分式和分式方程复习讲义设计

分式和分式方程专题复习讲义设计（含答案）分式和分式方程专题复习讲义设计（含答案）

分式和分式方程专题复习讲义

中考考点知识梳理：

一、分式

1、分式的概念

AA

一般地，用A、B表示两个整式，A+B就可以表示成合的形式，如果B中含有字母，式子宝就叫做分

式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质

（1）分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

（2）分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法则

acacacadad

—x—=—;—4--=—x—=——;

（!）bdbdbdbcbe

（-）-=竺（〃为整数）；

（2）bbn

aha±b

-±_=----;

⑶ccc

a,cad±bc

一±_=________

（4）bclbd

二、分式方程

1、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母

（2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程

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的根。

3、分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应.用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般

的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

考点典例

一、分式的值

X—2

【例1】当x=时，分式2x+5的值为0.

【答案】2.

【解析】

X—9

试题分析：的值为0,x-2=0且2x+5W0,解得x=2.

ZX十0

考点：分式.

【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件.

【举•一反三】

1.使分式一1有意义的X的取值范围是（）

X-1

A.xWlB.xW-1C.x<lD.x>l

【答案】A.

【解析】

试题分析：・••分式」一有意义，「J-140,解得巧勺.故选A.

x-1

考点：分式有意义的条件.

—]

2.若，分式一丁的值为0,则x=

【答案】1

【解析】

X2-1

试题分析：根据题意可知这是分式方程，一r=0,然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得xT=0,

x+1

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解之得x=l,经检验可知X=1是分式方程的解.

答案为1.

考点：分式方程的解法

考点典例

二、分式的化简

Q2

【例2】化简力一伍+1）的结果是（）

【答案】A.

【解析】

—（C12—1）1

试题分析：原式=——J--=—故选A.

a-1a-i

考点：分式的加减法.

【点睛】观察所给式子，能够发现是异分母的分式减法。利用异分母分式的减法法则计算即可得到结果.

【举一反三】

-_J+3x

1.化简：x?-4x+4+（x-2产h

1

【答案】x.

【解析】

%+3（工一2”1

试题分析:原式二

考点：分式的化简.

5c23b

2.计算：6ab向2=

aL---------------------------

5c

【答案】

2。3

【解析】

5c15c

试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可，即原式=诟左=赤.

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考点：分式的运算.

5c23b

3.计算：6ab312c=.

5c

［答案］2a3.

【解析】

试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可，即原羚土.

2a。22a3

考点：分式的运算.

考点典例

三、分式方程

53八

【例3】方程---=0的解为____________.

x-2x

【答案】x=-3.

【解析】

试题分析：去分母，得：Sr-3（X--2）=0,整理，得：2^6=0,解得：x=-3,经检出户-3是原分式方

程的解，故答案为：A=-3.

考点：解分式方程.

【点睛】先去掉分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方

程，最后检验即可求解。

【举一反三】

1=2

1.方程2xx—3的解是.

【答案】x=-l.

【解析】

试题分析：方程两边同乘以2x（x-3）得，x-3=4x,解得x=T,经检验x=T是原方程的解.

考点：解分式方程.

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%2—12X—12

2.用换元法解方程丁-汴=3时，设丁可，则原方程可化为（）

1414

A.y=—-3=0B.y---3=0C.y--+3=0D.y-—+3=0

yyyy

【答案】B.

【解析】

X2-12x144

试题分析：•••设-------=y，则——-=原方程可转化为：y--=3,即y---3=0.故答案选B.

xX2-12yyy

考点：换元法解分式方程.

考点典例

四、分式方程的应用

【例5】穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距

480km,乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h,

设普通列车的平均行驶速度为xkm/h,依题意，下面所列方程正确的是（）

__4_8_0___4_8_0=4，_4_8_0—__4_8_0__=4，_4_8_0—__4_8_0__=4，__4_8__0_—_4_8_0=4彳

A.x+160xB.xx+160C.xx-1600x-160x

【答案】B.

【解析】

试题分析：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h,则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h,根据题意，可

得：网一48°=4,故选B.

xx+160

考点：由实际问题抽象出分式方程.

【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解

【举一反三】

1.A,B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬

运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等.设B型机器人每小时搬运化工原料•x千克，

根据题意可列方程为（）

1200_8001200_8001200_8001200_800

A.x+40xB.x-40xC.xx-40D.xx+40

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【答案】A.

【解析】

试题分析：设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，则A型机器人每小时搬运化工原料G+40）千克，

由A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，可得方程工出=图,故

x+40x

选A.

考点：由实际问题抽象出分式方程.

2.在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式

成立的是（）

11=11=1cU1cM

—=——5—=—+5—=8x-5—=8x+5

A.3x8xB.3x8xc.3xD.3x

【答案】B.

【解析】

试题分析：根据题意，3X的倒数比8X的倒数大5,故答案选B.

考点：倒数.

课后自测小练习

一.选择题

1.下列运算结果为x-1的是（）

.1X2-1XX+11X2+2工+1

1——''•'+"一，

AxBxx+1Qxx—10x+1

【答案】B.

【解析】

%2—1X2—1

试题分析：选项A,原式二------；选项B,原式二x-1；选项C,原式二------；选项D,原式=x+l,故答案选

XX

B.

考点：分式的计算.

2.下列分式中，最简分式是（）

J-1x+L1-2xy+，F-36

A.-r-E~~~C.------=-----------D-———

22

x+lX--1z-xy2x+12

【答案】A.

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【解析】

x+l

试题分析；选项A为最筒分式；选项B化简可得原式=(什1'—(x-1)~x-1；选项。化简可得原式

选项D化简可得原式，底:；J；："'_x；6,故答案选A.

X(x-y)X2(K+6)2

考点：最简分式.

3.下列计算正确的是()

X2X]

—=7Cy°)'丫?而=2玳y0)

A、」JB、〃

邛+3也=5眄(x0,yo)(f)2=x2/

V\Ux

【答案】D.

【解析】

1

方二刈2叫=2刈3

xyi，错误;选项C,2月3。，由于77与"

试题分析：选项A错误；选项B,

不是同类二次根式，不能进行加减法，错误；选项D、根据基的乘方运算法则就可以得出答案，正确，故答

案选D.

考点：代数式的运算.

4.若关于x的方程+科-=3的解为正数，则m的取值范围是()

x-33-x

993

A.m<—B.m<一且mHC.m>-D.m>一且mW-工

224

【答案】B.

【解析】

—2w4-Q

试题分析：去分母得：xtni-3m=3x-9,整理得；2x=-2m+9,解得；x=-------,已知关于K的方程

产■+=•=3的解为正政，所以-2MS>0,解得m<:，当x=3时，^=3,解得：所

X—JJ-X2▲j，r

93

夙m的取值范围是；5且m*1—.故答案选B.

考点：分式方程的解.

5.某次列车平均提速20km/h,用相同的时间，列车提速行驶400km,提速后比提速前多行驶100km,设提速

立,近如、由由班,小七司士知丁浓的旦,、400_400+1000400_400-100

前列车的干均速度为xkMh,卜列方程正确的TE()A.---=-------B.----------

xx+20xx-20

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c400400+100八400400-100

C.——=--------D.—=--------

xx-20xx+20

【答案】B.

【解析】

试题分析：设提速前列车的平均速度为xkWh,根据题意可得：

400400-100缶、4n

——=--------.故选B.

xx-20

考点：由实际问题抽象出分式方程.

二.填空题

x—1

6.当x=___时，分式~的值为0.

3x+2

【答案】1.

【解析】

试题分析：当x-1=0时，x=l,此时分式上、的值为o.故答案为：1.

考点：分式的值为零的条件.

2

7.方程x——=1的正根为.

x

【答案】x=2.

【解析】

试题分析；去分母得/一2=》，整理得x"-x-2=0,解得一泣=2,X,=1,经检蛤再=2,第=一1都

是分式方程的解，所以原方程的正根为产"故答案为：户"

考点：分式方程的解.

12八

8.分式方程一；+=7=0的解是

X-l%2-1-

【答案】x=-3

【解析】

试题分析：因为x2-l=(x+1)(x-l),所以可确定最简公分母(x+1)(x-l),然后方程两边同乘最简公分母

将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验.

试题解析：方程两边同乘(x+1)(x-1),

得x+1+2=0,

解得x=-3.

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经检验x=-3是分式方程的根.

考点：解分式方程.

X

9.若分式方程一--「=2有增根，则这个增根是—.

x-11-x

【答案】X=l.

【解析】

试题分析：因为分式方程有增根，所以X-1=0,即x=l,故方程的增根为x=l.

故答案是x=l.

考点：分式方程的增根.

10.分式方程二一一-2的解为______.

X-JJ-X

【答案】X=4

【解析】

试题分析：解分式方程，应先去分母，将分式方程茜化为整式方程求解.另外，由于本题是选择题，除了

上面的解法外，还可以将四个选择支中的数分别代入蛉证得以求解.本题作为解答题时，易漏掉验根过程.

在方程两边同乘以3),解得x=4,检验；当x=4时，&-3)卢。,所以，原方程的解是x=4

考点：分式方程的解法.

三、解答题

a-4a+2a-1

22

11：先化简，再求值：a(a-2a-a-4a+4)-其中a/.

【答案】原式=(a-2)z,当aY,原式=(&-2)2=6-4拒

【解析】

试题分析：先把括号内通分化简后把乘除化为乘法，再进行约分，化为最简分式后代入计算即可.

a-4a2-4a2-a

试题解析：原式=a-[a(a_2)2-a(a_2)2]

a-4a-4

=a、(a-2)2

a(a-2)2

=a•a-4-

=(a-2)2,

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:a=E,

.•.原式=（圾-2）2=6-4〉

考点：分式的化简求值.

12.先化简，再求值：&-b（b-a）+b,其中a=2,b=3.

a1

【答案】原式=b,当a=2,b=3时，原式=6.

【解析】

试题分析：先把所给的分式进行化筒后，再代入求值即可.

a产-b]aT1a-1a

试题解析：原式二a-丁abb=b^b-=b,

当a=2>b=却寸,原式=3.

考点：分式的化简求值.

13.先化简，再求值：42—2。+1«-1a,其中a是方程2x2+x-3=°的解

GX=_3a=_3

【答案】原式="1,由2旌+》-3=0,得5=1,22又a-lx。.原式

上」

3110

=2

【解析】

试题分析：先把分式化简后,再解方程确定a的值，最后代入求值即可.

a（a+1）.：2a—（Q—1）-1）Q2

试题解析：原式=（"—1"«（«-1）=（。-1）2«+1=a-1

3

1X———

由2x2+x-3=0,得「，22

3

a=—

又”1x02.

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---=--=-___

3110

———1

原式=2

考点：分式的化简求值；一元二次方程的解法.

Q2-3QCl-3Q+1八_o八

14.先化简，再求值：------------——-,其中。=2016

Q2+。<22-1a~\

【答案】原式="+1=2016+1=2017

【解析】

试题分析：先进行分式的化简后再代入求值即可.

―“al/:-3Il^-Uldr+114+1«,

试题解析；原式二一.....—■——=々+1=2017

a(a+1)a—«?a-!

考点：分式的化简求值.

15.解方程：上一*.=().

x—1x2—1

【答案】x=0.

【解析】

试题分析：观察可得最简公分母是(X-1)(x+1),方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式

方程求解即可.

试题解析：方程的两边同乘(X-1)(x+1),得

3x+3-x-3=0,

解得x=0.

检验：把x=0代入(x-1)(x+l)=-lW0.

...原方程的解为:x=0.

考点：解分式方程.

16.某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进

同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元.

(1)求该商家第一次购进机器人多少个？

(2)若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%(不考虑其它因素)，那么

每个机器人的标价至少是多少元？

【答案】(1)100；(2)1190元.

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【解析】

试题分析；＜1)设该商家第一次购进机器大x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用M000

元第二次购进同款机器人，所购进额量是第一次的2倍，但单价贵了1。元''引肚1方程并解答；

(2)没每个机器人的标价是a元.根据“全部销售完毕的利涧率不低于20%»列出不等式并解答.

试题解析；(1)设该商家第一次购进机器人X个，依题意得；上上+10=闻2,解得铲100.

x2x

经检验户100是所列方程的解，且符合题意.

答；该商家第一次购进机器人1。。个.

(2)设每•个机器人的标价是a元.

则依题意得：《100+200)a-11000-24000^(11000+24000)X20%,解得仑1190.

答：每个机器人的标价至少是119。元.

考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用.

17.我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动.己知学校与君山岛

相距2