含互感的电路

关于含互感的电路第1页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三

10-1

互感10-2含有耦合电感电路的计算10-3空心变压器和理想变压器章节内容10-4变压器的电路模型第2页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三§10-1互感一、自感和自感电压线性电感iu(self-inductancecoefficient)自感系数电感（元件）是线圈的电路模型。通电线圈的磁通链与电流i成正比:第3页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三二、互感和互感电压+–u11+–u21i11121N1N2当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic

flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2。当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。u11称为自感电压，u21称为互感电压。

当两个线圈的磁通相互交链时，称为两个线圈有耦合关系。有耦合关系两个线圈称为耦合电感或互感（元件）。第4页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三+–u11+–u21i11121N1N2当i1、u11、u21方向与符合右手螺旋定则时，根据法拉第电磁感应定律：：磁链(magneticlinkage)，

=N第5页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三+–u11+–u21i11121N1N2第6页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三+–u12+–u22i21222N1N2可以证明：M12=M21=M。同理，当线圈2中通电流i2时会产生磁通22，12

。i2为时变时，线圈2和线圈1两端分别产生感应电压u22

，u12

。第7页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：在正弦交流电路中，其相量形式的方程为

互感的性质①从能量角度可以证明，对于线性电感

M12=M21=M②互感系数M只与两个线圈的几何尺寸、匝数、相互位置和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有MN1N2（LN2）第8页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三

耦合系数(couplingcoefficient)k：k表示两个线圈磁耦合的紧密程度。全耦合:Fs1=Fs2=0即F11=F21，F22=F12可以证明，k1。第9页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三三、互感线圈的同名端具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电压。自感电压和互感电压表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。对自感电压，当u,i

取关联参考方向，其表达式为:

对线性电感，用u,i描述其特性，当u,i取关联方向时，符号为正；当u,i为非关联方向时，符号为负。上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。i1u11第10页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。+–u11+–u21i1110N1N2+–u31N3s引入同名端可以解决这个问题。同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。**第11页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三同名端表明了线圈的相互绕法关系。确定同名端的方法：(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。i11'22'**11'22'3'3**例.注意：线圈的同名端必须两两确定。确定图示电路的同名端第12页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三四、由同名端及u,i参考方向确定互感线圈的特性方程

有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。(参考前图，标出同名端得到下面结论)。i1**u21+–Mi1**u21–+M第13页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三i1**L1L2+_u1+_u2i2M**L1L2+_u1+_u2i2Mi1时域形式：

i2第14页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三**jL1jL2+_jM+_在正弦交流电路中，其相量形式的方程为第15页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三注意：有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。(1)一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系；(2)互感电压的符号取决于：同名端；参考方向互感现象的利与弊：利——变压器：信号、功率传递弊——干扰,合理布置线圈相互位置减少互感作用。第16页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三五、互感线圈的串联和并联（一）、互感线圈的串联1.顺串i**u2+–MR1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–第17页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三2.反串i**u2+–MR1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–互感不大于两个自感的算术平均值。第18页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三*

顺接一次，反接一次，就可以测出互感：*全耦合当L1=L2=M时,4M顺接0反接L=3、互感的测量方法：第19页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三1.同名端在同侧i=i1+i2解得u,i的关系：（二）、互感线圈的并联**Mi2i1L1L2ui+–第20页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三故互感小于两元件自感的几何平均值。第21页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三2.同名端在异侧i=i1+i2解得u,i的关系：**Mi2i1L1L2ui+–第22页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三一、互感消去法1.去耦等效(两电感有公共端)**jL1123jL2jMj(L1–M)123j(L2–M)jM整理得(a)同名端接在一起§10-2含有耦合电感电路的计算第23页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三**jL1123jL2jMj(L1+M)123j(L2+M)j(-M)整理得(b)非同名端接在一起第24页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三

上面方法同样适合于两个互感线圈所在的支路有两个公共节点情况º**Mi2i1L1L2º+_ui画等效电路i2=i-i1ºi2i1L1-ML2-M+_uºiMi1=i-i2（同名端接在一起）第25页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三同理可推得º**L1L2ºMºL1+ML2+M-Mº（非同名端接在一起）第26页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三jL1jL2+––++–+–**jL1jL2jM+–+–2.受控源等效电路两种等效电路的特点：(1)去耦等效电路简单，等值电路与参考方向无关，但必须有公共端；(2)受控源等效电路，与参考方向有关，不需公共端。第27页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三例1、已知电路如图，求入端阻抗Z=?(去耦等效)**ººL1L2MRCººL1-ML2-MMRC有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的相量分析的的方法均适用。只需注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。含有耦合互感电路的计算—分析举例第28页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三M12+_+_L1L2L3R1R2R3支路电流法：例2、列写下图电路的方程。第29页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三M12+_+_L1L2L3R1R2R3回路电流法：(1)不考虑互感(2)考虑互感注意:互感线圈的互感电压的表示式及正负号。含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。第30页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三例3.M12+_+_**M23M31L1L2L3R1R2R3支路法：12第31页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三整理，得M12+_+_**M23M31L1L2L3R1R2R312第32页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三M12+_+_**M23M31L1L2L3R1R2R3回路法：第33页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三M12+_+_**M23M31L1L2L3R1R2R3整理得:第34页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三此题可先作出去耦等效电路(一对一对消)，再列方程:M12**M23M13L1L2L3**M23M13L1–M12L2–M12L3+M12L1–M12+M23–M13

L2–M12–M23+M13L3+M12–M23–M13L1–M12+M23L2–M12–M23L3+M12–M23第35页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三M+_+_L1L2R1R2例4:已知:求其戴维南等效电路。+_Z1–++–第36页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三ML1L2R1R2+_求内阻：Zi（1）加压求流：列回路电流方程第37页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三ML1L2R1R2（2）去耦等效：R1R2第38页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX一、空心变压器：Z11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)+–Z11原边等效电路原边、付边回路总阻抗§10-3空心变压器和理想变压器第39页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三Zl=Rl+jXl：副边对原边的引入阻抗。负号反映了付边的感性阻抗反映到原边为一个容性阻抗**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX+–Z11原边等效电路第40页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电压电流。从能量角度来说

:不论变压器的绕法如何，恒为正,这表示电路电阻吸收功率，它是靠原边供给的。电源发出有功=电阻吸收有功=I12(R1+Rl)I12R1消耗在原边；I12Rl

消耗在付边，由互感传输。第41页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三同样可解得：+–Z22—原边对副边的引入阻抗。副边吸收的功率：空心变压器副边的等效电路，同样可以利用戴维南定理求得。副边等效电路—副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。第42页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三例a：已知US=20V,副边对原边引入阻抗Zl=10–j10.求:ZX并求负载获得的有功功率.此时负载获得的功率：实际是最佳匹配：解：**j10j10j2+–10ZX+–10+j10Zl=10–j10第43页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三例b：

L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,R2=0.08W,RL=42W,w=314rad/s,法一：回路法（略）。法二：空心变压器原边等效电路。**jL1jL2jM+–R1R2RL+–Z11第44页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三+–Z22又解：副边等效电路第45页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三**jL1jL2jM+–+–二、全耦合变压器(transformer)11'22'N1N2第46页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三当L1,M,

L2，L1/L2比值不变(磁导率m),则有三、理想变压器(idealtransformer)：**+–+–n:1全耦合变压器的电压、电流关系：理想变压器的元件特性理想变压器的电路模型第47页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三(a)阻抗变换性质理想变压器的性质：**+–+–n:1Z+–n2Z第48页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三(b)功率性质：理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。**+–n:1u1i1i2+–u2由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。第49页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三全耦合变压器的电路模型:**+–+–n:1理想变压器**+–+–n:1理想变压器第50页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三例1.已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比n。**n:1RL+–uSRSn2RL+–uSRS当n2RL=RS时匹配，即10n2=1000n2=100，n=10.第51页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三例2.**+–+–1:1050+–1方法1：列方程解得第52页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三方法2：阻抗变换+–+–1方法3：戴维南等效**+–+–1:10+–1第53页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三求R0：**1:101R0R0=1021=100戴维南等效电路：+–+–10050第54页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三例3.理想变压器副边有两个线圈，变比分别为5:1和6:1。求：原边等效电阻R。**+–+5:1–4*6:15+–R100180**+–+5:1–4*6:15+–*第55页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三§10-4变压器的电路模型实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合，k

1。且L1，M，L2。除了用具有互感的电路来分析计算以外，还常用含有理想变压器的电路模型来表示。一、理想变压器(全耦合，无损，m=线性变压器)**+–+–n:1i1i2u1u2第56页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三二、全耦合变压器(k=1，无损，m，线性)与理想变压器不同之处是要考虑自感L1

、L2和互感M。**jL1jL2jM+–+–全耦合变压器的等值电路图**jL1+–+–n:1理想变压器L1：激磁电感

(magnetizinginductance)（空载激磁电流）第57页，讲稿共64页，2023年5月2日，星期三三、无损非全耦合变压器(忽略损耗，k1，m，线性)

21i1i2++––u1u2