高中数学-【课堂实录】正弦定理（一）教学设计学情分析教材分析课后反思

1.1.1正弦定理第一课时教学设计课题§1．1．1正弦定理（一）课型新授课课时1课时教学目标知识与技能1．了解正弦定理的推导过程；2．掌握正弦定理的内容；3．会用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。过程与方法由特殊到一般，将在以前学习的有关三角形，三角函数，和解直角三角形知识的基础上，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，通过观察，推导，比较，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，归纳出正弦定理；并对其进行基本应用。情感态度与价值观面向全体学生，引导学生从已有的几何知识出发，调动学生的主动性和积极性，通过正弦定理的推导和简单应用，体会生活中的数学，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。重点正弦定理的探索及应用正弦定理解三角形。难点已知两边和其中一边的对角解三角形时解的个数的判定。教学方法启发式、探究式、参与式教学教学过程同学们：工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB长为1m,想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗？情境导入：同学们：工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB长为1m,想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗？CAB设计意图：数学是自然的，是生活中的，通过生活实例，激发学生的兴趣，迅速抓住学生的注意力。一.课前预习扫描1.在中,的对边分别为,则(1)(2)(3)若是最小角，则的取值范围是,若是最大角，则的取值范围是2.在△ABC中，的对边分别为,则(1)(2)∶b∶c＝3.解三角形：一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的__________的过程叫做解三角形。二.正弦定理的发现和证明：【复习导入】直角三角形你知多少？在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。学生回答：如图，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,则A从而在直角三角形ABC中，bcCaB【自主探究1】在锐角△ABC中以上关系式是否仍然成立？学生回答：利用等高如图，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，C同理可得，ba从而AcB【自主探究2】钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？任意三角形中呢？（给学生充足时间探究，然后投影仪展示学生的证明过程，同时由该学生讲解，不足之处教师引导其他学生补充。）证明过程如下：证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90°因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R同理可证其余两个等式成立。证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:归纳得正弦定理内容：设计意图：给学生机会讲解，充分发挥学生的积极性，锻炼学生的语言表达能力，增加学生的自信心。【合作探究1】1．正弦定理对任意三角形都适合吗？2．由方程的思想，用正弦定理解三角形需要多少个已知条件？哪几个？3．正弦定理的基本作用是什么？设计意图：通过合作探究，培养学生的团队精神，培养学生归纳推理的能力，锻炼学生的语言表达能力。【理解定理】（小组代表回答）正弦定理对任意三角形都适合。等价于，，需要知道三个已知条件：任意两角及一边或任意两边与其中一边的对角。①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边与角，如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如三．应用正弦定理解三角形题型一:已知两角及一边解三角形例1：在中,的对边分别为,已知a＝10，B＝60°，C＝45°，求A，b，c.思维突破：已知两角及一边，可直接用正弦定理及三角形内角和定理得到自主解答：A＝180°－(60°＋45°)＝75°，b＝eq\f(a·sinB,sinA)＝eq\f(10×sin60°,sin75°)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(6),4)＋\f(\r(2),4))＝5(3eq\r(2)－eq\r(6))，c＝eq\f(a·sinC,sinA)＝eq\f(10×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝10(eq\r(3)－1)．【德育渗透】请同学说说在上述计算的过程中是如何处理的？学生回答：然后按照三角公式展开。敲定：“会要对”设计意图：通过培养学生严谨的数学思维习惯来提高学生对科学的严谨态度。练习1．在中,的对边分别为,已知A＝30°，B＝45°,b＝，则a＝（）A．3B.1C.2D.正确答案:B【自主探究3】思考:已知两角和任一边，求其它两边和一角,它的解是唯一的吗?答：唯一。（AAS三角形全等）设计意图：提醒学生知识之间的联系和统一，促进新旧知识的融会贯通。题型2已知两边及一边的对角解三角形例2：在中,的对边分别为,已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C和c.思维突破：已知两边及一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．学生自主解答：由正弦定理及已知条件，有eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(\r(2),sin45°)，解得sinA＝eq\f(\r(3),2)，∵a>b，∴A>B.∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).综上可知：当A＝60°时，C＝75°，c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；当A＝120°时，C＝15°，c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).【德育渗透】分析全面，书写规范，过程完美。敲定“对要全，全要美”。设计意图：培养学生全面严谨的思维品质。练习2．在中,的对边分别为,已知b＝6，c＝9，B＝45°，求练习3.在中,的对边分别为,已知则（）A.B=45°或135°B.B=135°C.B=45°D.以上答案都不对解：2.∵sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(9sin45°,6)＝eq\f(3\r(2),4)>1，∴本题无解．3.正确答案：C投影仪展示学生的不同的解题过程，然后提出问题：【合作探究2】哪种解正确呢？为什么例2两解，练习2无解，练习3一解？判断依据是什么？你能归纳一下已知两边及其中一边的对角解三角形的解法步骤及易错点吗？答：已知两边及一边的对角，可运用正弦定理结合三角形内角和定理、三角公式等求解，但要注意解的个数的判定：同一个三角形中大边对大角。设计意图：通过学生观察，比较，分析，讨论，突破难点。培养学生分析问题，解决问题的能力和团队合作的能力。【课堂检测】1．在中,的对边分别为,已知A＝,a＝,B＝30°,则b＝（）A.1B.2C.D.4答案：A2．在中,的对边分别为,且B＝30°,c＝2,b＝2,求A，C和a.解：由正弦定理，得sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq\f(\r(3),2).又∵c>b，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝180°－30°－60°＝90°，a＝eq\f(bsinA,sinB)＝4；当C＝120°时，A＝180°－30°－120°＝30°，a＝eq\f(bsinA,sinB)＝2.综上可知，当A＝90°时，C＝60°，a＝4；当A＝30°时，C＝120°，a＝2.【课堂小结与感悟】（由学生归纳总结）1.知识上（1）正弦定理的推导过程（2）定理的表示形式：2R（3）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。（其中易错点是解的个数的判断）2.能力和情感态度方面：会要对，对要全，全要美【作业设置】课本第4页练习题1,2【板书设计】正弦定理（一）定理内容例22.应用：（1）（2）3.小结：1.1.1正弦定理第一课时学情分析本班学生是高二普通班，学生数学基础比较薄弱。初中学习过三角形的边和角的基本关系；判定三角形的全等；解直角三角形。高一学过三角函数及三角恒等变形。学生对本节知识做了预习。主要回顾了旧知识（与三角形有关的），了解了本节将要学习的知识。根据学生已有知识和学习能力，学生应该会在锐角三角形和钝角三角形中证明正弦定理。1.1.1正弦定理第一课时效果分析本节课实现了“三维”教学目标的有机统一，教学目标可观测，可评价；教师能根据教学过程中的新情况、新变化，生成新的教学目标，及时解决学生遇到的新问题。教学目标达成度高。本节课做到了面向全体，鼓励学生大胆猜想，积极探索，教师及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，突出了重点，突破了难点，增强了学生由特殊到一般的数学思维能力，增强了锲而不舍的探索精神，形成了严谨的科学态度。1.1.1正弦定理第一课时教材分析本节是人教A版必修五第一章《解三角形》第一节的内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系；与判定三角形的全等也有密切联系；在日常生活和工业生产中时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系；在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理的知识非常重要。根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：（一）知识与技能目标：1．了解正弦定理的推导过程；2．掌握正弦定理的内容；3．会用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。（二）过程与方法目标：由特殊到一般，将在以前学习的有关三角形，三角函数，和解直角三角形知识的基础上，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，通过观察，推导，比较，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，归纳出正弦定理；并对其进行基本应用。情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。（三）情感态度与价值观目标：面向全体学生，引导学生从已有的几何知识出发，调动学生的主动性和积极性，通过正弦定理的推导和简单应用，体会生活中的数学，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。教学重点：正弦定理的探索及应用正弦定理解三角形。教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时解的个数的判定。1.1.1正弦定理第一课时评测练习1.在△ABC中,已知下列条件,解三角形.(1)A=45°,C=30°,c=10cm(2)A=60°,B=45°,c=20cm2.在△ABC中,已知下列条件,解三角形.(1)a=20cm,b=11cm,B=30°(2)c=54cm,b=39cm,C=115°3.在△ABC中,已知A=45°,a=2，，求B答案：B=30°4.在△ABC中,已知A=60°,a=4，，求B答案：无解1.1.1正弦定理第一课时课后反思从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，推导出了正弦定理。我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，遵照学生的认识规律，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程中我们掌握了研究问题的一般方法。注重学生的主体地位，采用探究式课堂教学模式调动