知识点31平行四边形

一、选择题1.（2019广西河池，T7，F3分）如图，在中，，分别是，的中点，点在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是A． B． C． D．【答案】．【解析】解：在中，，分别是，的中点，是的中位线，．、根据不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．、根据可以判定，即，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形为平行四边形，故本选项正确．、根据不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．、根据，不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．故选：．【知识点】平行四边形的判定；三角形中位线定理2.(2019海南,11题,3分)如图,在ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,若∠B＝60°,AB＝3,则△ADE的周长为() B.15 C.18 D.21第11题图【答案】C【解析】∵折叠后点D恰好落在DC的延长线上的点E处,∴AC⊥DE,EC＝CD＝AB＝3,∴ED＝6,∵∠B＝60°,∴∠D＝60°,∴AD＝2CD＝6,∴AE＝6,∴△ADE的周长＝AE+AD+ED＝18,故选C.【知识点】折叠,三角函数,平行四边形3.（2019年广西柳州市，7，3分）如图，ABCD中，全等三角形的对数共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC；OD=OB，OA=OC；∵OD=OB，OA=OC，∠AOD=∠BOC；∴△AOD≌△COB（SAS）；①同理可得出△AOB≌△COD（SAS）；②∵BC=AD，CD=AB，BD=BD；

∴△ABD≌△CDB（SSS）；③同理可得：△ACD≌△CAB（SSS）．④因此本题共有4对全等三角形．故选：C．【知识点】平行四边形的性质；全等三角形的判定4.（2019四川泸州，8，3分）四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD【答案】B【解析】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；故选：B．【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1.（2019广西北部湾，18，3分）如图，AB与CD相交于点O，AB=CD，∠AOC=60°，∠ACD+∠ABD=210°，则线段AB、AC、BD之间的等量关系为.【答案】AB2=AC2+BD2．【思路分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、四边形内角和等知识，过点A作AE∥CD，截取AE=CD，连接BE、DE，则四边形ACDE是平行四边形，得出DE=AC，∠ACD=∠AED，证明△ABE为等边三角形得出BE=AB，求得∠BDE=360°-（∠AED+∠ABD）-∠EAB=90°，由勾股定理得出BE2=DE2+BD2，即可得出结果．【解题过程】解：过点A作AE∥CD，截取AE=CD，连接BE、DE，如图所示：

则四边形ACDE是平行四边形，

∴DE=AC，∠ACD=∠AED，

∵∠AOC=60°，AB=CD，

∴∠EAB=60°，CD=AE=AB，

∴△ABE为等边三角形，

∴BE=AB，

∵∠ACD+∠ABD=210°，

∴∠AED+∠ABD=210°，

∴∠BDE=360°-（∠AED+∠ABD）-∠EAB=360°-210°-60°=90°，

∴BE2=DE2+BD2，

∴AB2=AC2+BD2；

故答案为AB2=AC2+BD2．【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行线的性质；四边形内角和.2.（2019黑龙江省龙东地区，3，3）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________，使四边形ABCD是平行四边形．【答案】答案不唯一，AD∥BC或AB=CD或∠A+∠B=180°等.【解析】根据平行四边形的判定方法填上一个合适的条件即可.【知识点】平行四边形的判定方法3.（2019广西梧州，16，3分）如图，中，，于点，于点，与交于点，则度．【答案】61【解析】解：四边形是平行四边形，，，，，，则，，，．故答案为：61．【知识点】平行四边形的性质4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1.（2019湖南郴州，19，6分）如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．【思路分析】利用平行四边形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；【解题过程】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE（ASA），∴CD＝FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质2.（2019年广西柳州市，22，8分）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：【思路分析】连接AC，由SSS证明△ABC≌△CDA得出∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，证出AB∥CD，BC∥AD，即可得出结论．【解题过程】连接AC，如图所示：在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．【知识点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质3.（2019吉林省，18，5分）如图，在ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE，DF求证：△ABE≌△CDF【思路分析】由作图可知，AE=CF，有平行四边形的性质可知对边相等，对角相等，由SAS可以证明两个三角形全等.【解题过程】解：由题意得AE=FC∵ABCD，∴AB=DC，∠A=∠C在△ABE和△CDF中，AE=CF,∠A=∠C,AB=DC，∴△ABE≌△CDF【知识点】平行四边形的性质，三角形的全等4.（2019·江苏常州，21，8）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在处，与AD相交于点E．（1）连接，则与BD的位置关系是_________；（2）EB与ED相等吗?证明你的结论．第第21题图【思路分析】本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点，连接，从图形上容易看出并证明四边形是等腰梯形，故∥BD．由折叠（轴对称性质）及平行四边形的性质、等角对等边可证明EB＝ED．第第21题答图【解题过程】解：（1）∥BD；（2）EB＝ED．理由如下：由折叠可知∠CBD＝∠EBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CBD＝∠EDB．∴∠EBD＝∠EDB．∴EB＝ED．【知识点】折叠；平行四边形的性质；平行线的判定；等腰三角形的判定5.（2019·江苏镇江，20，6）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．第第20题图【思路分析】本题考查了三角形的全等的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形判定的方法和平行四边形的判定和性质．（1）利用角角边进行证明；（2）连接CG、AC、AH，通过证明四边形AHCG为平行四边形来证明AC、HG互相平分．【解题过程】（1）∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE．∴∠AEG＝∠CFH．∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠AGE＝∠CHF＝90°．又∵AE＝CF，∴△AGE≌△CHF（AAS）．（2）线段GH与AC互相平分，理由如下：如答图，连接CG、AC、AH．第第20题答图∵△AGE≌△CHF，∴AG＝CH．∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴AG∥CH．∴四边形AHCG是平行四边形．∴AC、HG互相平分．【知识点】三角形的全等的判定；平行四边形的判定和性质6.（2019辽宁本溪，21，12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B=45°，延长CD到点E，使DE=DA，连接AE.（1）求证：AE=BC；（2）若AB=3，CD=1，求四边形ABCE的面积.【思路分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质以及面积计算.（1）根据AD⊥CD，AB∥CD以及AD=DE可得∠DAE=45°，进而得出AE∥BC，进而得出四边形ABCE是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论；（2）由（1）可得AB=CE，进而得出DE的长，进而得出AD的长，根据平行四边形的面积计算公式即可得出答案.【解题过程】（1）证明：∵AD⊥CD，AB∥CD，∴∠ADE=∠DAB=90°.∵AD=DE，∴∠E=∠DAE=45°，∴∠EAB=135°.∵∠B=45°，∴∠B+∠EAB=180°，∴AE∥BC，∴四边形ABCE是平行四边形，∴AE=BC.（2）解：由（1）知AB=CE，∵CD=1，AB=3，∴DE=2.∵AD=DE，∴AD=2，∴S四边形ABCE=3×2=6.【知识点】平行四边形的判定与性质；面积计算.7.（2019辽宁本溪，25，12分）在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA=DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线.（1）如图a，连接OC请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系；（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转的射线ON，使∠MON=∠ADB，ON与射线CA交于点N.①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；②若∠BAC=30°，BC=m，当∠AON=15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）【思路分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识.结论：∠ECO=∠OAC．理由直角三角形斜边中线定理，三角形的中位线定理解决问题即可．

（2）①只要证明△COM≌△AON（ASA），即可解决问题．

②分两种情形：如图3-1中，当点N在CA的延长线上时，如图3-2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．分别求解即可解决问题．【解题过程】解：（1）结论：∠ECO=∠OAC．

理由：如图1中，连接OE．

∵∠BCD=90°，BE=ED，BO=OA，

∵CE=ED=EB=BD，CO=OA=OB，

∴∠OCA=∠A，

∵BE=ED，BO=OA，

∴OE∥AD，OE=AD，

∴CE=EO．

∴∠EOC=∠OCA=∠ECO，

∴∠ECO=∠OAC．

故答案为：∠OCE=∠OAC．

（2）如图2中，

∵OC=OA，DA=DB，

∴∠A=∠OCA=∠ABD，

∴∠COA=∠ADB，

∵∠MON=∠ADB，

∴∠AOC=∠MON，

∴∠COM=∠AON，

∵∠ECO=∠OAC，

∴∠MCO=∠NAO，

∵OC=OA，

∴△COM≌△AON（ASA），

∴OM=ON．

②如图3-1中，当点N在CA的延长线上时，

∵∠CAB=30°=∠OAN+∠ANO，∠AON=15°，

∴∠AON=∠ANO=15°，

∴OA=AN=m，

∵△OCM≌△OAN，

∴CM=AN=m，

在Rt△BCD中，∵BC=m，∠CDB=60°，

∴BD=m，

∵BE=ED，

∴CE=BD=m，

∴EM=CM+CE=m+m．

如图3-2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．

∵∠AON=15°，∠CAB=30°，

∴∠ONH=15°+30°=45°，

∴OH=HN=m，

∵AH=m，

∴CM=AN=m-m，

∵EC=m，

∴EM=EC-CM=m-(m-m)=m-m，

综上所述，满足条件的EM的值为m+m或m-m.【知识点】直角三角形斜边中线定理；三角形中位线定理；全等三角形的判定和性质；解直角三角形.8.（2019江苏常州，21，8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【思路分析】（1）根据AD＝C'B，ED＝EB，即可得到AE＝C'E，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'＝∠EC'A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC'∥BD；（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝DE．【解题过程】解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）9.（2019江苏镇江，20，6分）如图，四边形中，，点、分别在、上，，过点、分别作的垂线，垂足为、．（1）求证：；（2）连接，线段与是否互相平分？请说明理由．【思路分析】（1）由垂线的性质得出，，由平行线的性质和对顶角相等得出，由即可得出；（2）连接、，由全等三角形的性质得出，证出四边形是平行四边形，即可得出结论．【解题过程】解：（1）证明：，，，，，，，，，在和中，，；（2）解：线段与互相平分，理由如下：连接、，如图所示：由（1）得：，，，四边形是平行四边形，线段与互相平分．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行线的性质10.（2019内蒙古赤峰，20，10分）已知：AC是▱ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．【思路分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线得到E点；（2）利用平行四边形的性质得到AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，再根据线段垂直平分线上的性质得到EA＝EC，然后利用等线段代换计算△DCE的周长．【解题过程】解：（1）如图，CE为所作；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∵点E在线段AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴△DCE