世纪金榜理科数学广东热点专题突破系列二

热点专题突破系列(二)三角函数与平面向量的综合应用考点考情分析三角函数的求值与平面向量的综合以平面向量为载体重点考查三角函数的条件求值,即考查诱导公式、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等三角恒等变换,在知识的交汇点处命题三角函数的性质与平面向量的综合以平面向量的坐标运算、平面向量的数量积为基础,引入三角函数,通过三角恒等变换重点考查三角函数的周期性、单调性、最值及取值范围等,在知识的交汇点处命题考点考情分析平面向量在三角形计算中的应用结合平面向量的线性运算、数量积,在三角形中重点考查正、余弦定理的应用及简单的三角恒等变换.题型有求边、求角、求三角形的面积等,在知识的交汇点处命题考点1三角函数的求值与平面向量的综合【典例1】(2014·韶关模拟)已知向量a=(-cosx,sinx),b=(cosx,cosx),函数f(x)=a·b,x∈［0,π］.(1)求函数f(x)的最大值.(2)当函数f(x)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小.【解题视点】(1)把f(x)化成y=Asin(ωx+φ)+k的形式，再求最大值.(2)先求出a与b的坐标，再根据夹角公式求夹角.【规范解答】(1)f(x)=a·b=-cos2x+==因为x∈［0,π］,所以当时，f(x)max=(2)由(1)知设向量a与b的夹角为α,则cosα=所以因此，向量a与b的夹角为【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤(1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出，把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式.(2)利用三角恒等变换进行条件求值.【变式训练】(2014·揭阳模拟)已知向量a=b=函数f(x)=a·b(A>0,x∈R),且f(2π)=2.(1)求函数y=f(x)的表达式.(2)设求cos(α+β)的值.【解析】(1)依题意得f(x)==因为f(2π)=2,所以所以解得A=4,所以f(x)=(2)由f(3α+π)=得即所以又因为所以由捆得即si客n(皮β+迹π)=所以si瓜n孕β=又因六为筹所掌以所以co雷s(慎α+谊β)=co冬sαc慢osβ-瓜si吗nαs屈inβ=【加固跪训练】设向纱量a=(腐4c恨osα,洗si挤nα)换,b=(青si稿n屡β,4c冰osβ)躺,c=(co袄sβ,逐-4卵si凉n致β)怠.(1急)若a与b-2c垂直锋，求ta找n(煎α+渣β)的值.(2全)求|b+c|的最乔大值.(3斑)若ta捐nαt槽anβ=匀16须,求证办：a∥b.【解析】(1乞)因为b-2c=(蜂si码n周β-坚2c量os韵β拴,4零co液s立β+滴8s挨in制β恰),a与b-2c垂直某，所以4c惜osα(旅si程nβ-笔2c奥osβ)赔+s枣inα(蚂4c果os淋β底+8婆si胆n某β)陵=0杠,即si做nαc类osβ+劲co特sαs锁inβ=蔬2(禁co寇sαc朗osβ-si范nαs牲inβ)豪,所以si禾n(工α+纺β)=高2c弱os缝(α暴+β照),所以ta另n(贴α+忘β)=狗2.(2过)因为b+c=(躬si极nβ+花co贪sβ,良4c挪os导β拿-4授si欢n枪β)本,所以|b+c|==所以漠当si得n创2β阳=-虎1时，|b+c|取最缴大值谜，且便最大课值为(3笨)因为ta肝nαt粪anβ=茄16钥,所以即si孝nαs耻inβ=赤16旦co哪sαc违osβ,所以(4歼co仿s划α)抛·(训4c厉os根β是)=饶si张nαs钞inβ,即a=(乘4c趴osα,显si轰nα)与b=(冻si宁n齐β,撒4c识os络β将)共线荡，所以a∥b.考点2三角最函数安的性俩质与棚平面采向量眠的综逼合【典浑例2】(2满01菠4·烟台想模拟)已知伐平面镇向量a=(co菜sφ,si弦nφ),b=(co氧sx,督si是nx)庆,c=(筝si遭nφ,-日co素sφ)，其阀中0＜φ＜π,且函竟数f(丢x)=颤(a·b)c赖osx+摩(b·c)s透inx的图颗象过寇点(1浑)求φ的值罩及函就数f(糊x)的单昏调增头区间.(2拉)先将除函数y=f(盖x)的图挡象向鸣左平借移烛个单乱位，驱然后磁将得录到函数图烈象上惭各点编的横添坐标娇变为衡原来旷的2倍，撑纵坐早标不趋变，侦得到动函数y=g(树x)的图主象，锻求函蛛数y=g(篮x)在止上的滥最大正值和戒最小台值.【解题放视点】(1痕)由平逝面向陆量数蜓量积驻的运非算及挖三角耍函数邮的相调关公到式化撤简函姑数解唉析式燃，由密函数f(索x)的图乌象过辩定点栗确定φ的值更，并悉由此浩求函季数f(望x)的单茎调增庸区间.(2傅)先根衬据图鹿象变耳换的且法则帅确定鼓函数g(顽x)的表风达式嘴，并特由此腥根据携给定谷的范镰围求山函数g(乓x)的最胀值.【规范午解答】(1意)因为a·b=co源sφco爸sx+持si超nφsi绸nx=co听s(φ-x),b·c=co窗sxs肚inφ-s注inxc肥osφ=si恰n(φ-x).所以f(填x)=帐(a·b)c证osx+绘(b·c)s灰inx=co贯s(φ-x盖)c吃osx+馅si众n(φ-x宁)s览inx=co宵s(φ-x谎-x)=c年os跨(2糕x-φ),即f(嗽x)=难co啄s(错2x吼-φ),所以玩而0＜φ＜π,所以丸所以由2k津π-樱π≤凝≤2盏kπ百.得即f(她x)的单岭调增处区间例为(2集)由(1叮)得，f(壳x)=平移产后的佣函数殖为于是g(猛x)=当良时样，所以即当敢时斜，g(苏x)取得怠最小励值当阔时，g(让x)取得适最大偏值1.【规律挂方法】平面恨向量胳与三银角函罗数性科质的滤综合百问题铃的解宪法(1地)利用换平面闭向量旗的数剃量积哭把向厉量问艳题转苏化为窄三角译函数辆的问悼题.(2阵)利用态三角殊函数反恒等锹变换渠公式(尤其怖是辅户助角惕公式)化简拌函数央解析凭式.(3窗)根据今化简炎后的周函数嘉解析术式研卧究函酸数的爬性质.【变式香训练】已知少向量a=b=(co忧sωx,co盘sωx捆)(问ω＞0)依,若f(丙x)=a·b,且f(险x)的最脏小正停周期搏为π.(1刘)求ω的值.(2唐)试述组由y=棍si辰n倚x的图幅象经婶过怎断样的侍平移芹和伸链缩变带换得芦到f(及x)的图以象.(3卸)求y=f(串x)的值劈燕域.【解析】(1门)f舰(x嚼)=a·b=si扬n(迫π-谁ωx贩)c爱osωx+=s飞inωx侧co拘sωx羊+c您os2ωx显==所以帅即ω=肉1.(2啄)由(1终)，得f(册x)=首先捉把y=浮si螺n爱x的图禽象向予左平乒移录个单易位，哈得的图扇象；蚂其次州把志的图缝象纵都坐标演不变变，横轿坐标舱变为原来桐的巡寿倍凶，得竹的图誓象；伐然后真把的横值坐标嗽不变冶，纵部坐标孔变为仪原来五的醉倍抗，得的图萍象；最后差，把锡的多图象重向上职平移膨个单散位，帽得的图狗象.(3炉)因为所以f(所x)的值雀域是【加固鞋训练】(2领01惯3·成都户模拟)已知O为坐延标原恳点，(1崖)求y=f(碑x)的单锤调递犁增区哗间.(2挠)若f(榴x)的定步义域烧为鲁值具域为糟［2,镜5］，立求m的值.【解析】(1株)f适(x妖)=由得y=f(尚x)的单乌调递拖增区取间为(2雕)当疼时羡，所以所以1+喷m≤提f(望x)读≤4候+m刘,所以考点3平面腾向量央在三慌角形腐计算碰中的槐应用【典紫例3】(2过01番4·黄山涌模拟)已知盗△AB五C的面恨积是30，三工内角A，B，C所对摘边长蔑分别袍为a,沙b,腔c,(1耳)求(2鸣)若c-倡b=1卡,求a的值.【解题秩视点】(1节)由co屠sA=可求弓得si早n滴A的值辩，根扩据△AB温C的面积换可求释得bc的值爪，利哭用平片面向北量数勺量积波公式包求谜的值.(2响)由边茫的关完系及虾余弦纹定理傍求a的值.【规范惕解答】(1疗)由co烟sA=得(2该)因为c-耕b=1诱,b事c=劈燕15丽6,所以a2=b2+c2-2功bc缝co星s慈A=披(c遥-b忌)2+2冲bc肠-=1棕+缴×1柔56夕=2饮5，即a=跟5.【规律芽方法】平面令向量宝与三鸭角形两计算扑综合咱问题铺的解未法(1赤)利用夜平面愈向量火数量次积的将计算佳公式标，把越问题蛙转化勾为三喇角形稀中的誉计算抛问题蝇，在判三角提形中恰，结覆合三除角形鹊内角闻和公葬式、燃正余抱弦定舒理、传三角缎形的坑面积青公式此进行票相关浪计算.(2增)先在荒三角恨形中煎利用吼相关塌公式档进行火计算岗，再惹按要朽求求福向量秧的数折量积圾、夹悔角、怕模等.提醒茶：解决伙三角惧形中房诚向量捉夹角迁问题饰的思草维误煮区是驳不注苗意向馆量的街方向久，从相而弄莲错向视量的避夹角.【变式须训练】(2奖01死4·天津未模拟)△贝AB田C的三捉个内哀角A，B，C所对的边慨分别起为a,着b,我c，向烈量m=(遮-1武,1什),n=且m⊥n.(1亡)求A的大监小.(2少)现给历出下但列四抽个条稻件：摇①a=粉1;道②b荒=2缩慧si料n宿B;俊③④B扎=4牲5°咳.试从业中再泄选择优两个屠条件哨以确峡定△AB兽C，求标出你向所确鬼定的△AB从C的面拥积.【解析】(1数)因为m⊥n,所以-co幼sBc长osC+拢si柄nBs麻inC-武=兵0,即co遗sBc幸osC-尿si岛nBs伟inC=co同s(符B+缝C)=因为A+般B+桑C=泛18启0°，所免以co仍s(遮B+淘C)=煮-co独sA,所以co打sA=又0°＜A＜18伤0°束,所以A=雹30善°.(2手)方法胆一：索选择缺①③拴可确娇定△AB