专题导数文科课件

新课标高考的考查：注意基本概念、基本性质、基本公式的考查及简单的应用；高考中本单元的题目一般为选择题、填空题，属于中低档题；而在解答题中的考查却有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等.平均变化率的定义:函数y=f(x)从到的平均变化率是说明：(1)平均变化率就是运动物体的平均速度(2)割线AB的斜率，其中A(x1，y1)，B(x2,y2)导数定义:函数y=f(x)在x=

x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=

x0处的导数,记作或,即说明：(1)导数即瞬时变化率，(2)导数的物理意义是运动物体的瞬时速度基本初等函数的导数公式:常函数幂函数三角函数指数函数对数函数导数的运算法则中，坐标为整数的点的个数是()DA．3B．2C．1D．02．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()AA．a＝1，b＝1C．a＝1，b＝－1B．a＝－1，b＝1D．a＝－1，b＝－1f(x0＋2Δx)－f(x0)

3Δx)B3．若lim

△x®0

2A. 3＝1，则f′(x0)等于(

3

B.

2C．3D．2x＋y－2＝04．曲线y＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为___________.答案：A2．(2010·江西高考)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝ (

)A．－1B．－2C．2D．0解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.答案：Bμ′(x)±v′(x)μ′(x)v(x)＋μ(x)v′(x)3．函数的单调性与导数的关系在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．4．函数的单调性与极值的关系一般地，对于函数y＝f(x)，且在点a处有f′(a)＝0.(1)若在x＝a附近的左侧导数

，右侧导数

，则

f(a)为函数y＝f(x)的极小值．(2)若在x＝a附近的左侧导数

，右侧导数

，则

f(a)为函数y＝f(x)的极大值．小于0大于0大于0小于0考点1导数概念例1：若f′(x0)＝－3，则lim

△x®0f(x0＋h)－f(x0－h)

h等于()A．－3C．－9B．－6D．－12【互动探究】等于()f(x0－Δx)－f(x0)

Δx

1．设函数f(x)在x0

处可导，则lim

△x®0A．f′(x0) B．－f′(x0)C．f(x0) D．－f(x0)Bf[x0＋(－Δx)]－f(x0)解析：lim

△x®0f(x0－Δx)－f(x0)

Δx＝－lim

△x®0(－Δx)＝－f′(x0)，故选B.考点2曲线的几何意义

例2：如图4－1－1，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.

图4－1－1

解题思路：区分过曲线P处的切线与过P点的切线的不同，后者的P

点不一定在曲线上．

解析：观察图4－1－1，设P(5，f(5))， 过P点的切线方程为

y－f(5)＝f′(5)(x－5)， 即y＝f′(5)x＋f(5)－5f′(5)，它与y＝－x＋5重合， 比较系数知：f′(5)＝－1，f(5)＝3，故f(5)＋f′(5)＝2.

求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是， 可以直接采用求导数的方法求；若不是则需设出切点坐标．[思路点拨]

(1)验证点P在曲线上，求导后，把P点坐标代入便得斜率，(2)设出切点坐标，找等式求坐标．(3)求曲线过点P(1,0)的切线方程．(3)求曲线过点P(1,0)的切线方程．求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)在已知切点坐标P(x0，f(x0))和切线斜率的条件下，求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．注意：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．［小结：］[例2]已知x＝3是函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－10x的一个极值点．(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间．[思路点拨]

(1)由f′(3)＝0求a的值，(2)利用导数求函数单调性．求可导函数的单调区间的一般步骤：(1)确定定义域区间；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，得函数的递增区间；解不等式f′(x)<0，得函数的递减区间．注意：当一个函数的递增或递减区间有多个时，不能盲目将它们取并集．［小结：］1.利用导数研究函数的极值的一般步骤：(1)确定定义域．(2)求导数f′(x)．(3)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根左右函数值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论)②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．[例3]设函数f(x)＝lnx－px＋1.(1)求函数f(x)的极值点；(2)当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围；[例3]设函数f(x)＝lnx－px＋1.(1)求函数f(x)的极值点；(2)当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围；在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．[例4]某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．(1)若该集团将当年的广告费控制在300万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？[自主解答]

(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加收益为f(t)(百万元)，则f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．∴当t＝2时，f(t)max＝4.即当集团投入200万元广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大．[例4]某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约－t2