课件考题电工基础

第8章非正弦周期电流电路重点周期函数分解为付里叶级数非正弦周期函数的有效值和平均功率非正弦周期电流电路的计算返

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页8.1

非正弦周期信号生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。非正弦周期交流信号的特点不是正弦波按周期规律变化例1半波整流电路的输出信号f

(t

)

=

f

(t

+

kT

)返回上页下页例2示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波返回上页下页脉冲电路中的脉冲信号Tt例2返回上页下页交直流共存电路Es+V例4返回上页下页函数同频）二次谐波（2倍频）直流分量高次谐波¥f

(t)

=

A0

+

Akm

cos(kw

1t

+fk

)k

=18.2周期函数分解为付里叶级数基波（和原f

(t

)

=

A0

+

A1m

cos(w

1t

+f1)

++

A

cos(2w

1t

+f2

)

+2m+

Anm

cos(nw

1t

+fn

)

+周期函数展开成付里叶级数：返回上页下页¥f

(

t)

=

a0

+

[ak

cos

kw

1

t

+bk

sin

kw

1t]Akm

cos(kw

1

t

+

jk

)

=

ak

cos

kw

1

t

+

bk

sin

kw

1

t也可表示成：kkkkm

k

ka-

bA

=

a2

+

b2k

=1A0

=

a0f

=

arctanbk

=

-

Akm

sinfkak

=

Akm

cosfk系数之间的关系为返回上页下页p02p02p11000p=

1=

1=

1f

(

t

)

sin

kw

1

td(w

1

t

)btd(w

t

)f

(t

)

cos

kwaf

(

t

)d

tTA

=

akkT求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。系数的计算：返回上页下页利用函数的对称性可使系数的确定简化（1）偶函数－T/2tT/2f(t)kf

(t

)

=

f

(-t

)

b

=

0－T/2tT/2f(t)ak

=

0f

(t)

=

-

f

(t)（2）奇函数（3）奇谐波函数a2k

=

b2k

=

0Tf

(t

)

=

-

f

(t

+

)2tf

(t)T/2T返回上页下页tT/2

TiSmI周期性方波信号的分解例1解图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：<

t

<

TTTS20i

(t

)

=

Im

0

<

t

<

2100TmSOTT=

1T

/

2

II

dt

=

mi

(t)

dt

=直流分量：Ip2p0=

12i

(w

t)

sin

kw

td

(w

t)谐波分量：

bSK=pk=

2Im

kp0

K为偶数

K为奇数Im

1(-

cos

kw

t

)p0返回上页下页00=

2pp1

sin

kwt

p

=

0k2pi

(w

t

)

cos

kwtd

(w

t

)a=

2ImSkKKb2=

2Im+

a2

=

bK

KA

=（K为奇数）KKbkpy

=

arctan

aK

=

0is

的展开式为：3 5i=

ImS+

2Im

(sinw

t

+

1

sin

3w

t

+

1

sin

5w

t

+)2 p返回上页下页ttt基波直流分量三次谐波五次谐波七次谐波周期性方波波形分解返回上页下页直流分量+基波三次谐波直流分量基波直流分量+基波+三次谐波返回上页下页3

5Si

=

Im

+

2Im

(sin

wt

+

1

sin

3wt

+

1

sin

5w

t

+)2

ptT/2

TiSImIS0is1

is3

is5等效电源IS0is1is3is5返回上页下页3

5Si

=

Im

+

2Im

(sin

wt

+

1

sin

3wt

+

1

sin

5w

t

+)2

ptT/2

TiSImw

3w

5w

7wAkm0矩形波的频谱图返回上页下页给定函数

f(t)的部分波形如图所示。为使f(t)

的傅立叶级数中只包含如下的分量：Of(t)tT/4OT/4

t(1)正弦分量；f(t)T/2-

T/2

-

T/4(1)

正弦分量； (2)

余弦分量；(3)正弦偶次分量；(4)余弦奇次分量。试画出f(t)的波形。例2解返回上页下页(2)余弦分量；tT/4Of(t)T/2-

T/2

-

T/4(3)正弦偶次分量；(4)余弦奇次分量。tT/4Of(t)T/2-

T/2

-

T/4tT/4Of(t)T/2-

T/2

-

T/4返回上页下页02p

2p0cos

kwtd(w

t

)

=

0sin

kwtd(w

t

)

=

08.2有效值、平均值和平均功率1.

三角函数的性质（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数（2）sin2、cos2

在一个周期内的积分为p。2p022p02wt

)

=

pwtd(cos

kwtd(w

t

)

=

psin

k返回上页下页（3）

三角函数的正交性0sin

pwtd(w

t

)

=

0

cos

pwtd(w

t

)

=

0

sin

pwtd

(w

t

)

=

0cos

kwtcos

kwtsin

kwt02p02p2p(k

„

p)返回上页下页2.

非正弦周期函数的有效值¥k

=1i(t

)

=

I0

+

Ikm

cos(kw

t

+

jk

)若则有效值:T021

1TT

0

2T

=I

=¥k

=1

I0

+

Ikm

cos(kw

t

+

jk

)

d

(t

)i

(w

t

)d

(t

)返回上页下页¥+0

2k

=1

km2I

2I

=

I周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。利用三角函数的正交性得：I

=

I

2

+

I

2

+

I

2

+0

1

2结论返回上页下页3.

非正弦周期函数的平均值00TIAV=

1Ti(w

t

)dt

=

I正弦量的平均值为0¥k

=1则其平均值为：i(t

)

=

I0

+

Ik

cos(kw

t

+

jk

)若返回上页下页4.

非正弦周期交流电路的平均功率Tu

idtP

=0

1T¥u(t

)

=

U0

+

Ukm

cos(kw

t

+

juk

)¥k

=1i(t

)

=

I0

+

Ikm

cos(kw

t

+

jik

)k

=1利用三角函数的正交性，得：¥(j

k

=

j

uk

-jik

)P

=

U0

I0

+

Uk

Ik

cosj

kk

=1=

P0

+

P1

+

P2

+

......返回上页下页平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率P

=

U0

I0

+

U1

I1

cosj1

+

U2

I2

cosj

2

+结论返回上页下页8.4

非正弦周期交流电路的计算1.

计算步骤利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别应用相量法计算；（注意:交流各谐波的XL、XC不同，对直流C相当于开路、L相于短路。）将以上计算结果转换为瞬时值迭加。返回上页下页2.

计算举例例1方波信号激励的电路。求u,已知：R

=20W

、L

=1mH

、C

=1000pFIm

=157μ

A、T

=6.28mStT/2TiSImRLCuiS解（1）已知方波信号的展开式为：532i=

Im

+

2ImS+

1

sin

5w

t

+)(sinw

t

+

1

sin

3w

t

+pIm

=

157μ

A,T

=

6.28μ

s代入已知数据：返回上页下页直流分量220I=

157

=

78.5μ

A=

Im3.14p=

2

·1.57

=

100

mA1m=

2ImI基波最大值5=

20μA5

m

1mI

=

1

Irad/sw

=

2p

=

2

·3.14

=

10

6角频率三次谐波最大值五次谐波最大值31m3m=

33.3mAI

=

1

IIS

0

=

78.5

mAT

6.28

·10-6电流源各频率的谐波分量为：6is1

=

100

sin10

t

mA3s

3i

=

100

sin

3

106

t

mA5s5i

=

100

sin

5

106

t

mA返回上页下页-6U0

=

RI

S

0

=

20

·78

.5

·10

=

1.57

mV（2）对各种频率的谐波分量单独计算：（a)直流分量IS0

作用IS0R

u0电容断路，电感短路:IS

0

=

78.5mA（b)基波作用

is1=

100

sin106t=

1kW

1

=

1

=

1kW-361w

L

=

10

·106

-12w

1C

10

·1000

·10RLCuSi=»=

50kW1RCLRR

+

j(

X

-

X

))

(-

jX

)

X

X(

R

+

jXL

CL

CCLZ

(w

)

=LX

>>R返回上页下页Z(w

1

)

=

50KΩ2

250

=

mV100

·10-6

5000U1

=

I

Z

(w

）=1

1is1=

100

sin106

t

μ

A(c)三次谐波作用3i

=

100

sin

3

106

t01=

374.5—

-

89.19

WR

+

j(

XL3

-

XC

3)(

R

+

jXL3)(-

jXC

3)Z

(3w

)

=s

3111·1000

·103

·10=6

-12=

0.33KW6

-33w

1

L

=

3

·10

·10

=

3kΩ3w

C02·374.5—

-

89.1910-6Z

(3w

1

)=

33.3

·U

3

=

IS

3=

12.47

—

-

89.20

mV2返回上页下页(d)五次谐波作用5s5=

208.3—

-

89.53

W1R

+

j(5

XL5

-

XC

5)(

R

+

jXL5)(-

jXC

5)Z

(5w

)

=i

=

100

sin

5

106

t

mA111=

0.2(KΩ)=5

·106

·1000

·10-126

-35w

1

L

=

5

·10

·10

=

5kΩ5w

C21015-6=

4.166

—

-

89.53

mV2208.3—

-

89.53w

)=

20

·5

s=

I

Z

(5U返回上页下页(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：u

=

U0

+

u1

+

u3

+

u5»

1.57

+

5000

sin

wt+

12.47

sin(

3w

t

-

89.2

)+

4.166

sin(

5w

t

-

89.53

)

mVU0

=1.57

mV3=

12.47

—

-89.2

mVU21=

5000mVU224.1665—

-89.53

mVU

=返回上页下页已知:u

=30

+120

cos1000t

+60

cos(2000t

+π

)V.4求图示电路中各表读数(有效值)及电路吸收的功率。例2L11C2L2C

40mH10mHu_25mF25mF+abc30W

dA3A2V2VV11A1返回上页下页L1C1C2L240mH10mHu25mF_25mF30Wa

+bcdiiC1iL2解C1C2(1)

u0=30V作用于电路，L1、

L2

短路，

C1

、

C2开路。L1

L2u030Wa

+_bcdi0iC10iL20i0=

iL20

=

u0/R

=30/30=1A,

iC10=0,uad0=

ucb0

=

u0

=30V返回上页下页1111

22(2)

u1=120cos1000t

V作用31=

40Ω==w

C

1000

·

25

·10-6w

Cw

L

=

1000

·10

·10-3

=

10Ωw

L

=

1000

·40

·10-

=

40ΩL1、C1

发生并联谐振。+_30Wabcd1U1IC

11IL21Ij40W-j40W-j40Wj10W1=

120—

0

VUI

=

I

=

01

L21U

cb1

=

0=

3—

90

A-

j40IC

11

=

jωC1U

1

=1120—

0ad1=

U

=

120—

0

VU返回上页下页(3)

u2=60cos(2000t+p

/4)V作用1

11

221=

20Ω=

=2ωC

2000

·

25

·10-62ωC=

80Ω,

2ωL

=

2000

·10

·10-3

=

20Ω12ωL

=

2000

·

40

·10-3L2、C2

发生并联谐振。_30Wa

+bcdU

12IIC

12L22Ij80W-j20W-j20Wj20WU

2

=

60—

45

Vj202=

3—

-

45

A60—

45==j2ωLIL22I2

=

I

=

0C

12ad2=

0,U

1=

U

=

60—

45

Vcb2

2UU返回上页下页i=i0+

i1

+

i2

=1A所求的电压、电流的瞬时值为：iC1=

iC10

+iC11

+iC12

=3cos(1000t+90 )

AiL2=

iL20

+iL21

+iL22

=1+3cos(2000t-

45 )

Auad=

uad0

+

uad1

+

uad2

=30+120cos1000tVucb=

ucb0

+

ucb1

+

ucb2

=30+60cos(2000t+45 )

V2

=

2.12A电流表A1的读数：

I

=

1

A

电流表A2的读数：3

/12

+

(3

/

2

)2

=

2.35A302+

(120

/

2

)2=

90V302+

(60

/

2

)2=

52.0V电流表A3的读数：电压表V1的读数：电压表V2的读数：返回上页下页例3求Uab、i、及功率表的读数。I+–60Wj20W–U1+abU

2*

W*2u

=

2202

cos(3w

t

+

300

)V2

cosw

tV2

cosw

t

+

100已知u1

=220解ab(1)=

440—

00V一次谐波作用时：U(1)=

440

=

22

=

6.96—

-

18.40

A60

+

j20

3

+

jIab(

3)=

100—

300V三次谐波作用时：U(

3)60

+

j60

3

+

j3100—

300

5—

300=

=

=

1.18—

-1