冀教版九年级数学下册课件：294-切线长定理

第二十九章

直线与圆的位置关系29.4切线长定理*2023/6/2911.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（重点）2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点）学习目标2023/6/292POO.PBAAB问题1上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？问题2过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法（如右下图所示）！直径所对的圆周角是直角.复习引入2023/6/293P过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．AO①切线是直线，不能度量.切线长的定义一¤切线长的定义¤切线长与切线的区别②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．2023/6/294思考：PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．

OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？（利用图形轴对称性解释）

PA、PB有何关系？

∠APO和∠BPO有何关系？O.PAB切线长定理二2023/6/295BPOA过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.∵PA，PB分别切⊙O于A，B∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.★切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.¤切线长定理¤几何语言2023/6/296问题：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.（3）写出图中所有的全等三角形：△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形：△ABP，AOB.（2）写出图中与∠OAC相等的角：∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.BPOACED2023/6/297BPOA练一练:

PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3.（1）若AP=4，则OP=

;（2）若∠BPA=60°，则OP=

.562023/6/298（3）连接圆心和圆外一点.（2）连接两切点；（1）分别连接圆心和切点；要点归纳2023/6/299问题1

一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？ABCABC三角形的内切圆及内心三2023/6/2910问题2

如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.MND作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.⊙O就是所求的圆.2023/6/29111.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.B2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.3.这个三角形叫做圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.┐ACI┐┐DEF

点O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是⊙O的外切三角形.要点归纳2023/6/2912名称定义确定方法图形性质外心内心1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部1.到三边的距离相等2.OA，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB3.内心在三角形内部填一填：ABOAOC三角形三边中垂线的交点三角形三条角平分线的交点三角形外接圆的圆心三角形内切圆的圆心2023/6/2913例1如图，PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E.已知PA=7，∠P=40°.则⑵∠DOE=

.⑴△PDE的周长是

；14OPABCED70°典例精析2023/6/2914例2

△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF，BD，CE的长.解:设AF=xcm，则AE=xcm.∴CE=CD=AC－AE=9-x(cm)，

BF=BD=AB－AF=13-x(cm).由

BD+CD=BC，可得

(13-x)+(9-x)=14，解得

x=4.∴AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.ACBEDFO2023/6/29152.如图，已知点O是△ABC

的内心，且∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，则∠BOC＝

.1.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，如果AP＝4，∠APB＝40°，则∠APO＝

，PB＝

.20°4110°ABPOA第1题BCO第2题当堂练习2023/6/29163.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点为A，B，∠P＝50°，点C是⊙O上异于A，B的点，则∠ACB=

.4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D，E，F三点，如图，已知AF＝3，BD+CE＝12，则△ABC的周长是

.65°或115°BPOA第3题ABCFEDO第4题302023/6/2917直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm,试问：（1）它的外接圆半径是

cm;内切圆半径是

cm？·ABCEDFO2.51解：如图，△ABC的外接圆直径为AB.由勾股定理可得AB=5cm，故外接圆半径为2.5cm.连接AO，BO，CO.设△ABC的内接圆半径为r.由面积公式可得：S△ABC=S△AoB+S△AoC+S△BoC

，即

，所以

，代入数据得r=1cm.方法小结：直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，内接圆半径.拓展提升2023/6/2918（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边

AC，BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围.·ABODC解：如图所示，设与BC，AC相切的最大圆与BC，AC的切点分别为B，D,连接OB，OD,则四边形BODC为正方形.∴OB＝BC＝3，∴半径r