中考数学复习 第三章函数及其图象 第课 二次函数及其图象课件

二次函数及其图象

1．定义：形如函数叫做二次函数．2．利用配方，可以把二次函数y＝ax2＋bc＋c表示成

.要点梳理y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数，且a≠0)y＝a2＋3．图象与性质：二次函数的图象是抛物线，当

时抛物线的开口

，这时当

时，y的值随x的增大而

；当

时，y的值随x的增大而

；当x＝

时，y有

.当

时抛物线开口

，这时当

时，y的值随x的增大而

；当

时，y的值随x的增大而

；当x＝

时，y有

.

抛物线的对称轴是直线x＝

，抛物线的顶点是

.a＞0向上x≤－减小x≥－增大－最小值a<0向下x≤－增大x≥－减小－最大值－4．图象的平移：1．正确理解并掌握二次函数的概念以及解析式的三种形式的转化根据定义可知，二次函数需满足两个条件：①a≠0，②x的最高次数为2.一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)，则解析式可以写成交点式y＝a(x－x1)(x－x2).

将解析式y＝ax2＋bx＋c通过配方法可化成顶点式y＝a(x＋h)2＋k；将顶点式、交点式展开，合并同类项后，即可化成一般式y＝ax2＋bx＋c.[难点正本疑点清源]

在已知抛物线上三个点的坐标时，我们通常设一般式，然后将三个点的坐标分别代入关系式中，解方程组，求出各系数，以确定函数关系式；在已知拋物线顶点坐标时，我们通常设顶点式，只要再找到一个条件，即可求此函数关系式；在已知抛物线与x轴两个交点坐标时，我们通常设交点式，再寻找一个条件即可求函数关系式．2．正确认识二次函数与二次方程间的关系已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为k，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k；反过来，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k，就是把二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的函数值看做0，求自变量x的值．学习这部分知识，可以类比一次函数与一元一次方程的关系．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)，同样满足、x1＋x2＝－，x1x2＝；两交点间的距离︱x1－x2︱＝.1．(2011·北京)抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为(

)A．(3,－4)B.(3,4)C．(－3,－4)D．(－3,4)

解析：y＝x2－6x＋5＝(x2－6x＋9)－4＝(x－3)2－4，则抛物线顶点坐标为(3,－4)．基础自测A2．(2011·乐山)将抛物线y＝－x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是(

)A．y＝－(x＋2)2B．y＝－x2＋2C．y＝－(x－2)2D．y＝－x2－2

解析：抛物线y＝－x2向左平移2个单位，得y＝－(x＋2)2.A3．(2惑01备1·重庆)已知浊抛物模线y＝ax2＋bx＋c(a≠0从)在平垂面直童角坐运标系数中的会位置兔如图临所示蜓，则械下列心结论达中正就确的拘是()A．a>0询B.b＜0C．c＜0疮D．a＋b＋c>0解析塑：当x＝1时，学对应眉的点(1受,y)在第一午象限诱内，y＝a＋b＋c>0娃.D4．(2哥01蹲1·威海)二次丹函数y＝x2－2x－3的图猪象如抵图所毙示．醋当y＜0时，必自变霜量x的取翠值范汇围是()A．－1＜x＜3B．x＜－1C．x＞3D．x＜－3或x＞3解析惭：如耀图，债可知x＝－1或3时，y＝0；当孩－1<x<3时，y<0候.A5．(2苦01坟1·孝感)如图左，二叶次函侄数y＝ax2＋bx＋c的图赚象与y轴正妻半轴宫相交沾，其拍顶点屡坐标盆为饿，下栋列结验论：稼①ac＜0；②a＋b＝0；③4ac－b2＝4a；④a＋b＋c＜0.其中用正确事的个骄数是()A.响1听B.舍2C．3执D．4(,1)C解析浊：根核据图没象可都知：①a＜0，c＞0，∴ac＜0，正元确；②∵溉顶点卸坐标哑横坐桃标等淡于金，∴混－吃＝败，∴a＋b＝0正确陪；③∵榜顶点校坐标梦纵坐鲁标为1，∴换＝1，∴4ac－b2＝4a，正椒确；④当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，错哲误．正确革的有3个．丽故选C.题型阿一料待定纯系数光法确正定二扯次函贱数的手解析忧式【例1】已知荣一抛介物线顶与x轴的洒交点冠是A(－2,甲0)、B(1鞋,0这)，且兆经过C(2衔,8鬼).(1家)求该棵抛物浸线的梯解析喜式；(2剪)求该仪抛物俗线的缩慧顶点尼坐标盛．解：(1管)设y＝a(x＋2)珠(x－1)，又停抛物某线过C(2贡,8躲)，∴8＝a(2＋2)纵(2－1)，a＝2.∴y＝2(x＋2)拴(x－1)＝2(x2＋x－2)＝2x2＋2x－4.(2卫)∵x＝－吸＝签－部，∴y＝2×2＋2×－4＝累－1－4＝－4，∴顶论点坐螺标为.题型初分类垮深注度剖巨析12

探究痰提高根据符不同阁条件属，选贵择不班同设静法．(1浮)若已凶知图做象上燃的三树个点梦，则板设所及求的蛇二次虚函数瞎为一虑般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0陷)，将云已知愤条件警代入斜，列冤方程搏组，污求出a、b、c的值青．(2蕉)若已贞知图糠象的撑顶点密坐标喜或对改称轴励方程浸，函油数最墓值，洗则设记所求宾二次虹函数津为顶强点式y＝a(x＋m)2＋k(a≠0舌)，将自已知煌条件摩代入直，求出伴待定倘系数嚼．(3芹)若已尿知抛确物线缝与x轴的殃交点筑，则糠设抛瓣物线泉的解晴析式学为交旨点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0侨)，再京将另刃一条悔件代垮入，难可求警出a值．知能菜迁移1已知委二次骑函数y＝－x2＋bx＋c图象甲如图侵所示条，它司与x轴交紫点坐赵标为(－1,熔0)，与y轴的兰交点贵坐标度为(0仔,3雀)．(1肠)求出b、c的值箭，并纺写出屠此二迹次函垂数的千解析迎式；(2铺)根据抗图象殿，写叉出函盯数的或值y为正绍数时床，自蹈变量x的取都值范名围．解：(1窗)由题渣意，器得解之槽得鞠∴y＝－x2＋2x＋3.(2筋)令y＝0，得亏－x2＋2x＋3＝0，解之傻得x1＝－1，x2＝3.当y>0时，x的取劲值范予围是佛－1<x<3散.－1－b＋c＝0,c＝3,b＝2,c＝3,题型绢二智利用彼二次荒函数勒的性愉质解撇答【例2】已知赵点A(1巩,1胳)在二恶次函丝式数y＝x2－2ax＋b的图份象上胁．(1掌)用含a的代升数式哄表示b；(2屋)如果敞该二算次函帝数的流图象谦与x轴只子有一勒个交俯点，雕求这懒个二辣次函割数的骄图象叫的顶京点坐叠标．解：(1切)∵点A(1昂,1刘)在抛附物线y＝x2－2ax＋b上，∴1＝1－2a＋b，b＝2a.(2黑)∵抛物咏线y＝x2－2ax＋2a与x轴只芽有一挠个交防点，∴△消＝(－2a)2－4×夹1×根2a＝0，∴4a2－8a＝0,魂4a(a－2)＝0，∵a≠0，∴a－2＝0，a＝2.∴y＝x2－4x＋4＝(x－2)2，顶有点坐牙标为(2刮,0虏)．探究叼提高某点锋在函障数图增象上受，该绍点的拜横坐穴标、月纵坐养标满奏足函圣数解鸭析式拿．函数y＝x2－2ax＋b的图炭象与x轴只垒有一肯个公激共点导，可忍知关固于x的方慌程x2－2ax＋b＝0有两咬个相蚕等的嘱实数或根，侍根据丘此两宰个条户件可轻列出孕关于a、b的二寒元一功次方倘程，警解之嫁即得恋函数恶的解招析式我．知能热迁移2(1采)抛物队线y＝a(x＋1)笛(x－3)沿(a≠0及)的对赠称轴舌是()A．直疤线x＝1慈B．直馒线x＝－1C．直概线x＝－3专D．直省线x＝3解析践：令y＝0，可音得x1＝－1，x2＝3，所以碧对称或轴是绑直线x＝井＝1，选A.A(2翼)二次督函数y＝(x－1)2－2的图恒象上剪最低漏点的资坐标炼是()A．(－1,－2)蹈B．(1纯,－2)C．(－1,犯2)晋D．(1孕,2野)解析瞒：因高为a＝1>绸0，抛郑物线碗有最抽低点叉，其流坐标钩为(1爷,－2)，选B.B题型校三最利用廊二次宇函数炕解决乎实际找应用幕题【例3】我市雅某大桂型酒说店有器包房10持0间，根在每挑天晚墨餐营惠业时户间，仇每间威包房朝收包礼房费10渡0元时项，包贫房便看可全随部租骆出；软若每躬间包颈房收酷费提尿高20元，时则减芦少10间包衡房租铃出，鼻若每浓间包斯房收鸦费再夺提高20元，则再盾减少10间包撞房租待出，纹以每涝次提食高20元的忠这种体方法秩变化轻下去纱．(1喷)设每免间包欣房收陵费提佛高x(元)，则舱每间造包房积的收民入为y1(元)，但塞会减衔少y2间包蔬房租份出，原请分陈别写敢出y1、y2与x之间椒的函宾数关伴系式印；(2锣)为了吓投资锋少而识利润损大，或每间顷包房跟提高x(元)后，蜘设酒然店老捕板每以天晚足餐包事房总垒收入僻为y(元)，请跃写出y与x之间己的函难数关赛系式思，求挥出每融间包晓房每宾天晚万餐应伤提高狼多少针元可踩获得镇最大齿包房利费收愉入，秧并说景明理拼由．解：(1疯)y1＝10城0＋x，y2＝x.(2啄)y＝(1店00＋x)(针10傻0－x)＝－x2＋50x＋10幼00易0＝－(x－50按)2＋11痰25爬0，因为觉提价历前包厚房费雷总收告入为10翼0×毁10宰0＝10是00任0，当x＝50时，绵可获捉得最蒙大包恢房收究入11紧25具0元，因为11熟25降0>战10虎00良0，又漂因为型每次竟提价拣为20元，所以行每间剧房费伴应提学高40元或60元．所以吗为了毅投资财少而究利润蹈大，休每间披房费箩应提若高60元．探究启提高解决消最值熊问题翁的关常键是扭根据辈已知位条件浅建立冈二次碰函数棒模型状，利棉用二骗次函姑数的鱼最大尖值或道最小滋值来颗解．知能嘴迁移3某商零品的污进价蹦为每孕件40元，城售价慨为每毒件50元，仿每个塞月可李卖出21汽0件；咸如果激每件茅商品探的售演价每微上涨1元，伪则每昂个月叙少卖10件(每件老售价凑不能营高于65元)．设吼每件壁商品顾的售早价上啊涨x元(x为正欣整数)，每治个月揉的销膜售利穴润为y元．(1怒)求y与x的函价数关口系式巩并直替接写椒出自柄变量x的取慕值范似围；(2辅)每件多商品局的售乞价定乎为多劝少元练时，乘每个房诚月可布获得嚼最大仪利润踏？最惊大的候月利悉润是顽多少鞠元？(3慈)每件有商品跨的售料价定材为多糖少元闻时，下每个怎月的妙利润尚恰为22梨00元？疼根据变以上献结论发，请森你直貌接写嗽出售海价在灿什么久范围航时，历每个横月的坏利润件不低动于22哀00元？解：(1伟)y＝(2绸10－10x)(虚50＋x－40椅)＝－10x2＋11劲0x＋21逃00抗(0暂<x≤1贫5，且x为整任数)．(2显)y＝－10故(x－5.开5)2＋24封02漠.5泄.∵a＝－10朝<0，∴当x＝5.壮5时，y有最境大值24革02目.5肝.∵0凑<x≤1改5，且x为整死数，当x＝5时，50＋x＝55，y＝24撞00堪.当x＝6时，50＋x＝56，y＝24杯00浪.∴当售辣价定校为每还件55元或56元，传每个孔月的海利润棒最大侵，最母大利敌润是24铸00元．(3插)当y＝22歼00时，羊－10x2＋11周0x＋21童00＝22没00，x2－11x＋10＝0，解穿之得x1＝1，x2＝10蛙.∴当x＝1时，50＋x＝51；当x＝10时，50＋x＝60迟.∴当售物价定繁为每康件51元或60元时康，每购个月绣的利孟润为22是00元．当售品价不伯低于51元且汪不高笼于60元且伙为整赵数时雨，每填个月沉的利罢润不斥低于22驾00元.(或当度售价岛分别像为51玩,5优2,位53套,5绸4,倒55沫,5默6,矩57贫,5路8,妄59欺,6想0元时氧，每胃个月员的利躲润不给低于22梅00元)．题型卷四守结合桌几何衫图形珍的函若数综愧合题【例4】如图惨，已割知直颠线y＝－x＋1交坐档标轴翁于A，B两点拥，以橡线段AB为边尚向上南作正牌方形AB篇CD，过状点A，D，C的抛步物线公与直废线另漏一个专交点扬为E.(1裁)请直牧接写禾出点C、D的坐右标；(2否)求抛姑物线兵的解蛾析式孟；(3武)若正乳方形井以每将秒个钱单位夸长度礼的速度蓄沿射炸线AB下滑健，直扬至顶苦点D落在x轴上养时停将止．勇设正足方形绩落在x轴下照方部假分的孝面积汗为S，求S关于古滑行浮时间t的函傲数关吩系式浸，并抖写出为相应古自变浸量t的取支值范征围；(4吴)在(3役)的条丽件下生，抛孙物线通与正缠方形殃一起尝平移击，同编时D落在x轴上河时停夜止，盒求抛厘物线权上C、E两点梅间的版抛物掠线弧塔所扫朴过的雁面积弓．解题膛示范——规范泽步骤晃，该锡得的兔分，渔一分贤不丢腐！解：(1图)C(3坛,2圣)，D(1宁,3辞)．[2分](2附)设抛白物线颈为y＝ax2＋bx＋c，抛徐物线值过(0轻,1建)，(3逗,2锋)，(1碎,3汁)，解得∴y＝－x2＋x＋1.[6分]c＝1,a＋b＋c＝3,9a＋3b＋c＝2.a＝－

,b＝,c＝1.(3照)①当点A运动杠到点F时，t＝1，当0<t≤1时，曲如图1，∵∠OF禽A＝∠GF股B′，ta味n∠OF梢A＝的＝舒，∴ta驼n∠GF饰B′＝拆＝窗＝首，∴GB′＝t，S△FB票′G＝FB′×GB′＝×t×＝t2；[8分]图1②当点C运动器到x轴上机时，t＝2，当1<t≤2时，海如图2，A′B′＝AB＝杨＝填，∴A′F＝t－改，∴A′G＝疼，∵B′H＝悄，∴S梯形A′B′HG＝(A′G＋B′H)×A′B′＝×缸×＝t－责；[1听0分]图2③当点D运动参到x轴上翅时，t＝3，当2<t≤3时，株如图3，∵A′G＝斤，∴GD′＝滥－威＝蓬，∵S△AO惊F＝×1弃×2＝1，OA＝1，△AO姑F∽△GD′H，∴岸＝2，∴S△GD′H＝2，∴S五边之形GA′B′C′H＝(嚼)2－2＝－t2＋t－.[1略2分]图3(4撞)∵t＝3，BB′＝AA′＝3，∴S阴影＝S矩形BB′C′C＝S矩形AA′D′D＝AD×AA′＝×3＝15报.[1宵4分]探究兰提高二次千函数声知识公常与嫩方程倍、不言等式见、三狸角函贸数、垒几何留图形凳等知饺识综苗合考伙查，飞这类梦问题讨综合洪性强炎，应恒用知倚识较肌多、绕思维轮能力劈燕强，伸本题赏的难昏点在阳第(3涉)小题剥，解件决的去关键简要进竖行分戏类讨他论．知能甩迁移4(2肆01府1·桂林)已知蚂二次座函数y＝－x2＋x的图矿象如风图．(1奴)求它泼的对膛称轴挥与x轴交身点D的坐垦标；(2浩)将该题抛物赔线沿穴它的扛对称肃轴向挖上平惑移，墓设平巾移后楼的抛叶物线献与x轴、y轴的繁交点秀分别管为A、B、C三点什，若煮∠AC局B＝90容°，求协此时泥抛物怀线的哲解析蜓式；(3泽)设(2蛇)中平纸移后显的抛话物线疑的顶尊点为M，以AB为直瞒径，D为圆惨心作固⊙D，试瞒判断左直线CM与⊙D的位差置关享系，育并说隶明理哈由．(1托)由y＝－x2＋x得x＝－偏＝3，∴D(3恋,0泄)．解(2冈)如图1,设平潜移后躺的抛咐物线型的解梦析式例为y＝－x2＋x＋k，则C(0蔬,k)，OC＝k.令y＝0，即爆－x2＋x＋k＝0，得x1＝3＋恼，x2＝3－央，∴A(3－,0咸)，B(3＋,0遮)．∴AB2＝[(且3＋内－(3－)]2＝16k＋36，AC2＋BC2＝[k2＋(3－)2]＋[k2＋(3＋)2]＝2k2＋8k＋36轻.∵AC2＋BC2＝AB2，即2k2＋8k＋36＝16k＋36，得k1＝4，k2＝0(舍去)．∴抛如物线虚的解铅析式因为y＝－x2＋x＋4.图1(3拴)如图2,由抛睁物线速的解嫩析式y＝－x2＋x＋4可得A(－2,吸0)，B(8僵,0装)，C(0望,4退)，M(3，)．过C、M作直叮线，众连结CD，过M作MH垂直y轴于H，则MH＝3.CM2＝MH2＋CH2＝32＋(－4)2＝.在Rt智△CO李D中，CD＝吸＝5＝AD.∵点C在⊙D上，∴DM2＝(灯)2＝剖，∴CD2＋CM2＝52＋诊＝昂，∴DM2＝CM2＋CD2.∴△CD悄M是直谋角三置角形烂，∴CD⊥CM.∴直线CM与⊙D相切鼓．图26．二私次函车数错旧例分秧析考题叨再现1．用查配方楼法求碗二次该函数y＝x2－x＋成图象财的顶霉点坐落标及锻对称们轴．2．已斯知函疏数y＝3x2－4x＋1，当0≤x≤4时，蚁求y的变狮化范寺围．学生必作答1．解拆：y＝x2－x＋筋＝(x2－4x＋3)＝(x－2)2－1∴该函寻数图愚象的扬顶点扑坐标揪是(2恶,－1)，对袖称轴胀是直陈线x＝2.2．解候：当x＝0时，y＝3x2－4x＋1＝3×马02－4×童0＋1＝1；当x＝4时，y＝3×汇42－4×窃4＋1＝33健.∴当0≤x≤4时，y的变绕化范粉围是1≤y≤3春3.易错聪警示规范逮解答1．解穗：y＝x2－x＋额＝(x2－4x＋3)＝[(x－2)2－1]＝(x－2)2－∴该绩函数猎图象妖的顶群点坐乌标是(2订,－)，对重称轴览是直雄线x＝2.2．解:饲∵y＝3x2－4x＋1，∴抛团物线扭的对截称轴预是直耳线x＝－针＝.∴当x＝丸，y最小松值＝－.当x＝0时，y＝1；当x＝4时，y＝33桨.于是详当0≤x≤时，膏－竖≤y≤1，当眨≤x≤4时，孟－死≤y≤3渗3，综上温，当0≤x≤4时，叨－趁≤y≤3痰3.老师喉忠告1．配孤方法棚是重婶要的怀数学鸡方法施，必转须熟固练掌奴握二夫次函筐数y＝ax2＋bx＋c可配角方写瞧成y＝a(x＋m)2＋k，后捏者图摘象的理顶点杂坐标犁是(－m,k)，对踩称轴绳是直责线x＝－m，须锄牢记啄．2．求宽二次头函数齐值的例范围巩，理袜解二撞次函杯数y＝ax2＋bx＋c有最暂大值旱或最福小值旧的条拢件．当a>0时，立函数肿图象运开口辉向上舱，当x＝－言时疫，函扇数有污最小躁值y＝夸；身当a<0时，档函数获图象滤开口避向下线，当x＝－插时厘，函向数有爪最大西值y＝.当涉恢及到竭实际气问题泉时，支一定托要符房诚合实塘际问填题的量意义亡和条立件要朗求.方法遣与技的巧1.对于炎二次尼函数欠的解员析式跑，要粉根据哨不同覆条件登选用杏不同哭形式怜的解撕析式店：(1沾)已知修图象产上三尿点，溜选一灵般式保：y＝ax2＋bx＋c(a≠0引)；(2舞)已知上顶点漫或对亭称轴遗，选填顶点我式：y＝a(x－h)2＋k(a≠