高二文科数学寒假讲义第2讲推理与证明教师版

第2讲推理与证明

2.1合情推理与演绎推理

知识点睛

〈教师备案〉本板块共两道例题，例1是合情推理，包括归纳推理与类比推理两种：例2是演绎推理，

涉及到其中的三段论推理与完全归纳推理.

推理：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断.这种思维方式就是推理.

从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提：一部分是由

已知推出的判断，叫做结论.

推理一般分为合情推理与演绎推理.

1.合情推理：前提为真，结论可能为真的推理.

归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.

⑴归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的

推理，叫做归纳推理（简称归纳）.归纳是从特殊到一般的过程.

〈教师备案〉由归纳推理得到的结论是通过猜测得到的，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检

验，因此，它不能作为数学证明的工具.

归纳推理的一般步骤：

第1步通过观察个别情况发现某些相同的性质；

第2步从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.

⑵类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类

事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）.

类比推理的一般步骤：

第1步找出两类事物之间的相似性或一致性；

第2步用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.

〈教师备案〉在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越有关，类比得出

的命题就越可靠.

2.演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理.

演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真.

〈教师备案〉因而演绎推理是数学中严格的证明工具.

几种数学中常用的演绎推理规则：

⑴假言推理：通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真.符号语言：若pnq,P真,则4真;

⑵三段论推理：如果则one.

“三段论”是演绎推理的一般模式；包括：

①大前提——已知的一般原理；（通常是已知的定义、定理、公式等）

②小前提——所研究的特殊情况；（通常是已知条件或前面推理的结论）

③结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断.

⑶传递性关系推理：如果M?b,6Rc,则“Re,其中R表示具有传递性的关系.

⑷完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则.

〈教师备案〉在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理不能用作证明，一道证明题,

往往要综合应用这些演绎推理规则，如果违背了这些规则，那么证明就是错误的.

①归纳是由特殊到一般的推理；

②类比是由特殊到特殊的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理.

从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正

确.不等式证明中的放缩法就属于传递性关系推理；数学归纳法属于完全归纳推理，文科

现在不再学习数学归纳法，.

复式三段论

一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多

次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前

提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论.可以看出我们现在遇到的

证明或推理的过程，基本上都是复式三段论.

经典精讲

考点：合情推理

【例1】(1)己知数列｛〃“｝的通项公式=——--7(〃eN+),记/(〃)=(l-4)(l-a,)…(l-a”)，试通过

(〃+1)

计算/(I),/(2),/(3)的值，推测出/(«)=

⑵观察以下不等式

13

+<

一21

2

211

+-+5

2

21321

一

++铲17

2

可归纳出对大于1的正整数〃成立的一个不等式1+/+(+*</(〃)，则不等式右端

/(〃)的表达式应为

⑶设等差数列｛《,｝的前〃项和为，，则s8-s4,s12-s8,九-几成等差数列.类比以

上结论有：设等比数列｛4｝的前〃项积为7；,则7；,,,/成等比数歹I」.

(4)将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别肃直角三棱锥的

“直角面和斜面”，直角三角形具有性质“两直角边长的平方和等于斜边边长的平方”.仿

照此性质写出直角三棱锥所具有的性质：.

〃+2

【解析】⑴

2(77+1)

11/」，/(1)=-,/(2)=-x-=-=-,/(3)=-x—=-

4=屋。2

9勺164八4936八3168

n+2

推测f(n)=

2(〃+1)

2〃一1

⑵(心2)

n

注意〃=1时不成立.

2

⑶切•

(4)三个直角面的面积的平方和等于斜面的面积的平方：

证明过程如下：

如图，A为三直角顶点，过A作3C的垂线A£\交3C于石，连结DE,则3C_LZ)f.

22222

SMBC=^AB-AC=^BCAE,

22222

S.J=^ABDA,S^AC=^ACDA,

S藐=；BC?.DE2=；BC\AE2+DA2)

=；BC?.AE?+；(AB2+AC2)DA2

=-BC2-AE2+-AB2-DA2+-AC2-AD2,

444

,•S^ABC+^MCl)+SMDB=Ssco,

尖子班学案1

【拓1】⑴从1=/，2+3+4=32,3+4+5+6+7=504+5+6+7+8+9+10=72这四个式子中，得

到的一般性结论是.

⑵下列是关于复数的类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由实数绝对值的性质|x『=V类比得到复数z的性质|z|2=z2；

③已知a,beR,若4一。>0,则a类比得已知z,,z2eC»若4-z2>0,则z1>z2；

④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

其中推理结论无㈣的是

【解析]⑴〃+(“+1)H--F(3n-2)=(2n-l)2.

⑵①④

目标班学案1

【拓2](1)已知数列1」，2」，2,3,1,2,3,3,,则§是该数列的第_____项.

2132143219

(2)已知结论：”在正三角形A8C中，若。是边8c的中点，G是三角形A8C的重心，则

—=2若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若

GD

△2?8的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等“，贝1」丝=()

OM

A.1B.2C.3D.4

【解析】(1)128;

观察分子1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,,

一般的，我们可以看出‘一(〃£1\*)在1,2,3,,2〃那一排的第"项

724-1

它之前总共有：1+2+3.+(2〃-1)+〃=2",

因此§位于数列的第2x8?=128项.

9

⑵C

如图设正四面体的棱长为1,则易知其高AMuXg,

3

此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r,

C

且

与

利用等积法有4x1x1V6V6

4=­X4——=r=——,

33312

立

迈

V6_故AO:OM=亚包=3.

故AO=AM-MO=34

~a~412

考点：演绎推理

【例2】⑴一切奇数都不能被2整除，2K'"fl是奇数，所以2血+1不能被2整除，其演绎推理的“三

段论”的形式为_______.

(2)”三角函数是周期函数；y=tanx,]]是三角函数；所以y=tanx,

是周期函数”.在以上演绎推理中，下列说法正确的是()

A.推理完全正确B.大前提不正确

C.小前提不正确D.推理形式不正确

(3)证明:函数/(x)=d-x3+房一x+1的值恒为正数.

【解析】(1)一切奇数都不能被2整除，大前提

2侬+1是奇数，小前提

所以2Kl0+1不能被2整除.结论

(2)C

小前提：y=tanx,,是三角函数的一部分，而不是完整的正切函数，

所以结论>=1211》,是周期函数错误.

(3)当x<0时，/(x)的各项都为正数,故此时f(x)>0;

当OWxWl时，/(x)=x4+x2(l-x)+(l-x)>0;

当x>l时，/(x)=x3(x-l)+x(^-l)+l>0：

综上知，函数/(X)的值恒为正.

尖子班学案2

【拓1】由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段

论''推理出一个结论，则这个结论是()

A.正方形的对角线相等B.平行四边形的对角线相等

C.正方形是平行四边形D.其它

【解析】A

其中②是大前提；③是小前提.

目标班学案2

【拓2】有一段“三段论“推理是这样的：

对于可导函数f(x),如果/'(Xo)=O,那么x=x。是函数/(x)的极值点，因为函数f(x)=x3在

x=O处的导数值/'(0)=0,所以，x=O是函数,f(x)=x3的极值点.以上推理中()

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确

【解析】A

/'(x。)=。是x=不是函数f(x)的极值点的必要条件，不是充分条件.

[2.2直接证明与间接证明

4

噩知识点睛：

证明：分成直接证明与间接证明.

1.直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性.

常用的直接证明方法有综合法与分析法.

①综合法：从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.是从原因推导到结果的思维方

法；

②分析法：从力证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被

证明的事实.是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法.

2.间接证明：常用的有反证法.

反证法：先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.

常见矛盾：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；与公认的简单

事实矛盾；与原命题中的已知结论矛盾等.

经典精讲

考点：直接证明

【例3】(1)已知帆>0,a,heR,求证：j”吗W.匕痴.

V14-wi)1+m

(2)证明：若〃>0,则加+士一行2a+，-2.

【解析】(1)要证吗?."、麻,而1+加>0

(1+6)\+m

,a2+nrb1+2abm,°

则n<=>---------------W/2+mb：

1+m

<=>6/2+m2b2+2ahmWa?+mb1+mcr+trrb1,

o2abmWmcr+mb2,

oin(a-b)220,

由题目条件已知.

一20.

已知函数〃x)=亚尸(a>0且a/l),证明函数y=/(x)的图象关于点口，-"对称.

【备选】

ax+\[a[22)

【解析】要证明函数/(X)的图象关于点(；，-gj对称，

由于函数/(%)的定义域为R,

则只需证明，

函数图象上任一点(x,y)关于点(；，-£]对称的点(1-x,-l—y)也在函数的图象上,

即t正明=,

由已知得、=—&广，则_]_y=_]n—广=-------~~7=•

ax+4aa"+Jaax+&

、yfa\[a4a-axax

/(]———.———.-——”——,■-,

6/1+\fcia।ci+>[u,ux\[u+QX

/

-l-y=/(l-x).

即函数y=/(x)的图象关于点[g,-£|对称.

【例4】(1)已知。>b>c,且a+/?+c=O,求证：———<V3；

a

(2)求证：a2+b2+3^ah+\/3(«+b)；

【解析】⑴法一：分析法

因为a>b>c,且a+6+c=0,

所以a>0,c<0,要证明原不等式成立，只需t正明d护-ac<ga,

即证。2-以:<3储，从而只需证明(a+c)2-ac<3/,

即(a-c)(2a+c)>0,

因为a—c>0,2a+c=a-{-c+a=a—b>0,

所以(a-c)(2a+c)>0成立，故原不等式成立.

法二：综合法

因为且。+b+c=0,所以a>0,cvO,

\lh2-ac_y/a2+ac+c2_k♦十]丫+3

-a-a~^a+2)+"

匚，门c,个

而一c<b_<[],—ci--b--bl=0n—=—1—b>—2,

aaaaaa

故£e(_2,l),故(£+，]+-<3,从而

a\a2)4a

(2)法一：综合法

,：a2+b2^2ab,a2+3=a2+(>/3)2>2>/3a,从+3=从22村,

将此三式相加得2(后+6+3)22ab+2岛+2回

；./+〃+3》ab+百(a+b).

法二：分析法

要1正“2+b2+3^ab+>/3(a+b),^i£2[a2+b2+3-ab-g(a+6)]、0,

左边可以写成：(a-bp+S-by+S-JJy?0,

此不等式显然成立，且在a=6=6时取到等号，故原不等式得证.

考点：间接证附

【例5】(1)已知非零实数a,b,c成等差数列，且公差求证：！，!，」不可能是等差数列.

ahc

(2)已知实数a,b,3d满足〃+8=c+d=l,,求证a,b,c,d中至少有一个是负数.

【解析】(1)反证法：

若上，,是等差数列，则2=_L+_L,义2b=a+c,

abcbac

Aii.

两式联立消去b得二一二上+上，化简得：(a—c)2=0,故。=°,

a+cac

这与dxO矛盾，故假设不成立，即工，!」不可能是等差数列.

abc

⑵反证法：

假设a,/c,d都是非负实数，Va+b=c+d=1,

：.a,b,c,dE[O,l],，acW疝W",bdW屈W叱,

22

ac+bd<"+'+"+"=],这与已知ac+Ad>l相矛盾，

22

所以原假设不成立，即证得a,b,c,"中至少有一个是负数.

目标班学案3

【拓2】求证：y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=ex2+lax+b(a,A,c是互不相等的实数)，三

条抛物线至少有一条与x轴有两个交点.

【解析】如果三条抛物线都与X轴至多有一个交点，

22

贝I有A=4尸-4ac<0,A2=4C-4ab^：0,A,-4o-4bc0,

三式相加得：2[2a2+»2+2c2—2ac-2ab-2ac]W0,

于是有(a-6)2+S-c)2+(c-a)2WO,

于是a=b=c,与已知矛盾，故三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点.

【例6】已知函数/(x)=a，+土心(”>1),证明函数/(x)的零点非负.

x+\

【解析】方法一：假设存在<0(工0。一1)满足/(工0)=0,

则=-般二2.

%+1

,：a>1,

.•.0<_土工<1,即_l<x<2,

f+120

与假设后<0相矛盾，故函数/(x)的零点非负.

方法二：假设存在X。<0(与丰-1)满足/(x0)=0,

①若一则^^<一2,a*<l,

%+1

/U())<-1.与/(与)=。矛盾•

②若不<-1,则^^>0,a">0,

%+1

/./(x0)>0,与/(玉))=0矛盾，

故函数/(x)的零点非负.

尖子班学案3

【拓1】已知函数f（x）在［1,+00）上单调递增，若对任意天21,/（%）21且/"（%）］=%.求证：

/（x0）=x0.

【解析】若/（%）片/，不妨设/（x。）＞/,

依题意有1,,xo＜/（X（））,由/（X）在［1，+8）上单调递增，可得,即/（%）＜%,

与我们的假设条件矛盾.

同理若/（x0）＜x0也推出矛盾，

所以只能/（%0）=x0

如下推理过程错误在哪？

考虑方程d+x+MO,移项有等式两边同时除以X,有x=-l-L,把上式代入

X

原方程，有x?+［-1-2）+1=0,即x?-1=0,即X3-1=0,也就是x=l,

把x=l带回原方程，得到12+1+1=0,即3=0!!!

【解析】其实，x=l并不是方程d+x+l=O的解.在实数范围内，方程d+x+i=o是没有解

的，但在复数范围内有两个解.

另一方面，x=l只是Y=1的其中一个解.V=1其实一共有三个解，只不过另外两个

解是复数范围内的.考虑方程Y-1=。-1）。2+》+1）=0,容易看出d=i的两个复数解

正好就是£+x+l=O的两个解.因此，x2+x+l=O与％3=1同时成立并无矛盾.

注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释.或许这也说明了引

入复数概念的必要性吧.

Q实战演练

【演练1】由数列1,10,100,1000,，猜测该数列的第“项可能是（）

A.10"B.10"TC.10,,+|D.11"

【解析】B.

【演练2】下列表述正确的是（）.

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理;

③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理;

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.

A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤

【解析】D.

【演练3】用分析法证明后-20＞班-新

【解析】要证明原不等式成立，只需证明通+正〉逐+2夜

即证明（遥+近）＞（石+2应『，即13+2瓦＞13+2廊

8

即证明回>可，即证明42>40,而42>40显然成立,

所以原不等式成立

【演练4】已知△/记（7的三个内角A,8,C成等差数列，求证：—+—=—-—

a+hh+ca+h+c

【解析】要证原式，只要证竺竺£+竺竺£=3,即证」一+―9—=1,

a+bb+ca+bb+c

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