二次函数的图象与性质（6大考点）（解析版）

第三部分国数

专题09二次国数的图象与性质(6大考点)

核心考点一二次函数的图象与性质

核心考点二与二次函数图象有关的判断

核心考点三与系数a、b、c有关的判断

核心考点

核心考点四二次函数与一元二次方程的关系

核心考点五二次函数图象与性质综合应用

核心考点六二次函数图象的变换

新题速递

核心考点一二次函数的图象与性质

命氟题鉴宽

H(2022•浙江宁波・统考中考真题)点A(〃“，yi),BCm,y2)都在二次函数产(x-1)2+〃的图象上.若

9<”，则小的取值范围为()

33

A.m>2B.m>—C.m<\D.-<m<2

22

【答案】B

【分析】根据y/<y2列出关于"，的不等式即可解得答案.

【详解】解：；点A(m-1,9)，BCm,y2)都在二次函数产(x-1)?+〃的图象上，

•*.y/=(/?7-1-1)2+n=(m-2)2+n,

y2=(zn-1)2+/z,

yj<y2f

(m-2)2+n<(/77-1)?+小

:.(m-2)2-(k2-1)2<0>

即-2m+3V0,

・・〃?〉一,

2

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于〃，的不等式.

瓯(2021.江苏常州.统考中考真题)已知二次函数>当x>0时，y随x增大而增大，则实数

a的取值范围是（）

A.a>0B.a>\C.awlD.a<1

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解.

【详解】•••二次函数y=（a-l）x2的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大，

.•.二次函数y=（a-1）/的图像开口向上，

a-1>0,即：a>\,

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键.

瓯（2022•江苏徐州•统考中考真题）若二次函数y=/-2x-3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于

m,则m的值为.

【答案】4

【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线41,顶点为（1,-4）,由图象上恰好只有三个点到x轴

的距离为〃?可得m=4.

【详解】解：：y=x2-2x-3=（x-l）2-4,

，抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线41,顶点为（1,-4）,

.••顶点至Ijx轴的距离为4,

V函数图象有三个点到x轴的距离为m,

.'."2=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键.

◎命题出也

知识点：二次函数的概念及表达式

1.一般地，形如*（a,b,c是常数，a*0）的函数，叫做二次函数.

2,二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：y^ax+bx^c（a,b,c为常数，a/0）.

（2）顶点式：*a（x-h）（a,h,k为常数,a右0）,顶点坐标是（九k）.

（3）交点式：），=。（X—石）（工一/），其中必，M是二次函数与X轴的交点的横坐标，a制.

知识点：二次函数的图象及性质

1.二次函数的图象与性质

解析式二次函数*（心b,c是常数，a丰0）

h

对称轴产--

2a

b4ac-b2

顶点（一，）

2a4a

a的符号3>0求0

小卡7

图象

开口方向开口向上开口向下

当4-2b时，当2时，

2a2a

最值

_4ac-b2_4ac-b2

y最小值y最大值

4。4。

最点抛物线有最低点抛物线有最高点

当晨一二b时，v随x的增大而减小；当当晨一2时，y随*的增大而增大；当x>

2a2a

增减性

x>-2时，y随x的增大而增大b

-一时，y随x的增大而减小

2a2a

【变式1］（2022•浙江宁波・统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（0,-1）,顶点在第四象限,

记P=2a-6,则P的取值范围是（）

A.O<P<1B.1<P<2C.0<P<2D.不能确定

【答案】B

【分析】根据抛物线经过点（-1,0）、（0,-1）即可得到a-b=l,c=-l,再根据顶点在第四象限，即可求出。的取

值范围，则P的取值范围可求.

【详解】•••抛物线yX+bx+c过点（-1,0）、（0,-1）,

.♦•有〈,,且显然存0,

[c=-l

a-b=\,c=-l,

将抛物线yna^+fov+c配成顶点式：y="（x+2）2+艇士，

2a4a

顶点坐标为：J,

2a4〃

•••抛物线顶点坐标在第四象限，

>0,

2a

*/a-b-\,

A-->0,

la

解得：（Xa<l,

■:P=2a-b,a-b=\»

/.P=2a-b=a+a-b=a+1，

:（XaVl,

A1<«+1<2,

\<P<2,

故选:B.

【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，根据抛物线经过的点和顶点在第四象限求出的4的取值范围是

解答本题的关键.

【变式2]（2022.浙江宁波•统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（0,-1）,顶点在第四象限,

记P=2a-6,则P的取值范围是（）

1<P<2C.0cp<2D.不能确定

【答案】B

【分析】根据抛物线经过点(-1,0)、(0,-1)即可得到c=-l,再根据顶点在第四象限,即可求出。的取

值范围,则P的取值范围可求.

【详解】:抛物线丫=以2+灰+。过点(-1,0)、(0,-1),

a-b+c=0

...有c=-l,且显然"O,

a-b=\,c=-l,

将抛物线>=以2+灰+。配成顶点式：丫二仪,白尸+若卢

•••顶点坐标为：(上产一叭,

2a4。

•••抛物线顶点坐标在第四象限,

',-A，

a-b=1,

解得：0<«<1,

■:P=2a-b,a-b=l»

P=2a-b=a+a-b=a+1,

(XaVl,

・・・lVa+lV2,

\<P<2,

故选：B.

【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，根据抛物线经过的点和顶点在第四象限求出的“的取值范围是

解答本题的关键.

【变式3】(2022•江苏盐城・滨海县第一初级中学校考三模)如图1,对于平面内的点A、P,如果将线段以

绕点尸逆时针旋转90。得到线段P8,就称点B是点A关于点尸的“放垂点”.如图2,已知点A（4,0）,点P

是），轴上一点，点8是点A关于点尸的“放垂点”，连接AB、OB,则08的最小值是.

【答案】2夜

【分析】①当P点纵坐标K）时，过点8作8C_Ly轴于C,由△8PC丝△%。可得8c=P。，PC^AO,设OP

长度为x由两点距离公式建立二次函数，再由二次函数的性质求值即可；②当P点纵坐标＜0时，过点B作

8CJ_y轴于C,同理可得08的表达式，再由二次函数的性质求值即可；

【详解】解：①当P点纵坐标K）时如图，过点8作轴于C,

NCBP+NCPB=90°,ZOR\+ZCPB=90°,贝附，

由旋转的性质可得：PB=PA,

△2PC和△B4O中：ZPBC=ZAPO,NBCP=NPOA=90。,BP=PA,

：./\BPC^/\PAO(AAS),

：.BC=PO,PC=AO,

设。尸长度为x，贝l」PC=AO=4,BC=x,B(x,x+4)

/.OB=M+(X+4)2=j2(x+2j+8

Vx>0,

.,.x=0时OB最小，最小值为4,

②当P点纵坐标<0时，如图，过点B作轴于C,

同理可得△BPCg△物O（AAS）,BC=PO,PC=AO,

设OP长度为x,则PC=AO=4,BC=x,B（-x,4-x）

*2

JOB=信+（4_力2=^2（X-2）+8

Vx>0,

x=2时OB最小，最小值为2夜,

综上所述：。8最小值为2夜，

故答案为：2点；

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质；根据尸点位置

分类讨论是解题关键.

【变式4］（2022.吉林长春.校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为

“互异二次函数”.如图，在正方形。ABC中，点A（0,2）,点C（2,0）,则互异二次函数y=（x-⑼?-机与正

方形0ABe有公共点时m的最大值是

八）

A---------

［答案］止叵

2

【分析】根据抛物线顶点横纵坐标的关系得出抛物线顶点的运动轨迹，结合正方形的位置，则可得到当抛

物线经过点8时,"取最大值，依此列式求解即可.

【详解】解：二•抛物线顶点坐标为（孙-切），

二抛物线顶点在直线产-x上移动，

•四边形AO8C为正方形，点A（0,2）,点C（2,0）,

・••点8坐标为（2,2）,

解得正呼或续（舍去）,

故答案为：2m.

2

【点睛】本题考查二次函数图象和性质和图象平移的特点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系及

图象平移的特点.

【变式5］（2021•湖北随州•一模）如图，抛物线、=⑪2+。”>0/<0）与x轴交于A,B两点（点（在点A

的右侧），其顶点为C,点尸为线段OC上一点，且PC=!。。.过点P作分别交抛物线于。，E

4

（1）直接写出A,B,C三点的坐标；（用含。，k的式子表示）

（2）猜想线段DE与AB之间的数量关系，并证明你的猜想;

（3）若NODC=90。，k=-4,求”的值.

用°）、（m°）、（叫

【答案】（1）点4,B,C的坐标分别为

（2）DE=^AB,理由见解析

⑶a=g

2

【分析】（1）y=ax+k=01求出x的值可得点A,8的坐标，令x=0,求出），的值，可得点C的坐标;

（2）根据PC=!（?C求出点尸的纵坐标，

代入解析式，求出点。，E的横坐标，进而求出。E的长度，再根

4

据点A,8的坐标求出A8的长度，即可得出。E=；A3：

（3）当％=-4时，求出OP,PC,PD,再通过导角证明NO£＞尸=ZDCP,得出tanNQDP=tan"CP,进

而得出PD2=OP-PC,代入即可求解.

（1）

解：对于丫=尔+4，

令y=ax2+k=0,解得x=土，

令x=0,则y=%,

故点A,B,C的坐标分别为卜杉,o]、（杉，°）、（°，%）；

（2）

解：DE=^-AB,理由：

2

•.•c（o,&）,点C在），轴负半轴，

...OC=-k,

：.PC=-OC^-x（-k}=--k,

44''4

13

贝|]%,=4一:左二：%,

44

故点P的坐标为（o?’,

33.

当y=2%时，则己攵=々？+左,

44

由点A,8的坐标得：AB2DE,

：.DE=-AB；

2

(3)

解：当无=-4时,

由⑴（2）知，点尸的坐标为（0,-3）,点C的坐标为（O,Y）,DE

AOP=3,OC=4,PC=OC-OP=4—3=1,PD=-DE=

2

NO£>C=90°,

ZODP+ZCDP=90°,

又•/NCDP+ZDCP=90°.

:.ZODP=ZDCP,

tanZODP=tanZDCP,

.OPPD,

，•而=正，^anPD-=OPPC,

解得

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，有一定的综合性，难度适中，第三问利用三角函数或三角

形相似均可得出PD2=OPPC，解题的关键是熟练掌握二次函数y=加+%的图象及性质.

核心考点二与二次函数图象有关的判断

0氟题华宽

gl|（2021・广西河池・统考中考真题）点（冷凶）,仁,力）均在抛物线尸/-1上，下列说法正确的是（）

C.若0cxi<%,贝1]%>%D.若芭<%<0,则

【答案】D

【详解】解：由图象，根据二次函数的性质，有

A.若%=%，则％=±々，原说法错误；

B.若玉=，则y=%，原说法错误；

c.若0<%<当，则乂<必，原说法错误；

D.若王<々<0,则必>必，原说法正确.

故选D.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质.

瓯（2021.湖南娄底.统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数y=x?+2的图象与反比例函数

y=W的图象的交点的横坐标与所在的范围是（）

x

111133

-氏<%-<C<<<%<

44-2-2-4-D.4--

【答案】D

【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标与所在的范围.

【详解】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：

当面==3时，将其分别代入y=』+2与y=24计算得；

4x

9c4128

11616233.

4

8415c

「必一X=-----=—>0，

2131648

此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，

3

*-4<%<)~1

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是：准确画出函数的图象，再通过关键点

得出答案.

22

瓯(2020•广西贵港・中考真题)如图，对于抛物线x=-f+x+i,y2=-x+2x+],yi=-x+3x+],

给出下列结论：①这三条抛物线都经过点c(o,i)；②抛物线力的对称轴可由抛物线％的对称轴向右平移1

个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线丁=1的交点中，相邻两点

之间的距离相等.其中正确结论的序号是.

【答案】①②④

【分析】根据抛物线图象性质及配方法解题.

2

【详解】将C（O,1）分别代入抛物线X=-f+x+l,y2=-x+2x+\,%=--+3》+1中，可知，这三条抛

物线都经过点C,故①正确;

抛物线％=-/+x+l的对称轴为x=-g=g,

抛物线%=-—+3x+l的对称轴为“=4=ax=?a可由x=］1向右平移1个单位而得到，故②正确;

抛物线y=—x2+x+i=—（x——）2+j的顶点为A（Q弓）

抛物线%=一/+2%+1-)2+2的顶点为B(1,2)

抛物线％="+3x+1=-（X-于+号的顶点为C弓芋

,_1_2_3135

3T7=53芋

----1

222

，三条抛物线的顶点不在同一条直线上，故③错误;

将y=l分别代入三条抛物线，得占=0或1,马=0或2,工3=0或3,

可知，相邻两点之间的距离相等，故④正确，

综上所述，正确的是①②④，

故选：①②④.

【点睛】本题考查二次函数的性质，其中涉及将一般式化为顶点式等知识，是重要考点，难度较易，掌握

相关知识是解题关键.

厚命题线确

知识点'抛物线的三要素：开口方向'对称轴'顶点.

①。决定抛物线的开口方向：

当a>0时，开口向上；当。<0时，开口向下；同相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x=/z.特别地，y轴记作直线x=0.

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数。相同，那么抛物线的开口方向、开口大小

完全相同，只是顶点的位置不同.

知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法

2

小八7、+2,(bY^ac-b.TH上日,b4ac-b\

(1)公式法：y-ax'+bx+c-ax+—+-------,..顶点是(----，--------),

2a)4a2a4a

对称轴是直线x=-2.

2a

⑵配方法：运用配方法★魏物线的解析式化为J=a(x-h)2+k的形式，

得到顶点为(〃，Q,对称轴是x=〃.

⑶运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛

物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

知识点、直线与抛物线的交点

(1))，轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为(O,c)

(2)与y轴平行的直线x=〃与抛物线y+匕九+。有且只有一个交点(〃，“/J+hh+c').

⑶抛物线与x轴的交点

二次函数y=a/+0x+c的图像与x轴的两个交点的横坐标X1、看,是对应一元二次方程

公2+"+c=0的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点o△>0。抛物线与A-轴相交；

②有一个交点(顶点在A-轴上)oA=0。抛物线与X轴相切；

③没有交点o△<0o抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有。个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为

k,则横坐标是，。2+法+，=左的两个实数根.

(5)一次函数y=kx+〃(k丰0)的图像/与二次函数y=a/+bx+c(a+0)的图像G的交点，由方程组

的解的数目来确定：

y=ar〜+Z?x+c

①方程组有两组不同的解时o/与G有两个交点；

②方程组只有一组解时o/与G只有一个交点；③方程组无解时oI与G没有交点.

⑹抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=aV+笈+c与x轴两交点为A&,0),B(X2,0),由于

,bc

Xi、是方程+Z?x+c=0的两个根，故X\+x-,--―,xi-x,=—

aa

【变式1】(2022•四川泸州•校考模拟预测)二次函数y=a/+法+。(。/0)的自变量x与函数y的部分对

应值如下表：

X-101234

y=ax2+hx+c830-103

则这个函数图像的顶点坐标是()

A.(2,-1)B.(—1,2)C.(—1,8)D.(4,3)

【答案】A

【分析】由图表数据可知，函数图像与x轴的两个交点为（1,0）和（3,0）,故可知图像对称轴为：x=2,即可

对照表格得出顶点坐标.

【详解】解：:由表可知：当x=l时，y=o；当x=3时，y=o,即函数图像与x轴的两个交点为（1,0）和（3,0）,

由此可知：图像对称轴为：x=^=2,对照表格可知：当x=2时，y=-l,

即顶点为（2,-1）,

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是将表格数据转化为点的坐标信息，结合二次函数性质画出草

图分析.

【变式2】《2022・山东日照•校考一模）设A（-2,yJ,B（l,y2）,C（2,%）是抛物线y=-（x+l）2+2上的三点,

则为,X，%的大小关系为（）

A.yfB.yt>y3>y2

c.D.%>%>%

【答案】A

【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得y/,"，”的值，比较大小即可.

【详解】解：：A（-2,yJ,B（l,y2）,。（2,必）是抛物线y=—（x+l）2+2上的三点，

22

y=-（-2+1尸+2=1,y2=-（l+l）+2=-2,=-（2+1）+2=-7,

Vl>-2>-7,

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象匕点的坐标满足函数解析式是解题的

关键.

【变式3］（2021•陕西西安•校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数必=«/的图

象如图，则4,%的大小关系为•（用连接）

［答案］al>a2>a3

【分析】抛物线的开口方向和开口大小由。的值决定的，系数绝对值越大，开口越小.

【详解】解：：抛物线开口都向上，

，二次项系数都大于0.

丁二次函数X=%/的开口最小，二次函数为=的开口最大，

/.4>%>，

故答案为：at>a2>a3.

【点睛】本题考查了二次函数产底（存0）的性质，是基础知识，需熟练掌握.熟练掌握抛物线开口大小

与|。|有关，间越大图象开口越小，⑷越小图象开口越大是解答本题的关键.

【变式4】（2022.广西.统考二模）如图，抛物线丫=以2+法+。与x轴的一个交点A在点（-2,0）和（-1,0）

之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是

3?

【答案】

【分析】顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与。点重合，可以知道顶点坐

标为（1,3）且抛物线过（-1,0）,则它与x轴的另一个交点为（3,0）,由此可求出a；当顶点C与尸

点重合，顶点坐标为（3,2）且抛物线过（-2,0）,则它与x轴的另一个交点为（8,0）,由此也可求”，

然后由此可判断“的取值范围.

【详解】顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，

当顶点C与。点重合，顶点坐标为（1,3）,则抛物线解析式）=4（X-1）2+3,

”(-2-1)2+34031

由，解得

«(-1-1)2+3>0'

当顶点C与尸点重合，顶点坐标为（3,2）,则抛物线解析式产a（x-3）2+2,

«(-2-3)2+2<012

解得--<6F<--；

a(-l-3)2+2>0o

•.•顶点可以在矩形内部，

32

，——<a<——.

425

32

故答案为：———

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，矩形的性质，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的

关键.

【变式5］（2022•河南南阳・统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2-4依+2.

（1）抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为；

（2）若当x满足时，y的最小值为-6,求此时），的最大值.

【答案】（l）x=2,（0,2）

42

⑵当a>0时，），的最大值为12,当a<0时，y的最大值为不

【分析】（1）根据对称轴的表达式计算求值，再令户0求得y值即可解答；

（2）分两种情况讨论：①当a>0时，抛物线开口向上，可得x=2时），取得最小值，进而可得抛物线解析式,

由对称轴42可得，45时y取得最大值；②当a<0时，抛物线开口向下，可得可得45时y取得最小值，

42时取得最大值，计算求值即可；

（1）

解：抛物线丫=d-45+2的对称轴为户-=上=2,

令x=0,则尸2,

.•.抛物线与y轴的交点坐标为（0,2）：

（2）

解：①当a>0时，抛物线开口向上,

x=2时，y取得最小值-6,

4々一8々+2=~6,解得。=2,

・•・该抛物线的解析式为y=2f—8x+2,

V|5-2|>|1-2|,抛物线的对称轴为x=2,

..•当x=5时，y取得最大值，

y最大=2x5?-8x5+2=12；

②当“<0时，抛物线开口向下，

V|5-2|>|1-2|,抛物线的对称轴为户2,

.•.当x=5时，），取得最小值-6,

Q

25a-20a+2=-6,解得。=-,

Q09

,该抛物线的解析式为y=-|f+黄+2,

当x=2时，y取得最大值，

8c232~"42

）齿大二—x2=H--x2+2=­

J最人555f

42

综上所述，当〃>0时，y的最大值为12,当4<0时，y的最大值为彳：

【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的对称性，求二次函数的最值，根据”的正负分类讨论

是解题关键.

核心考点三与系数a、b、c有关的判断

。氟题磔究

@3（2022・湖北黄石•统考中考真题）已知二次函数y=o?+法+。的部分图象如图所示，对称轴为直线

户-1,有以下结论：①HcvO；②若r为任意实数，则有③当图象经过点（1,3）时，方程

以2+法+。-3=0的两根为不，々（不<々），则不+3々=0,其中，正确结论的个数是（）

X

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】利用抛物线开□方向得到〃>0,利用抛物线的对称轴方程得到力=2a>0,利用抛物线与），轴的交

点位置得到cVO,则可对①进行判断；利用二次函数当A-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数

丁=依2+/比+。与直线尸3的一个交点为（1,3）,利用对称性得到：次函数yju'+bx+c与直线产3的另一

个交点为（-3,3）,从而得到x/=-3,工2=1,则可对③进行判断.

【详解】,・,抛物线开口向上，

JQ>0,

♦・,抛物线的对称轴为直线x=-1,即1=_==—1,

2a

b=2a>0f

,/抛物线与y轴的交点在x轴下方，

c<0,

abc<0>所以①正确；

时，y有最小值，

a-b+c<at2+bt+c（f为任意实数），即a-初4。/+匕，所以②正确；

•••图象经过点（1,3）时，代入解析式可得c=3-3a,

方程依2+法+0-3=0可化为3a=0,消a可得方程的两根为4=-3,々=1,

•..抛物线的对称轴为直线X=-1,

二次函数y=+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3,3）,

x,=-3,X2=1代入可得为+3々=0,

所以③正确.

综上所述，正确的个数是3.

故选D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数。决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,

抛物线向上开口；当“V0时，抛物线向下开口；一次项系数6和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当

。与b同号时，对称轴在y轴左；当。与b异号时，对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛

物线与），轴交于（0,c）.

例目（2022•山东日照・统考中考真题）己知二次函数产湛+法+c（q/））的部分图象如图所示，对称轴为x=1,

且经过点（-1,0）.下列结论：①3a+b=0；②若点（3,>2）是抛物线上的两点，则丫/勺2；③106-3c=0；

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由对称轴为x=|即可判断①；根据点（3,），2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经

过点（-1,0）,得出a3c=0,对称轴得出〃=-与，代入即可判断③；根据：次函数的性质

以及抛物线的对称性即可判断④.

【详解】解：；对称轴*=一二="

2a2

h=-3af

/.3tz+/?=0,①正确；

•••抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点（3,线）的距离，

・・小勺2，故②正确；

•・•经过点（-1,0）,

；・a-fe+c=0,

♦.•对称轴x=-3=1,

2a2

.1,

・・〃=—b»

3

—b—b+c=0,

3

・3c=4b,

.'.4/>-3c=0,故③错误；

3

•.•对称轴》=彳，

2

，点（0,c）的对称点为（3,c）,

:开口向上，

ySc时，0勺53.故④正确；

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键.

瓯（2021・贵州遵义•统考中考真题）抛物线y=o?+bx+c（a,b,c为常数，«>0）经过（0,0）,（4,0）

两点.则下列四个结论正确的有一（填写序号）.

①4a+b=0；

②5a+3>2c>0；

3

③若该抛物线y^ax^+bx+c与直线y=-3有交点，则a的取值范围是a>^

④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程加+bx+c-f=0（f为常数，r<0）的根为整数，贝h的值只有

3个.

【答案】①③④

【分析】将（0,0）,（4,0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个

问题.

【详解】将（0,0）,（4,0）代入抛物线表达式，得：

（c=0\c=0

<>解何：］,

16a+4b+c=0b=—4a

二抛物线解析式为y=ax2-4ax.

①匕=Ya,则4〃+。=0,故①正确，符合题意；

②5a+3。+2c=5a+3x（—4a）=—7a,又a>0,

-7a<0,故②错误，不符合题意；

③若该抛物线y=a«2+6x+c与直线y=-3有交点，则有-3=a/一4ax，即一元二次方程ax?-4奴+3=0有

实数根，

则^=16a2-4ax3=a(16a-12)>0,

V«>0,

3

A16^-12>0，解得：，故③正确，符合题意;

4

④如图，

•：一元二次方程a/+&v+c7=0。为常数，Z<0）的根为整数，

一元二次方程可化为a*=0，即抛物线>=小-4依与直线y=f（/为常数，/<0）的交点横

坐标为整数，如图，则横坐标可为0,1.2,3,4,有3个，满足.故④正确，满足题意.

故答案为：①③④

【点睛】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数

形结合思想解题是关键.

知识点、二次函数图象的特征与a,b,c的关系

字母的符号图象的特征

a>0开口向上

a

水0开口向下

b=Q对称轴为y轴

bab>0（3与6同号）对称轴在y轴左侧

aXO（a与6异号）对称轴在y轴右侧

c二0经过原点

cc>0与y轴正半轴相交

c<Q与y轴负半轴相交

b2-4^0=0与X轴有唯一交点（顶点）

k)-4ac片-4ac>0与X轴有两个交点

6_4HC<0与X轴没有交点

常用公式及方法：

（1）二次函数三种表达式:

表达式顶点坐标对称轴

2

(b4ac-bb

一般式y=ax2+〃x+c12-4a)x=------

2a

顶点式y=Q(X-〃J2+k（〃,攵）x=h

2

f4-x2a(x1-x2)X=.+*2

交点式^=a(x-x)(x-x)12，4J

I2'—2

（2）韦达定理：若二次函数y=办2+Ox+c图象与x轴有两个交点且交点坐标为（再，0）和（％,0）,

bc

则用+々=，Xj,%2=一°

aa

（3）赋值法：在二次函数y=依2+/?尤+c中，令x=l,则丁=。+〃+。；令1=—1,则y一〃+c；

令x=2,贝I]y=4a+2Z?+c；令尢=一2,贝I]y=4a-2〃+c；利用图象上对应点的位置来判断含有。、b、

c的关系式的正确性。

吩客盅期缀

【变式1]（2022.辽宁丹东•校考二模）二次函数尸五+法+9、b、。为常数，且"0）的工与》的部分

对应值如下表：（其中〃>1）

有下列结论：①。>0；②4。-26+1>0；③x=-3是关于x的一元二次方程52+。_1卜+。=0的一个根；

④当-34x4〃时，ax2+（h-\）x+c>0.其中正确结论的个数为（）A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根据表中x与y的部分对应值画出抛物线的草图，由开口方向即可判断①，由对称轴x=-i可得

b=2a,代入4a—3+1可判断②，根据直线y=x过点(-3,-3)、(〃,〃)可知直线^=%与抛物线n=凉+辰+。

交于点(-3,-3)、(〃,〃)，即可判断③，根据直线)，=》与抛物线在坐标系中位置可判断④.

【详解】解：根据表中》与〉的部分对应值，画图如下：

由抛物线开口向上，得4>0,故①正确；

抛物线对称轴为x=W=T，即-3=7，

22a

b=2a,

则4。一力+1=4。-4。+1=1>0,故②正确；

一直线y=x过点(-3,-3)、(",“)，

直线y=X与抛物线y=ar2+6x+c交于点(-3,-3)、(〃,〃),

即X=-3和X="是方程ox2+bx+c=x,即以2+(b—])x+c=0的两个实数根，故③正确；

由图象可知当-34x4〃时，直线丫=》位于抛物线丫=苗2+云+。上方，

x>ax2+bx+c>

.-.ar2+(Z?-l)x+c<0,故④错误；

故选：B.

【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与直线交点、一元二次方程的解，根据表中数

据画出二次函数图象的草图是解题的前提，熟练掌握抛物线与直线、抛物线与一元二次方程间的关系是解

题的关键.

【变式2】(2022・四川广安・统考二模)对称轴为直线；1=1的抛物线》=以2+"+以4,b,c为常数，且。/0)

如图所示，小明同学得出了以下结论：①而c<0,②从>4ac,③4a+2Z?+c>0,④3a+c>0,

⑤。+匕4机（4帆+3（机为任意实数），⑥当x<-l时，y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为（）

【答案】A

【分析】由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与了轴的交点判断。的符号，结合对称轴判断①，然

后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况判断②，根据对称性求得》=2时的函数值小于0,判断③；根据户-1

时的函数值，结合6=-2。，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥.

【详解】解：①由图象可知：。>0,c<0,

•••对称轴为直线：x=-^-=\,

2a

：.b=-2a<0,

:.abc>0,故①错误；

②•..抛物线与x轴有两个交点，

b2-4ac>Q-

b2>4ac,故②正确;

③•.•对称轴为直线x=l,则x=0与x=2的函数值相等，

.•.当x=2时，y=4a+2b+c<0,故③错误；

④当时，y=a-b+c=a-（-2a）+c>0,

：.3a+c>0,故④正确：

⑤当x=l时，>取到最小值，此时，y=a+h+c,

而当x=,"时，y=am2+bm+c,

Wr以a+6+c4am2+bm+c>

故a+Ha，/+勿〃，即。+方4加（卬"+匕），故⑤正确,

⑥当x<-l时，），随x的增大而减小，故⑥错误,

综上，正确的是②④⑤共3个，

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数