有理数的加法与减法

2.5有理数的加法与减法【推本溯源】1.小学里，我们学过加法和减法运算，引进负数后，怎样进行有理数的加法与减法运算呢？2.有理数加法法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3)一个数与0相加，仍得这个数．利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．小试牛刀：（-180）+（+20）-160（2）（-15）+（-3）-18（3）（+10）+（-1）9（4）（+105）+（101）2063.加法的交换律和结合律，在有理数范围内仍适用.加法的交换律：a+b=b+a加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)小试牛刀：【8+（-5）】+（-4）-1（2）【（-22）+（-27）】+（+27）-22有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数．a-b=a+(-b)注意：减号变为加号；减数变为它的相反数.小试牛刀：（1）15-（-7）22（2）（-8.5）-（-1.5）-7（3）6-（4-9）-|-4|7（4）（-3）-（-1.5）-（-4.5）-（+6）-35.根据有理数减法的法则，一切加法和减法的运算，都可以统一成加法运算．有理数加减混合运算可以看成有理数的加法的运算，其中负数前面的加号省略.小试牛刀：-26+43-24+13-46-40（2）9-5-23-19（3）（+17）-（-32）-（+23）26（4）5.4-2.3+1.5-4.2【解惑】例1：（2023·全国·九年级专题练习）计算：(1)．(2)．【答案】(1)1(2)10【分析】（1）根据有理数的加法法则，从左到右依次进行计算即可；（2）利用加法结合律进行简算．【详解】（1）原式；（2）原式．【点睛】本题考查有理数的加法．熟练掌握有理数的加法法则：“同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值大的符号，再用大绝对值减去小绝对值．”是解题的关键．例2：（2022秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）计算时运算律用得恰当的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用加法的运算律，将分母相同的数分别结合在一起，然后再进行计算即可．【详解】解：故选：A．【点睛】本题考查有理数的加减运算，合理运用运算律是解题的关键．例3：（2022秋·贵州黔南·七年级统考期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．示例：计算：．解：原式以上解题方法叫做拆项法．请你利用拆项法计算下面式子的值．【答案】【分析】利用题目提供的方法计算即可．【详解】解：【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键．例4：（2022秋·河北沧州·七年级统考期中）如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A站，东至站，途中共设12个上下车站点．某天，小明参加该路线上的志愿者服务活动，从站出发，最后在某站结束服务活动．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，，，．(1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？【答案】(1)站(2)这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是90千米【分析】（1）设站为原点，然后列式计算得出，即可得出结果；（2）根据题意列式计算即可．【详解】（1）解：设站为原点，如图所示：，∴表示原点右侧第二个站，即站．（2）解：，（千米）．答：这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是90千米．【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算的运用，解题的关键是根据题意列出算式．【摩拳擦掌】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）把写成省略括号的和是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用有理数的减法法则将加减法统一成加法后省略括号即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用有理数的减法法则将加减法统一成加法是解题的关键．2．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）若“”的值为负数，则“□”不可能是（

）A．－1 B．0 C． D．3【答案】D【分析】根据有理数的加法运算法则逐项求解即可．【详解】解：A、当“□”为时，，故A选项不符合题意；B、当“□”为0时，，故B选项不符合题意；C、当“□”为时，，故C选项不符合题意；D、当“□”为3时，，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则．3．（2023·云南临沧·统考一模）某水库4月份的最高水位超过标准水位，记为，最低水位低于标准水位，记为，则4月份该水库的水位差是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】用最高水位减去最低水位，即可求解．【详解】解：水位差，即4月份该水库的水位差是．故选：A．【点睛】本题主要考查了有理数的减法的实际应用，解题的关键是掌握：减去一个数等于加上它的相反数．4．（2022秋·江苏扬州·七年级校考期末）计算的结果为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数可得答案．【详解】解：；故选D．【点睛】本题考查的是有理数的减法运算，掌握有理数的减法运算法则是解本题的关键．5．（2023·天津和平·统考二模）计算的结果等于（

）A． B．1 C． D．5【答案】A【分析】根据有理数的减法运算法则即可解答．【详解】解：，故选：．【点睛】本题考查了有理数的减法运算法则，掌握对应法则是解题的关键．6．（2022秋·江西宜春·七年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据有理数加减运算法则直接求解即可得到答案；（2）根据有理数加减运算法则直接求解即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解决问题的关键．7出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次(1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司的哪个方向上？距离公司多少千米？(2)在第_________次记录时快递小哥距公司地最远；(3)如果每千米耗油升，每升汽油需元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？【答案】(1)最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司的西边，距离公司3千米(2)五(3)快递小哥工作一天需要花汽油费元【分析】(1)利用有理数的加减法，求七个数的和，得出的数是正数，表示在公司东，是负数，就在公司西；（2)从第一个数开始，绝对值最大的就是最远距离；(3)首先算出走过的路，即各数的绝对值的和，乘以每千米耗油量，再乘以单价即可．【详解】（1）（千米），答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司的西边，距离公司3千米；（2）（千米）（千米），（千米），（千米），（千米），（千米），（千米），第五次快递小哥距公司最远．故答案为：五；（3）（千米），（升），（元），答：快递小哥工作一天需要花汽油费元．【点睛】本题考查的是绝对值的性质，有理数的加减和乘法，大小比较等知识，关键就是要求学生对有理数相关知识的要熟练掌握．8．（2022秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)0【分析】（1）先化简绝对值，再计算减法，即可求解；（2）直接根据有理数的减法法则计算，即可求解．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解答此题的关键．9．（2023·全国·九年级专题练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先把同号的两数先加，再按照绝对值不相等的异号两数相加的法则进行运算即可；（2）把和为整数的两个数先加，再通分，再按照绝对值不相等的异号两数相加的法则进行运算即可．【详解】（1）解：；（2）【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，有理数的加法运算律的应用，掌握“有理数的加法运算法则”是解本题的关键．10．（2023·全国·九年级专题练习）【答案】4【分析】根据有理数的加法法则计算即可．【详解】．【点睛】本题考查有理数的加法法则，同分母的进行结合是解题的关键．11．（2022秋·河南濮阳·七年级统考阶段练习）在一个的方格中填写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．(1)在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；(2)图2的方格中填写了一些数和字母，要使它能构成一个三阶幻方，求，的值，并将空格补充完整．【答案】(1)见解析；(2)，，空格补充见解析．【分析】（1）根据三个数的和为，依次列式计算即可求解；（2）先求出下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到、的值．【详解】（1）解：，，，，，如图1所示：（2）解：，．如图2所示：【点睛】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键．12．（2023秋·陕西榆林·七年级统考期末）若的绝对值为5，的绝对值为9，且，求的值．【答案】或6【分析】根据绝对值的意义分别求出的值，然后根据确定出其范围，即可得出答案．【详解】解：∵的绝对值为5，的绝对值为9，∴，，解得或，∵，∴或时，，∴，或，即的值为或6．【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算等知识点，熟练掌握绝对值的意义以及有理数的加减运算法则是解本题的关键．【知不足】1．（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）把写成省略括号的和的形式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据有理数的减法法则即可得到原式．【详解】解：原式，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数加、减法运算法则．解题的关键是熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数．2．（2020秋·吉林长春·七年级校考期中）定义运算，则的结果为（

）．A． B． C． D．3【答案】C【分析】先求出，再根据所给新定义即可得到答案．【详解】解：∵，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了有理数的减法，有理数比较大小，正确理解题意是解题的关键．3．（2023·天津东丽·统考一模）计算的值是（

）A． B．0 C．16 D．64【答案】A【分析】根据有理数的减法法则计算即可．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数轴上的位置确定a，b的正负和绝对值的大小，再根据有理数运算法则逐项判断即可．【详解】解：有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，所以，，；故，；观察四个选项，只有选项D正确，故选：D．【点睛】本题考查了数轴和有理数运算法则，解题关键是根据数轴确定a，b的正负和绝对值的大小，并熟练运用有理数运算法则进行判断．5．（2023秋·重庆秀山·七年级统考期末）把统一为加法运算，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】把减法转化为加法即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查了减法转化为加法，解题的关键是掌握减去一个数等于加上这个数的相反数．6．（2022秋·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）将中的减法改成加法，并写成省略加号和括号的形式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把减法统一到加法上后，省略加号即可．【详解】解：∵，∴省略加号和括号后的形式为，故选D．【点睛】本题考查了有理数减法的运算，正确理解减法运算法则是解题的关键．7．（2023春·上海·六年级专题练习）．【答案】【分析】根据加法结合律，可简便运算，根据有理数的加法运算，可得答案．【详解】解：原式【点睛】本题考查了有理数的加法，先由加法运算律简便运算，再进行有理数的加法运算．8．（2021秋·广东河源·七年级校考期中）计算：．【答案】【分析】根据有理数加减法法则进行计算即可．【详解】解：===．【点睛】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握有理数加减法法则是解答本题的关键．9．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）小时在电脑中设置了一个有理数的运算程序：．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)0(2)14【分析】（1）根据运算程序即可求解；（2）先计算，再计算即可求解．【详解】（1）解：因为，所以；（2）解：．【点睛】本题考查了有理数的运算，理解规定的运算程序是解题关键．10．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）西峡猕猴桃，河南省西峡县特产，西峡因其独特的气候条件，所产猕猴桃内在品质优良，猕猴桃口感好，维生素含量高．小芸买了10箱西峡猕猴桃，每箱的标准重量是5千克，将超出标准重量的千克数记为正数，不足标准重量的千克数记为负数，记录结果如下：，，，，，，，，0，．(1)最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？(2)求这10箱西峡猕猴桃的总重量．【答案】(1)重的一箱比最轻的一箱重千克(2)这10箱西峡猕猴桃的总重量为千克【分析】（1）将数据中的最大的数减去最小的数即可求解；（2）将所有数据相加再加上，即可求解．【详解】（1）解：∵（千克），∴重的一箱比最轻的一箱重千克，（2）解：，（千克），答：这10箱西峡猕猴桃的总重量为千克．【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的加减的应用，理解正负数的意义是解题的关键．11．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）计算(1)(2)(3)(4)(2)(3)(4)【分析】（1）利用有理数的加法运算法则直接计算即可得到答案；（2）利用有理数的加法运算法则直接计算即可得到答案；（3）利用有理数的加法运算律进行简便计算，即可得到答案；（4）利用有理数的加法运算律进行简便计算，即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．12．（2022秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知|x|＝3，|y|＝2．(1)若x＞0，y＜0，求x+y的值；(2)若x＜y，求x﹣y的值．【答案】(1)1(2)﹣5或﹣1【分析】（1）根据绝对值的意义和x、y的大小关系，确定x、y的值，代入计算即可；（2）根据|x|＝3，|y|＝2．x＜y，确定x、y的值，代入计算即可．【详解】（1）解：由|x|＝3，|y|＝2．x＞0，y＜0，得，x＝3，y＝﹣2，∴x+y＝3+（﹣2）＝1；所以x+y的值为1；（2）解：由|x|＝3，|y|＝2．x＜y，可得x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2，当x＝﹣3，y＝2时，x﹣y＝﹣3﹣2＝﹣5，或x＝﹣3，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，所以x﹣y的值为﹣5或﹣1．【点睛】本题考查有理数的加减法以及绝对值的意义，确定x、y的值是解题的关键．13．（2022秋·山西太原·七年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．(1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为____________；(2)若点A表示数，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是____________；(3)点A表示数，点B表示数25，P为数轴上一点：①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是____________；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数____________．【答案】(1)-1；(2)C1或C4；(3)①；②65；45；105．【分析】（1）先求出AB=9，再根据联盟点的定义求出M表示的数是2与-1，最后根据点M表示一个负数，即可求解；（2）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；（3）①分点P位于点A左侧、点P表示的数位于AB之间，且靠近点A、点P表示的数位于AB之间，且靠近点B三种情况讨论，即可求解；②分当P为A、B的联盟点、点B为AP联盟点且AB=2BP、点B为AP联盟点且PB=2AB三种情况讨论，即可求解．【详解】（1）解：由题意得，因为点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，∴AM=2BM，或BM=2AM，所以AM=或AM=，所以点M表示的数是-4+6=2或-4+3=-1，因为点M表示一个负数，所以点M表示的数为-1．故答案为：-1；（2）解：由题意得C1A＝，C1B＝，C1B＝2C1A，故C1符合题意；C2A＝C2B＝2，故C2不符合题意；C3A＝6，C3B＝2，故C3不符合题意；C4A＝8，C4B＝4，C4A＝2C4B，故C4符合题意．故答案为：C1或C4；（3）解；由题意得AB=40．①当点P位于点A左侧时，PB=2PA，所以PA=AB=40，所以点P表示的数为-15-40=-55；当点P表示的数位于AB之间，且靠近点A时，PB=2PA，所以PA=，所以点P表示的数为；当点P表示的数位于AB之间，且靠近点B时，PA=2PB，所以PA=，所以点P表示的数为；故答案为：；②当P为A、B的联盟点时，则PA=2PB，所以AB=PB=40，所以点P表示的数为25+40=65；当点B为AP联盟点且AB=2BP时，BP=，所以点P表示的数为；当点B为AP联盟点且PB=2AB时，BP=，所以点P表示的数为；故答案为：65；45；105．【点睛】本题为新定义问题，难度较大．考查了在数轴上表示有理数，有理数的加减运算等知识，理解“联盟点”的意义，根据题意结合数轴分类讨论是解题关键．【一览众山小】1．（2021·浙江·九年级自主招生）若a，b满足，则下列选项中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据有理数的加减法法则和绝对值的性质回答即可得解.【详解】解：当a，b同号时，，当a，b异号时，，故选：D【点睛】本题考查了有理数的加减法法则和绝对值的性质，有理数的大小比较，掌握相关法则和性质是解本题的关键.2．（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．若一个数与2022的和为0，则这个数是（

）A．2022 B． C． D．【答案】B【分析】由相反数的含义，结合有理数的加法运算可得答案．【详解】解：∵一个数与2022的和为0，∴这个数是，故选B【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，相反数的含义，熟记和为0的两个数互为相反数是解本题的关键．3．（2023·天津河东·一模）计算的结果等于（

）A．1 B． C． D．5【答案】C【分析】根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”进行求解即可．【详解】解：原式．故选：C．【点睛】本题考查了有理数的减法法则，掌握法则是解题的关键．4．（2022秋·山东·七年级校考阶段练习）的结果是（）A．0 B．1012 C． D．【答案】B【分析】根据有理数的加减计算法则两两结合进行计算即可得到答案．【详解】原式．故选：B．【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握加减混合运算法则．5．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）观察下列各式：，，，，按照上面的规律，计算式子的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据式子的规律得出，进而化简式子，根据有理数的加减进行计算，最后求绝对值即可求解．【详解】解：∵，，，，……，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键．6．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（

）A．0 B．-3 C．-1 D．3【答案】A【分析】要对a,b,c所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值．【详解】解：对a,b,c的取值情况分类讨论如下：①当a,b,c都是正数时，，所以和为3；②当a,b,c都是负数时，=-1，所以和为-3；③当a,b,c中有两个正数，一个负数时，中有两个1，一个-1，所以=1，④当a,b,c中有一个正数、两个负数时，中有两个-1，一个+1，所以=-1，总之，=±1或±3．故选：A．【点睛】此题主要考查了绝对值，分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．7．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）计算：【答案】885【分析】原式整理结合后，计算即可得到结果．【详解】解：设，则，上下两式相加得，所以，即【点睛】本题主要考查了有理数的加法，正确运用倒序相加法是解答本题常用方法．8．（2021秋·四川遂宁·七年级校考阶段练习）已知，求的值．【答案】或【分析】先解绝对值方程求出或，然后分和两种情况代入所求式子中进行求解即可．【详解】解：∵，∴或，∴或；当时，；当时，；综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，有理数的加减计算，正确求出或是解题的关键．9．（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）计算：【答案】0【分析】首先去括号，把带分数化为整数与真分数和的形式，再进行有理数加减运算，即可求得结果．【详解】解：【点睛】本题考查了有理数的加减运算，把带分数化为整数与真分数和的形式是解决本题的关键．10．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，b，(1)探究性质：①例：_________；_________；_________；________；②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律；(2)性质应用：①运用发现的规律求的值；②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是．【答案】(1)①，，，；②见解析，一般规律为(2)①；②【分析】（1）①根据定义即可求解；②举例，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；（2）①直接利用规律进行求解；②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于，由此即可解决问题．【详解】（1）解：①，，，，，故答案为：，，，；②例如：，，通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，用a，b的式子表示出一般规律为；（2）解：①；②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于，为偶数，最小值，故答案为：．【点睛】