

（3）若。为可逆线性变换，则crT在基四,见，％下的矩阵为力一二

m

（4）设=H---^平+旬为数域尸上的任一多项式，那么/（cr）=ama+am_xcr"'^----i-a^+agi

m'

在基因，％下的矩阵为/（4）=amA"'+am^AH---\-aAA+a0En。

（5）cr可逆当且仅当Z可逆（有限维线性空间上的线性变换可逆的判定定理）；

（6）令/：b14V（7GZ（r）,那么/是数域尸上的线性空间上（%）到数域尸上的线性空间尸"、"的

同构映射，因此上于是是〃2维线性空间。

3.向量在线性变换下像的坐标公式：设数域。上的〃维线性空间忆的线性变换b在修的基囚,。2，・一，%下的矩阵为/，

…,a”下的坐标为（国…）则<T（J）在基因,%，…,％下的坐标（%，％，…,”）可按公式

1）矩阵相似的定义：设43是数域P上的两个〃级方阵，如果存在数域P上的“级可逆矩阵T,使得TT/T=5,就称

在数域P上N相似于5,记为在数域。上/~6。注意：矩阵的相似与数域有关。

2）矩阵相似的性质：设4&C都是数域尸上的〃级方阵，那么在数域P上：

性质1：自反性：A-A；

性质2：对称性：若A〜B,那么5〜，；

性质3：传递性：若N〜5,B~C,则）〜C；

性质4：若T，T=B,那么对任意正整数左，有6"=7一，"7。

3）线性变换在不同基下的矩阵之间的关系：

（1）设数域尸上的〃维线性空间P的线性变换b在忆的两组基与4,色,…/“下的矩阵分别为7与8,

到四,4,…，瓦的过渡矩阵为T,那么5即同一线性变换在不同基下的矩阵彼此相似.

事实上，因：

（4外…，夕.）=（%，。2,…,%）7

由式（7-8）可知:

又：

。(凡/，…――，…一)5

所以有：

)7=((%%，…。")T)5

推出：

一.,4,)7)5)厂)T6TT

而：

cr(G，

得：

A=TBT'B=TAT

(2)设46是数域。上的两个"级方阵，且在数域P上N〜6,忆是数域P上的任一〃维线性空间，那么存在P的线性

变换b,使得43为cr在忆的两组基下的矩阵。

例4.(东北大学2010,六)设cr是线性空间/上的线性变换且满足〃=2/(z为恒等变换)，令7=。2一2。+/。

证明：7都是可逆变换。

证明：cH==又;b也是忆上的变换nCT是可逆变换。而丁=b?-2cr+z=(。一/)?,

又：

(y~=2c=>/-1=(o■-z)(b+z)=(b+i)(b-z)=z=>+(b-i)-=(cr4-z)~=z2=i

而9+,)2也是P上的变换，知7=4—2b+/=(b-，)2是可逆变换。

例5.(辽宁大学2014,五)设b是数域P上的〃维线性空间忆上的线性变换，且满足。2=b,证明：/(♦为恒

等变换)为忆的一个可逆变换。

证明：取定忆的一组基名,％,…，%，设a在基因,下的矩阵为n,那么b+i在基a。?,％下的矩阵为

A+E,于是只需证明N+E可逆即可。

er2-(7=0为零变换)，而CT?一O■与。在基四。2,…,％下的矩阵分别为N?-/与O，知：

1―N=On/2—/—2E=—2En(/一2E)(Z+E)=—2E=>1—；(4—2E))(/+E)=E

nN+E可逆=>b+i为/的一个可逆变换。

(b,小

例6.(首都师大2014,四)设”为2阶实方阵组成的线性空间，B='」GM,定义映射"为

3b4)

f(/A)、=AB-BA,验证/是线性映射。并写出了在M的基｛fnOWO1WO0^foo\|｝下的矩阵。

/\/\

%,x,y.y,

证明：任取X=12,Y=■'72eM,任取后,/eR,有：

lx3x4)1为yj

f(kX+lY)=(kX+lY)B-B(kX+lY)=k(XB-BX)+l(YB-BY)=kf(X)+lf(Y)

所以/是线性映射。

、（\0）（0nfO0、（00}

，则有:

///

b2]<10、与bi0、0

’444b。

-阳oj

3304

A<o0,\\0>\、也o;

c

（、fO1}纨c1、G’0bj%b4~hc

（）成—暂Ho=

fEi2=EnB-BEl2=^J10

%如0,o>、0%—b/

b>Kbf’00、"00、%0、%0、

（

fE2^=E2[B-BE2l=\J

%口J0>也也0>也匕

、

.、fO0、ap,b1o'’0O'’0b2\’0~b2

/（当2）=EB-BE=0][410

22221b4.b40

”,也b储也也7

所以：

/（E”）=0Eu+b2g2-4鸟+0/

/（g2）=+（，4-4）E]2+。E21+（-。3）*22

/（J）=（-力2）好+。媪2+（4-"）/+b2E22

/（万22）=041+（-,2）42+b?E21+0E22

/0瓦-，20、

10）（01）仅0）（00、bz0~b2

于是/在M的基，0）〔0oj\ioj\o》下的矩阵为:

0VJ04

I00J

例7.（辽师2013,十.（1））设忆是实数域上以4G，6，%为基底的线性空间，CT为忆的线性变换，满足

，

O•（与）=£]（，=1,2,3）,Cr（£-4）=£2,（1）写出CT在基£1,£2,£3，%下的矩阵。

解：由题设可知：＜7（£,,.）=£|=£1+0f2+0£3+0£-4（Z=l,2,3）,cr（£-4）=f2=0f,+£2+（）£3+Q£4,所以CT在基

'1110、

0001

£、,％,£、,£4下的矩阵为0

0000

、0000,

例8.（陕西师大2012,七，15分）设数域尸上的3维线性空间修上的线性变换b在忆的基与,？，,下的矩阵为

a\2a\3

aa

Ct2\2223，求b在忆的基£[+£2，£2+£3，*3下的矩阵。

-31。32“33/

4〃口叫100

解：因（T在/的基与,邑倨下的矩阵为«21。22。23，又佃+£2©+£3，？）=（与，J省）110

a32a33）（011

OY'/

0a\2&、q00、

所以O•在%的基£|+4,邑+G，/下的矩阵为110。21a22a231100

d

、01431a32。33,、°1"

由于:

’100

110

、011

0

3010a2\~a\\。22一〃12^23-^13

、0016]—。21+%1a32~a22a33~^23^^13>

因此:

得O■在/的基与++£3，£35的矩阵为:

000、

110

111>

a\\+a\2

a2\~a\\+々22_q2

\〃31一〃21+々I1+〃32一。22+a\2。32―a22+42+%3-〃23+a\3。33—。23+。13)

§7.3特征值、特征向量与对角矩阵

(-)矩阵的特征值与特征向量

1.矩阵的特征多项式：设/=(%)为数域。上的一个〃级方阵，力是一个文字，将矩阵/IE,,-/的行列式：

\Jfnn

^,~a\\a\2a\n

aa

I0rA2\^-221"。2n

|犯-/|=;：：

an\a„2…%一%”

称为矩阵N的特征多项式，记为这是数域P上的一个〃次多项式，且：

，(/1)川纥—H=4"+(T)(卬+%2+…+/〃)犷+・一+(-1)”H

=r+(-i)tr(>i)r-1+---+(-iy,|/4|

注：将;IE“-/称为矩阵N的特征矩阵，plE“-旬=0称为矩阵/的特征方程。

2.矩阵的特征值与特征向量的定义：〃级方阵力的特征多项式/(冷=忆纥在复数域上的所有根都叫做/特征值。

设％eC是N的特征值，将齐次线性方程组(4)E“-N)x=O的每个非零解都叫做矩阵/的属于特征值4的特征向量。

3.矩阵的特征值与特征向量的判定：设N为〃级方阵，4eC。

(1)4是矩阵Z的特征值当且仅当人(4)=体纥—川=0。

(2)4是矩阵N的特征值当且仅当存在OHaeC",使得Za=4)a。

(3)设%是矩阵/的特征值，0力。=(%,2,…,4)'wC",则a为矩阵/的属于特征值4的特征向量当且仅当

(4g,-/)a=0,即a是齐次线性方程组(4)E“—N)x=0的一个非零解。

4.矩阵的特征值与特征向量的求法：设/为〃级方阵。

第一步：求力(X)=ME“-H在复数域上的所有根4,4,…，4,(重根按重数计算)；

第二步:设4,为…，4(i是矩阵z的所有不同的特征值，对4.(左=1,…,s),解齐次线性方程组(4％-z)x=o,

得其一个基础解系九,小2,…，私/*(4=〃_尸(4・纥―/)),贝1」如,松，…，私，4就是与矩阵N的特征值4(左=1,…,S)相

对应的线性无关特征向量，矩阵力的属于特征值人的全部特征向量为小〃-+5%2/2+…+，其中S%"%，…，1人为

不全为零的任意常数(复数)。

5.重要结论：设/为〃级方阵。

(1)若4,为…,4是矩阵力的全部特征值，那么”的迹"(4)=4+4+…+%，”的行列式词=44…4。

(2)相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，相同的迹，相同的行列式。

(3)设4eC是矩阵N的特征值，X。是矩阵/的属于特征值4的特征向量，g(x)为一复系数多项式，那么：

①g(4)为g(N)的特征值，X。为g(N)的属于特征值g(4)的特征向量；

②如果z还是可逆矩阵，那么」-与回分别为/T和/*的特征值，x0为/T的属于特征值的特征向量，x0为/*的

属于特征值回的特征向量；

③设。是〃级可逆矩阵，则儿是。一，。的特征值，Q-X。是。的属于特征值4的特征向量；

④若4，为…,乙是矩阵4的全部特征值，那么g（4），g（否），…，g（4.）就是g（z）的全部特征值，如果力还是可逆矩阵,

则工,1~,…,1-为的全部特征值，回，回，…，回为4的全部特征值。

444,444,

6.矩阵的特征子空间：设N为“级方阵。

1）矩阵的特征子空间的定义：设