自动控制理论chapt

第七章离散系统分析与校正本科生专业课程主讲：张英杰第七章

线性离散系统分析与校正第五节 离散系统的稳定性与稳态误差在采样系统的稳定性分析中，可以从s平面和z平面之间的关系中，找出分析采样控制系统稳定性的方法。一、z平面内的稳定条件二、z平面和s平面的关系三、劳斯稳定判据四、稳态误差一、z平面和s平面的关系第五节

离散系统的稳定性与稳态误差z变量和s变量的关系为:

z=eTs其中s是复变量:

S=σ+jωz=eTs=eTσejωT

=

z

ejθ

︱z︱=eTσ︱︱θ=ωTZ平面和S平面的对应关系：系统稳定

临界稳定

系统不稳定σ<0σ=0σ>0︱z︱<1︱z︱=1︱z︱>10σ稳定区s平面和z平面的稳定域jω

ImS平面Rez平面稳定区0第五节

离散系统的稳定性与稳态误差二、z平面内的稳定条件采样系统稳定的条件：闭环脉冲传递函数的极点均位于z平面上以原点为圆心的单位圆内。即︱zi︱<1若闭环脉冲传递函数有位于单位圆外的极点，则闭环系统是不稳定的。例

采样控制系统的结构如图所示。试判断系统的稳定性。G(s)=

1

r(t)

e(t)

c(t)S(S+4)

R(s)

–

T

G(s)

C(s)T=0.25

s1

1

1

1解：

G(z)=Z[

S(S+4)]

=Z[

4

(

S

-

S+4

)]1

(

z

-

z

)

(1-e-4T)z/4=

4

z-1

z-e-4T

=

(z-1)(1-e-4T)G(z) (1-e-4T)z/4Φ(z)=

1+G(z)

=

(z-1)(1-e-4T)+(1-e-4T)z/4特征方程式为(z-1)(1-e-4T)+

1

(1-e-4T)z=0即4z2-1.21z+0.368=0z1,2=0.605±j0.044441︱z1︱=︱z2︱<1所以系统是稳定的。因为第五节

离散系统的稳定性与稳态误差三、劳斯稳定判据劳斯判据是判断线性连续系统是否

稳定的一种简捷的方法。在采样系统中，由于稳定的边界是单位圆而不是虚轴，

所以不能直接引用劳斯判据，必须把Z平面上的单位圆内部映射为另一W左半平

面，单位圆的外部映射为W右半平面，然后再应用劳斯判据。第五节

离散系统的稳定性与稳态误差根据复变函数双线性变换公式:令

z=w+1

或

w=

z+1w-1

z-1设

z=x+jy

w=u+jv(x2+y2)-1

-j

2yw=

(x-1)2+y2

(x-1)2+y2

=u+jv可得：W平面内

u=0u<0u>0Z平面内︱z︱=x2+y2

=1︱z︱=x2+y2

<1︱z︱=x2+y2

>1将Z平面上的特征方程式经过Z→W变换，就可应用劳斯判据判别系统的稳定性。第五节

离散系统的稳定性与稳态误差例

已知采样控制系统闭环特征方程式D(z)=45z3-117z2+119z-39=0试判断系统的稳定性。解：将Z→W变换代入特征方程式：45(

w+1

3

w+1

2

w+1w-1)-117(

w-1

)

+119(

w-1

)-39=045(w+1)3-117(w+1)2(w-1)+119(w+1)(w-1)2-39(w-1)3=0经整理得w3+2w2+2w+40=0列劳斯表w3w2w1w01

22

40-18

040

0有二个根在w右半平面,即有两个根在Z

平面上的单位圆外，故系统为不稳定。第五节

离散系统的稳定性与稳态误差四 稳态误差的分析稳态误差是分析和设计控制系统的一个重要性能指标，通过对连续系统的分析可知，系统的稳态误差与输入信号的大小和形式、系统的型别以及开环增益有关。这一结论同样也适用于采样系统。第五节

离散系统的稳定性与稳态误差单位反馈采样系统的结构图

c*(t)r(t)

e(t)

e*(t)

T

C(z)-

T

E(z)

G(s)

c(t)E(z)=R(z)-C(z)=

R(z)1+G(z)闭环稳定的采样控制系统，由终值定理可求得其稳态误差。R(z)e*(∞)=lim(z-1)E(z)=lim(z-1)

1+G(z)z→1

z→1采样系统的稳态误差既与输入R(z)有关，又与系统的开环脉冲传递函数及T有关。KrΠ(z-zi)系统开环脉冲传递函数一般表达式：mG(z)=

i=1

n-vv(z-1)

Π(z-pj)j=1下面分别讨论不同输入时系统的稳态误差第五节

离散系统的稳定性与稳态误差1、单位阶跃输入时系统的稳态误差z设系统的输入为

R(z)=

z-11

z

=

1e*(∞)=lim(z-1)

1+G(z)

·

z-1

1+limG(z)z→1

z→1定义系统的静态位置误差系数：Kp=limG(z)z→11+Kp则有

e*(∞)=

1

根据系统开环脉冲传递函数不同，分几种情况讨论。

KrΠ(z-zi)mlim

n

i=1(1)

v=0

Kp=z→1

Π(z-p)

=常数j1

j=1e*(∞)=

1+KpmKrΠ(z-zi)(2)

v=1

Kp=lim

i=1n-1

=∞z→1

(z-1)Π(z-pj)j=1e*(∞)=0e*(∞)=0(3)

v=2KrΠ(z-zi)mz→1

(z-1)2Π(z-pj)j=1n-2Kp=

lim

i=1

=∞第五节

离散系统的稳定性与稳态误差2、单位斜坡输入时系统的稳态误差设系统的输入为

R(z)=

Tz(z-1)21

Tz

1e*(∞)=lim(z-1)

1+G(z)

·

=z→1

(z-1)2

1

lim(z-1)G(z)Tz→1定义系统的静态速度误差系数：则有Kve*(∞)=

Tz→1Kv=

lim(z-1)G(z)下面按系统开环脉冲传递函数分成几种情况讨论。

m(z-1)KrΠ(z-zi)(1)

v=0

K

=

lim

i=1

=0v

nz→1

Π(z-pj)j=1e*(∞)=∞(2)

v=1

K

Π(z-z

)mr

i=1

iKv=lim

(z-1)

n-1

=常数z→1

(z-1)Π(z-pj)j=1Te*(∞)=

Kve*(∞)=0(3)

v=2z→1Kv=

limKrΠ(z-zi)m2(z-1)

Π(jz-p

)j=1n-2(z-1)

i=1

=∞第五节

离散系统的稳定性与稳态误差3、单位加速度输入时系统的稳态误差=

1

1T2

lim(z-1)2G(z)z→1R(z)=

T2z(z+1)2(z-1)31

T2z(z+1)e*(∞)=lim(z-1)

1+G(z)

·z→1

2(z-1)3定义系统的静态加速度误差系数：e*(∞)=T2Ka(1)

v=0

mKrΠ(z-zi)K

=

lim(z-1)2

i=1

=0

e*(∞)=∞a

nz→1

Π(z-pj)j=1z→1aK

=

lim(z-1)2G(z)(2)

v=1

K

Π(z-z

)mlim

2

r

i=1

iKa=

z→1

(z-1)

n-1

=0

e*(∞)=∞(z-1)Π(z-pj)j=1(3)

v=2=常数e*(∞)=z→1T2KaKrΠ(z-zi)m(z-1)

Π(z-pj)j=12

n-2Ka=

lim(z-1)2

i=1

第五节

离散系统的稳定性与稳态误差不同型别单位反馈离散系统的稳态误差系统型别位置误差r(t

)

=

1(t

)速度误差r(t

)

=

t加速度误差r(t

)

=

1

t

220型

1

1+

K

p¥¥I型0TKv¥II型00T

2KaIII型000第五节

离散系统的稳定性与稳态误差C(z)c(t)r(t)

e(t)–e*(t)E(z)例：设某闭环离散系统结构图如图所示，已知采样周期T为0.1(s)，当输入r(t)=1(t)和t时，求离散系统相应的稳态误差。c*(t)

1

s(0.1s+1)解：10G(z)

=

Z[G(s)]

=

Z[ ]

=s(s

+

10)