第一篇三带电粒子在复合场中的运动讲义

微专题4带电粒子在复合场中的运动

【命题规律】1.命题角度：（1）带电粒子在组合场中的运动；（2）带电粒子在叠加场中的运动.

2.常用方法：分段分析法，建立运动模型3常考题型：计算题.

考点一带电粒子在组合场中的运动

1.带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较

垂直进入磁场（磁偏转）垂直进入电场（电偏转）

一々

情景图

回

or

Ffi=qv（）B,好大小不变，方向变化，FE=qEk,尸E大小、方向均不变，

受力

方向总指向圆心，FB为变力凡为恒力

类平抛运动

匀速圆周运动Eq

Vx=V0Vy=^t

运动规律mvo2nmf

「一Bq'T-Bq

x=vot,丫=景

2.常见运动及处理方法

牛顿运动定律、

.变速直线|求法运动学公式

•电场中1鱼------。动能定理|

带

电

子

粒

T常规分解法］

分

在

的

离类平抛（类型T特殊分解法I

场

电斜抛）运动

场

磁q功能关系］

的

中

动

运磁场中匀速圆周

.求法I员1周运动公式、牛顿运

运动动定律以及几何知识

3.“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题

要清楚场的性质、方向、强弱、范留等

带电粒子•依次通过不同场区时，由受力

情况确定粒子在不同区域的运动情况

正确地画出粒子的运动轨迹图

根据区域和运动规律的不同.将粒子

运动的过程划分为儿个不同的阶段，对

不同的阶段选取不同的规律处理

要明踊带电粒子通过不同场区的交界处

时速度大小和方向关系.上一个区域的

末速度往往是下一个区域的初速度

例1(2021•全国甲卷25)如图，长度均为/的两块挡板竖直相对放置，间距也为/,两挡板上

边缘尸和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强

度大小为£;两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场.一质量为m,

电荷量为g(g>0)的粒子自电场中某处以大小为。。的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁

场，从两挡板下边缘。和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞.已知粒子射入磁

场时的速度方向与PQ的夹角为60。，不计重力.

(1)求粒子发射位置到尸点的距离；

(2)求磁感应强度大小的取值范围；

(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离.

2

小注=ylTimva(3—J3)nruo2mvo39—10\/3

答案-⑵以⑶一^/

解析(1)由题可知，粒子在电场中做类平抛运动，进入磁场时速度方向与尸。的夹角为60。,

设粒子在尸点时竖直方向上的速度为vyf由几何关系得tan60°=^(D

=

由运动学公式可得vYcit@

根据牛顿第二定律有qE=ma③

联立①②③解得粒子在电场中运动的时间/="〃?)④

3q匕

则粒子在水平方向的位移x=tv=中*)⑤

3q匕

竖直方向的位移)，=空尸霭⑥

则粒子发射位置到P点的距离为

公厮=^4)

(2)设粒子在磁场中运动的速度为。，结合题意及几何关系可知，。=焉不=唔，。⑧

oil1J

粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，

则有qoB—nv^

…小。2y[3mvo^

解得B=—=

qrV3qr@

磁感应强度最大时，粒子由。点射出，粒子轨迹如图甲所示，设此时的轨迹圆圆心为。1,

半径为门，由几何关系可知n挈,对应的磁感应强度51=警2⑩

LU5Dc<<,

磁感应强度最小时，粒子由N点射出，粒子轨迹如图乙所示，设此时的轨迹圆圆心为。2,半

径为广2.过。2作尸。的垂线与尸。的延长线交于点A,由几何关系有。2人=勺，故。2。=坐，,2

⑪

结合PB=QB=｝，

在△。2尸8中，由勾股定理有

（冽2+密+冬2）f2⑫

解得尸2=（小+1）/

对应的磁感应强度82=0-曾—。⑬

故磁感应强度的取值范围为0―曾“°°<8」贷⑭

（3）由题意可知，粒子正好从QV的中点射出磁场，画出粒子在磁场中的运动轨迹如图丙所示,

设此时轨迹圆圆心为。3,半径为厂3,

由几何关系可知尸。=专,

PD_51

cos(0+3(H=4小一2

设尸为轨迹与挡板MN最近处的点，。3尸J-PQ,且与尸。相交于点E.

由几何关系可得。3芯=于3,

故EF=$3

F到MN的最近距离为dm\n=/—1r3—44^^,

考点二带电粒子在叠加场中的运动

1.三种典型情况

(1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态.例如电场与磁场叠加

满足＜?E=*B时，重力场与磁场叠加满足时，重力场与电场叠加满足〃?g=qE时.

(2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力尸=卬8的方向与速

度。垂直.

(3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg=qE,粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周

运动，即qvB=m—.

2.当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定

律求解.

3.分析

例2(2022•广东高州市二模)如图所示，在区域I有与水平方向成45。角的匀强电场，电场方

向斜向左下方.在区域H有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小

为E2=等，磁感应强度大小为氏质量为〃八电荷量为一4的粒子从区域I的左边界P点由静

止释放，粒子沿虚线水平向右运动，进入区域H,区域II的宽度为".粒子从区域H右边界的

。点离开，速度方向偏转了60。.重力加速度大小为g.求：

⑴区域I的电场强度大小£,；

(2)粒子进入区域II时的速度大小;

(3)粒子从P点运动到Q点的时间.

a安“、啦〃％C季qBd2-^qBdmn

答案⑴q⑵痴⑶3,ng+碰

解析(1)粒子在区域I受重力和静电力，做句加速直线运动，6=45。，如图所示

故有sin

qE\

料付Ei-gsind-q

(2)设粒子进入区域H的速度为粒子受竖直向下的重力和竖直向上的静电力，且qE2=mg

V2

则所受的洛伦兹力提供向心力，有quB=〃q

速度方向偏转了60。，则对应圆心角为60。,

有sin60o=',寐立解得°=2个誉

(3)设粒子在区域I沿虚线水平加速的加速度大小为4,有〃=；zH=g,由速度公式有0=M

idn<z

可得加速时间为力=嚓警

粒子在区域n做匀速圆周运动的周期为

〜2nr2nm

/=T=谪

则做匀速圆周运动的时间为。2=翡^7=与"

则粒子从P点运动到Q点的时间为

高考预测

（2022•山西省一模）如图所示，以两竖直虚线M、N为边界，中间区域I内存在方向竖直向下

的匀强电场，电场强度大小为E,两边界M、N间距为d.N边界右侧区域H中存在磁感应强

度大小为8、方向垂直于纸面向里的匀强磁场.M边界左侧区域IH内，存在垂直于纸面向外

的匀强磁场.边界线M上的O点处有一离子源，水平向右发射同种正离子.已知初速度为

。。的离子第一次回到边界M时恰好到达O点，电场及两磁场区域足够大，不考虑离子的重

力和离子间的相互作用.

X

X

⑴求离子的比荷；

（2）初速度为空的离子第二次回到边界M时也能恰好到达0点，求区域in内磁场的磁感应强

度大小.

答案（1

解析（1）由题可知，离子在区域I和n中的运动轨迹如图所示，离子在区域I由o运动到A

过程中，水平方向以速度内做匀速直线运动，有d=rv

XX

竖直方向做匀加速直线运动，有y\=^at1

又qE=ma

设离子运动到A点时的速度方向与边界N的夹角为仇则离子运动到A点速度为

离子在区域H中做匀速圆周运动

解得片品

由几何关系可知AC=2rsin夕二等2

从。点运动到。点过程，竖直方向有

y2=zat-t+^at2=^ai1

又AC=yi+y2

qvovo

联立可得。--A/--------

m~dEB

(2)当初速度为，时,离子运动轨迹如图所示.

从。点射出到进入区域n中，竖直方向有=/

水平方向有d=^t'

可得yi'=4>'i

设离子运动到A'点时的速度方向与边界N的夹角为夕，则运动到A点速度为v

f2，的

为：齐，在区域n中有的,n=~i-,则/0

2qBsin6'

从进入区域II到射出区域H,弦长4'C=2/sin/=~~

再次进入区域I中，竖直分位移为

13

*f

52一

所以yi+yi=4(yi+y2)=4AC

在区域III中的弦长。/=2/'sineu

u2

又w〃B',v"=、.：()〃

/r2sin0

"?0o

所以0F=

由几何关系可知。尸=yi'-A'F

+y2'C'=C}D

联立解得B'=y.

专题强化练

1.（2022•山东省名校联盟高三期末）如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在沿y轴负方向

的匀强电场，在第四象限内存在垂直坐标平面向里的匀强磁场.一质量为〃八电荷量为q的

带正电粒子（粒子所受重力不计）从坐标原点O射入磁场，其入射方向与x轴的夹角。=30。，

第一次进入电场后，粒子到达坐标为（2小L+LL）的尸点处时的速度大小为。、方向沿x轴

正方向.求：

OXXX

XXX

XXXXXX

（1）粒子从O点射入磁场时的速度大小Vo:

（2）电场的电场强度大小E以及磁场的磁感应强度大小B；

（3）粒子从。点运动到P点的时间/.

答案⑴事⑵需暗

解析（1）由题意知，粒子的运动轨迹如图所示，由于洛伦兹力不做功，粒子经过。点时的速

度大小也为优，根据对称性，粒子经过。点时的速度方向与x轴正方向的夹角也为仇粒子

进入第一象限后，沿X轴方向做匀速直线运动，沿），轴方向做匀减速直线运动，根据几何关

.V

系有;7=cos0

解得V()=

（2）对粒子从。点运动到P点的过程，根据动能定理有

-qEL^mv2-^^

tnv2

解得“福

设粒子从Q点运动到尸点的时间为小有

O+^osin0

2・h=L

解得A=净

粒子从Q点运动到P点的过程中沿x轴方向的位移大小为

XQP=Vt\

解得XQP=2，§L

则OQ=2yj3L+L~xQp=L

设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R,

根据几何关系有0Q=2Rsin9

解得R=L

02

根据洛伦兹力提供向心力有qvoB=nr-^~

2事mv

解得B=七厂

(3)粒子在磁场中做圆周运动的周期7=誓

根据几何关系，在粒子从0点运动到。点的过程中，运动轨迹对应的圆心角为90。一仇

90°-8

故粒子在该过程中运动的时间会=飞乔-7

解得，2=锣

又t=ti+t2

正如+⑵

解得/=

6v

2.(2022•河北唐山市高三期末)如图，顶角为30。的“V”字形区域内存在垂直于纸面向外的

匀强磁场.OM上方存在电场强度大小为E的匀强电场，方向竖直向上.在OM上距离。点

3L处有一点4,在电场中距离A为"的位置由静止释放一个质量为优、电荷量为q的带负电

的粒子，经电场加速后该粒子以一定速度从A点射入磁场后，第一次恰好不从ON边界射出.不

计粒子的重力.求：

(1)粒子运动到4点时的速率vo;

(2)匀强磁场磁感应强度大小B；

(3)粒子从释放到第2次离开磁场的总时间.

答案a寸用血解⑶3目味I翁

解析(1)带电粒子由静止开始到达A点时，由动能定理可得qEd=^mv(r

解得。。=、用

(2)根据题意作出粒子在磁场中完整的运动轨迹图如图所示

粒子在磁场中的运动轨迹的圆心为。1,轨迹与ON边界相切于。点，设轨迹半径为r,由几

何关系可得sin30。=——

解得r=L

2

设匀强磁场磁感应强度大小为B,由洛伦兹力提供向心力可得8卯(尸牛

W……nmVQ1l2Edm

联五解得

(3)带电粒子从静止加速到A点所用时间为

2d12md

带电粒子在磁场中运动的周期

带电粒子第一次在磁场中运动时间为力=称

带电粒子再次进入电场再返回磁场所用时间h=2t\

再次返回磁场由几何关系可知，以O点为圆心继续做圆周运动至ON边界离开，则再次做圆

30°T

周运动的时间为白=的广丁=行

所以总时间为

...-I2md,7nLIm

t=h+及+B+y3、下+'硝.

3.(2022・河北张家口市一模)如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限存在垂直于xOy平

面向里的匀强磁场，第二象限存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E.一质量为小

电荷量为q的带正电粒子在x轴上的4一40)点沿y轴正方向射入电场区域，粒子第一次经

过y轴时的速度方向与>'轴正方向的夹角为60°,之后每相邻两次经过y轴时的位置间距相

等.不计粒子重力.求：

y

XXXX

XXXX

XXXX

E:芬占XX

XX

XXXX

XXXX

XXXX

xxxxX一

A0

(1)粒子的初速度的大小优；

(2)匀强磁场磁感应强度的大小B；

(3)粒子从4点运动到第n次经过y轴的时间.

答案。寸骤⑵停⑶见解析

解析(1)粒子进入电场后做类平抛运动，沿无轴方向的加速度大小。=誓

从A点第一次运动到y轴的过程，x轴方向有

v}=2ad

第一次经过y轴时有tan60。="

联立解得。。=寸梁

(2)粒子第一次经过)，轴时的速度大小『i：油

粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力有

V2

qvB=nr^

由几何关系可知，粒子每次进入磁场到离开磁场的过程中沿y轴方向运动的距离

L=2rsin60°

之后粒子每次从)，轴进入电场到离开电场，运动的时间40=

切时间内，粒子沿y轴方向运动的距离为y=a)f()

由题意可知y=L

联立解得8=住

(3)设粒子从A点第一次运动到)，轴的时间为t\,则有最小2=d

解得,尸yw

粒子第一次经过y轴到第二次经过y轴，在磁场中做勺速圆周运动，由几何关系可知粒子在

磁场中运动的时间为

T

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期

e271771

T=HB

粒子第二次经过)，轴到第三次经过)，轴，在电场中运动的时间

即粒子从A点运动到第三次经过)，轴时的时间为6+/2+八=3"+攵

所以粒子从A点运动到第八次经过y轴时的时间

t=nh+^Y-t2=悔4D"+〃J^^^(”=I,3,5,7,—)

t'=("-l)fi+?2=(穹5+"-l)y^("=2,4,6,8,…)

4.(2022•安徽省江南十校一模)如图所示，竖直平面内建立直角坐标系xOy,